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1、 3.3 梁的内力梁的内力 3.3.1 梁的概念梁的概念平面弯曲的梁：平面弯曲的梁：（1）梁具有纵向对称轴面；）梁具有纵向对称轴面；（2）外力（包括荷载和反力）均作用在纵向轴面内，）外力（包括荷载和反力）均作用在纵向轴面内，与杆轴垂直；与杆轴垂直；（3）杆轴线在纵向轴面内弯成一条平面曲线。）杆轴线在纵向轴面内弯成一条平面曲线。一、平面弯曲概念一、平面弯曲概念P梁：以弯曲为主的构件。梁：以弯曲为主的构件。工程中一般为等截面直梁。工程中一般为等截面直梁。挠曲线挠曲线 xyqPMVAVBABqPMlABxy纵向对称面纵向对称面二、横截面上的内力二、横截面上的内力 梁横截面上的内力，主要为弯矩和剪力。
2、梁横截面上的内力，主要为弯矩和剪力。梁横截面上的内力，可以用梁横截面上的内力，可以用截面法截面法由静力平衡求出。由静力平衡求出。QaCmmABPl/2l/2VAVB 如图：如图：求支座反力：求支座反力：VA=VB=P/2 作作 m-m 截面，取左半段为隔截面，取左半段为隔离体，为保持平衡，必有：离体，为保持平衡，必有：P/2CmmQM y=0 -Q+VA=0 剪力剪力 Q=VA=P/2 MC=0 M VA a=0 弯矩弯矩 M=VA a=Pa/2右半段亦然。右半段亦然。CmmP/2PM三、剪力、弯矩正负号（规定）三、剪力、弯矩正负号（规定）剪力剪力弯矩弯矩QdxQQQQQdxMMMMMM四、求
3、指定截面上的剪力和弯矩四、求指定截面上的剪力和弯矩运用截面法，利用平衡条件，建立平衡方程。运用截面法，利用平衡条件，建立平衡方程。规律规律：任一截面上的剪力任一截面上的剪力=截面以左（或右）梁上外力截面以左（或右）梁上外力（包括反力）的代数和。（包括反力）的代数和。任一截面上的弯矩任一截面上的弯矩=截面以左（或右）梁上外力截面以左（或右）梁上外力（包括反力）对该截面形心力矩的代数和。（包括反力）对该截面形心力矩的代数和。求解时可先假设该截面剪力和弯矩的方向（一般设为正求解时可先假设该截面剪力和弯矩的方向（一般设为正向），然后用平衡方程求出该截面上的剪力和弯矩。向），然后用平衡方程求出该截面上的
4、剪力和弯矩。若得出的剪力和弯矩为正值，说明假设方向正确。如果若得出的剪力和弯矩为正值，说明假设方向正确。如果得出的结果为负，则说明假设方向错误。得出的结果为负，则说明假设方向错误。例例1：求梁跨中截面：求梁跨中截面C的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。6mABCDEVAVBP=12kNq=4kN/mm=6kNm3m2m2mm=6kNmq=4kN/m7kNQCMCP=12kNq=4kN/m29kNQCMC解：解：（1）求支座反力）求支座反力MB=0 -VA6-6+463-122=0 VA=7kN （）MA=0 VB6-6-463-128=0 VB=29kN （）（2）求截面）求截面C的内力的内力左段：左
5、段：y=0 -Qc -43+7=0 QC=-5kN MC=0 MC +431.5-73-6=0 MC=9kN m (下侧受拉）下侧受拉）也可用右半段也可用右半段 通过以上例题可以找到计算梁内力（弯矩、通过以上例题可以找到计算梁内力（弯矩、剪力）的一些规律。剪力）的一些规律。1、梁内任一截面上剪力、梁内任一截面上剪力 Q 的大小，等于该的大小，等于该截面左边梁段（或右边梁段）上的与截面平行截面左边梁段（或右边梁段）上的与截面平行各力（包括外力、反力、内力）的代数和。各力（包括外力、反力、内力）的代数和。2、梁内任一截面上弯矩、梁内任一截面上弯矩 M 的大小，等于的大小，等于该截面左边梁段（或右边
