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1、第一章 矩阵与行列式1.5 1.5 行列式的按行按列展开行列式的按行按列展开2345设设 在在 阶行列式阶行列式 中，划掉元中，划掉元素素 所在的行与列后所得到的所在的行与列后所得到的 阶行列式阶行列式称为是元素称为是元素 的的余子式余子式，记为，记为 即即 1.5.1 1.5.1 余子式及代数余子式余子式及代数余子式称称 为元素为元素 的的代数余子式代数余子式.56与其代数余子式乘积之和，即与其代数余子式乘积之和，即行列式按行或列的展开定理行列式按行或列的展开定理定理定理 设设 为行列式为行列式 中元素中元素的代数余子式，则的代数余子式，则行列式行列式 等于它的任意一行或列各元素等于它的任意
2、一行或列各元素67证明证明 分三步来证明以上定理分三步来证明以上定理.素均为零的情形，此时由行列式的定义素均为零的情形，此时由行列式的定义首先讨论首先讨论 的第的第 行除行除 外，其余元外，其余元可得可得78零的情形，由行列式行交换和列交换性质将其零的情形，由行列式行交换和列交换性质将其其次讨论其次讨论 的第的第 行除行除 外，其余元素均为外，其余元素均为化为化为中行列式，再利用中行列式，再利用的结果，可得的结果，可得89最后讨论一般情形：利用行列式的分裂可加性最后讨论一般情形：利用行列式的分裂可加性及及中的结果有中的结果有910按列展开同理可证按列展开同理可证.此即行列式按第此即行列式按第
3、行展开行展开.1011解答解答 将第一行的适当倍数加之其他行，得将第一行的适当倍数加之其他行，得例题例题 计算四阶行列式计算四阶行列式 1112按第按第3列展开列展开按第按第1行展开行展开1213定理定理 设设则有则有1314证明证明 对对 作运算作运算 化化 为下三角行列式为下三角行列式对对 作运算作运算 化化 为下三角行列式为下三角行列式1415对对 的前的前 行作运算行作运算 ，对，对 的后的后 列作列作运算运算 ，化，化 为下三角行列式为下三角行列式 所以所以1516提醒提醒 上例中的公式可简记为上例中的公式可简记为其中其中 是是 个元素排成个元素排成 行行 列；列；是是 个元素排成个
4、元素排成 行行 列；列；是任意是任意 个元素排成个元素排成 行行 列；列；是任意是任意 个数个数 排成排成 行行 列；列；提醒提醒 由行列式性质由行列式性质1 1及以上公式有及以上公式有1617提醒提醒 由行列式的性质由行列式的性质3 3及前面两个公式有及前面两个公式有其中其中 是是 个元素排成个元素排成 行行 列；列；是是 个元素排成个元素排成 行行 列；列；1718例题例题 计算行列式计算行列式解答解答 直接由以上公式有直接由以上公式有原行列式原行列式1819例题例题 计算行列式计算行列式解答解答上面上面公式公式1920练习练习 计算行列式计算行列式课堂练习：行列式的计算课堂练习：行列式的
5、计算答案答案 该题答案为该题答案为4.2021定理定理 设设 阶行列式阶行列式表表 的第的第 行的元素行的元素 被被 表表 中元素中元素 的代数余子式，的代数余子式，表表换为换为 后的行列式，则后的行列式，则 2122即即提醒提醒 对阶行列式的列，有类似的结论成立！对阶行列式的列，有类似的结论成立！2223定理定理 行列式某一行的元素与另一行的对应元素行列式某一行的元素与另一行的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的代数余子式乘积之和等于零，即提醒提醒 行列式某一列的元素与另一列的对应元素行列式某一列的元素与另一列的对应元素的代数余子式乘积之和等于零，即的代数余子式乘积之和等于零，即2324例题例题 已知已知5 5阶行列式阶行列式求求 和和 其中其中为为 的第的第4 4行第行第 列元素的代数余子式列元素的代数余子式.2425解答解答 将行列式按第将行列式按第4 4行展开有行展开有第第2 2行元素与第行元素与第4 4行元素的代数余子式乘积之和为零行元素的代数余子式乘积之和为零联立以上两式可解得联立以上两式可解得2526练习练习 计算行列式计算行列式课堂练习：行列式的计算课堂练习：行列式的计算26课后作业课后作业习题习题1.5 （第（第48-49页）页）1，3（1，2）27