6、梁段）上所有各力该截面左边梁段（或右边梁段）上所有各力（包括外力、反力、内力）对这个截面形心的（包括外力、反力、内力）对这个截面形心的力矩代数和。力矩代数和。补充：补充：剪力剪力：左段为隔离体，此段梁上所有向上的外力使该截面产生正号剪力。左段为隔离体，此段梁上所有向上的外力使该截面产生正号剪力。此段梁上所有向下的外力使该截面产生负号剪力。此段梁上所有向下的外力使该截面产生负号剪力。右段为隔离体，此段梁上所有向下的外力使该截面产生正号剪力。右段为隔离体，此段梁上所有向下的外力使该截面产生正号剪力。此段梁上所有向上的外力使该截面产生负号剪力。此段梁上所有向上的外力使该截面产生负号剪力。弯矩弯矩：无
7、论取左边梁段或右边梁段为隔离体，则梁段上所有向上的力使该截无论取左边梁段或右边梁段为隔离体，则梁段上所有向上的力使该截面产生正号弯矩，所有向下的力使该截面产生负号弯矩。面产生正号弯矩，所有向下的力使该截面产生负号弯矩。截面左边的力对截面形心的力矩如为顺时针，引起正弯矩。截面左边的力对截面形心的力矩如为顺时针，引起正弯矩。截面右边的力对截面形心的力矩为如逆时针，引起正弯矩。截面右边的力对截面形心的力矩为如逆时针，引起正弯矩。剪力：左上右下剪力：左上右下弯距：左顺右逆弯距：左顺右逆例例2：求梁跨中截面：求梁跨中截面C的剪力和弯矩。的剪力和弯矩。6mABCDEVAVBP=12kNq=4kN/mm=6
8、kNm3m2m2m如：从截面如：从截面 C 左边外力计算左边外力计算QC=7-43=-5kN MC=6+73-431.5=9kN m如：从截面如：从截面 C 右边外力计算右边外力计算QC=12-29+43=-5kN MC=293-125-431.5=9kN m梁的内力图梁的内力图剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图一、梁的一、梁的剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图 梁上各截面上的剪力（弯矩）值用图形表示出来，统称梁上各截面上的剪力（弯矩）值用图形表示出来，统称为内力图为内力图。剪力图：剪力图：表示梁上各截面剪力变化规律的图形。表示梁上各截面剪力变化规律的图形。弯矩图：弯矩图：表示梁上各截面弯矩变化规律的图形
9、。表示梁上各截面弯矩变化规律的图形。二、剪力方程和弯矩方程二、剪力方程和弯矩方程 梁上各个截面上的剪力和弯矩是不相同的，它们随截面梁上各个截面上的剪力和弯矩是不相同的，它们随截面位置的变化而变化，可表示为沿梁长位置的变化而变化，可表示为沿梁长 x 的函数。的函数。剪力方程剪力方程 Q=Q（x）弯矩方程弯矩方程 M=M（x）三、列方程绘制梁的剪力图和弯矩图三、列方程绘制梁的剪力图和弯矩图基本做法：基本做法：根据根据Q=Q（x），M=M（x）用数学作函数图形的方法用数学作函数图形的方法进行绘制。进行绘制。在一直角坐标系中，按照选定的比例尺，以梁轴为在一直角坐标系中，按照选定的比例尺，以梁轴为 x
10、坐标，剪力（弯矩）为纵坐标，绘坐标，剪力（弯矩）为纵坐标，绘Q=Q（x），M=M（x）的图形。的图形。剪力图：剪力图：正号正号剪力画在剪力画在 x 轴的轴的上方上方；负号负号剪力画在剪力画在 x 轴的轴的下方下方。弯矩图：弯矩图：正号正号弯矩画在弯矩画在 x 轴的轴的下方下方；负号负号弯矩画在弯矩画在 x 轴的轴的上方上方。例例3 悬臂梁悬臂梁AB，A端受集中力端受集中力P，作作Q、M图。图。PABxlxxPQ(x)M(x)xQPQ图图xMPlM图图解：解：1、列、列Q=Q（x），M=M（x）方程方程 A 点作为坐标原点点作为坐标原点 Q（x）=-P （0 xl）M（x）=-Px （0 xl）
11、2、画剪力图画剪力图3、画弯矩图、画弯矩图4、危险截面在固定端附近危险截面在固定端附近 最大值：最大值：Qmax =P Mmax =PlxqxlABxQ(x)M(x)qxQqlQ图图xMql2/2例例4 悬臂梁悬臂梁AB，受均布荷载作用受均布荷载作用，作作Q、M图。图。解：解：1、列、列Q=Q（x），），M=M（x）方程方程 A 点作为坐标原点点作为坐标原点 Q（x）=-qx （0 xl）M（x）=-qx2/2（0 xl）2、画剪力图画剪力图3、画弯矩图、画弯矩图4、危险截面在固定端附近危险截面在固定端附近 最大值：最大值：Qmax =ql Mmax =ql2/2M图图xQql/2ql/2Q图
12、图例例5 简支梁简支梁AB，受均布荷载作用受均布荷载作用，作作Q、M图。图。ABxlxqVAVBxQ(x)M(x)qVA2、列、列Q=Q（x），M=M（x）方程方程 A 点作为坐标原点点作为坐标原点Q（x）=VA qx=ql/2 qx（0 xl）M（x）=VA x qx2/2=qlx/2 qx2/2 （0 xl）3、画剪力图画剪力图4、画弯矩图、画弯矩图5、剪力、剪力危险截面在支座附近，危险截面在支座附近，弯矩弯矩危险截面在跨中危险截面在跨中 最大值：最大值：Qmax =ql/2 Mmax =ql2/8解：解：1、求反力、求反力 VA=VB=ql/2xMql2/8M图图3ql2/32 A 点作
13、为坐标原点，点作为坐标原点，P作用点处，剪作用点处，剪力、弯矩方程将不同，分两段写方程。力、弯矩方程将不同，分两段写方程。xQPb/lPa/lQ图图xMPab/lM图图xVAQ(x)M(x)11VAxPQ(x)M(x)22例例6 简支梁简支梁AB，跨中受集中荷载作用跨中受集中荷载作用，作作Q、M图。图。2、列、列Q=Q（x），），M=M（x）方程方程3、画剪力图画剪力图4、画弯矩图、画弯矩图5、弯矩弯矩危险截面在集中力作用点危险截面在集中力作用点 附近附近 最大值：最大值：Mmax =Pab/l1、求反力、求反力 VA=Pb/l VB=Pa/l解：解：Q（x）=VA=Pb/l（0 xa）M（x
14、）=VA x=Pbx/l（0 xa）AC段段ABxlxabPVAVB1122CCB段段Q（x）=VA -P=-VB =-Pa/l （axl）M（x）=-VA x+M=VB(l-x)=Pa(l-x)x/l （axl）xQM/lQ图图Mb/lxMMa/lM图图xVAQ(x)M(x)11VAxQ(x)M(x)M22例例 7 简支梁简支梁AB，受集中力偶作用，作受集中力偶作用，作Q、M图。图。2、列、列Q=Q(x)，M=M(x)方程方程 A 点作为坐标原点，点作为坐标原点，P作用点处，剪作用点处，剪力、弯矩方程将不同，分两段写方程。力、弯矩方程将不同，分两段写方程。3、画剪力图画剪力图4、画弯矩图、画
15、弯矩图解：解：Q(x)=-VA=-M/l（0 xa）M(x)=-VA x=-Mx/l（0 xa）AC段段CB段段Q(x)=-VA=-M/l （axl）M(x)=-VA x+M=-M x/l+M （axl）1122ABxlxabVAVBMC1、求反力、求反力 VA=M/l ()VB=M/l ()3.3.3 剪力、弯矩和分布荷载集度之间的关系剪力、弯矩和分布荷载集度之间的关系一、荷载集度、一、荷载集度、剪力和弯矩之间的微分关系剪力和弯矩之间的微分关系ABxlxabPVAVByMq(x)dx取小微段取小微段dx，q、Q、M 均为正。均为正。dxq(x)Q(x)+dQ(x)M(x)+dM(x)Q(x)
16、M(x)O由平衡：由平衡：y=0 Q(x)Q(x)+dQ(x)+q(x)dx=0由此：由此：dQ(x)/dx=q(x)MO=0 M(x)+dM(x)-M(x)-Q(x)dx-q(x)(dx)2/2=0略去二阶微量略去二阶微量 dM(x)/dx=Q(x)由上述公式可得：由上述公式可得：d2M(x)/dx2=q(x)以上公式几何意义：以上公式几何意义：剪力图上某点处切剪力图上某点处切线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图线斜率等于该点处荷载集度的大小。弯矩图上某点的切线斜率等于该点处剪力的大小。上某点的切线斜率等于该点处剪力的大小。二、根据内力图的规律作梁的二、根据内力图的规律作梁的剪力图和弯矩图
17、剪力图和弯矩图1、内力图的形状是直线、内力图的形状是直线（水平、斜）还是曲线。（水平、斜）还是曲线。2、弯矩图有极值的截面位置、弯矩图有极值的截面位置3、弯矩图曲线的凹向、弯矩图曲线的凹向4、内力图的突变。、内力图的突变。5、梁端铰支座处的内力特点。、梁端铰支座处的内力特点。6、固定端截面内力特点。、固定端截面内力特点。7、自由端邻近截面内力特点、自由端邻近截面内力特点剪力图与弯矩图的形状特征剪力图与弯矩图的形状特征 （据上面的各种关系推出）（据上面的各种关系推出）梁上情梁上情 况况内力图内力图剪剪力力图图弯弯矩矩图图无外力无外力区段区段 常数常数(水平线水平线)直线变化直线变化(平直线或平直
18、线或斜直线斜直线)均布荷载作均布荷载作用区段用区段斜直线斜直线(自左至右自左至右)抛物线抛物线(凸出方向凸出方向向同荷载向同荷载指向指向)零零 极极 值值集中荷载集中荷载作用处作用处有突变有突变(突变值为突变值为P)有尖角有尖角(尖角突出方尖角突出方向同向同荷载荷载指指向向)集中力偶集中力偶作用点处作用点处无变化无变化有突变有突变(突变值为突变值为力偶大小力偶大小)铰铰处处为为 零零注注:()在铰结点处一侧截面上如无集中力偶作用，在铰结点处一侧截面上如无集中力偶作用，M。在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，则该截面在铰结处一侧截面上如有集中力偶作用，则该截面弯矩此外力偶值。弯矩此外力偶值。()
19、自由端处如无集中力偶作用，则该端弯矩为零。自由端处如无集中力偶作用，则该端弯矩为零。自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩自由端处如有集中力偶作用，则该端弯矩此外力此外力偶值偶值。14416113.680M图图 (kN m)VAVBAB2mP=20kNM=160kNmq=20kN/m8mCD2m72 886020Q图图 (kN)x=5.6m例例8：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图：用内力图规律作梁的剪力图和弯矩图解：解：1、求支座反力、求支座反力2、绘剪力图、绘剪力图3、绘弯矩图、绘弯矩图 控制截面：控制截面：集中力（包括反集中力（包括反力）作用点左右；分布荷载起、力）作用点左右；分布荷载起、终点，自由端等等。终点，自由端等等。本题：本题：A右，右，C左，左，B左，左，B右，右，D 控制截面：控制截面：集中力（包括反集中力（包括反力）作用截面；分布荷载起、终力）作用截面；分布荷载起、终点；集中力偶作用截面左右；自点；集中力偶作用截面左右；自由端；剪力零点处等等。由端；剪力零点处等等。本题：本题：A，C左，左，C右，右，B，DVA=72kN（）VB=148kN（）例例9：作图示梁的弯矩图。作图示梁的弯矩图。303520 M图图(kNm)FAy=35kNFBy=45kNFP=40kNq=20kN/mM=20kNm作业：作业：P1063-2:(c)3-3:(b)