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1、二次函数二次函数y=ax2的图像与性质的图像与性质长安实验中学长安实验中学 周景琪周景琪(1)(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线还记得如何画一个函数的图象吗？还记得如何画一个函数的图象吗？x x-3-3-2 -2 -1-10 01 12 2 3 3y y画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5 根据表中根据表中x,yx,y的数值的数值在坐标平面中描点在坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用再用平
2、滑曲线平滑曲线顺顺次连接各点次连接各点,就得到就得到y=xy=x2 2的图像的图像.y=xy=x2 2xyo抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的抛物线与对称轴的交点叫做抛物线的顶点顶点.抛物线抛物线y=xy=x2 2的顶点的顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最低点最低点.y=xy=x2 2从从图象可以看出图象可以看出,二次函数二次函数y=xy=x2 2的的图图像是一条像是一条抛物线抛物线y=xy=x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=xy=x2 2图象是图象是轴对称图形轴对称图形,y轴轴是它们的对称轴是它们的对称轴.观察图象的异同点，观察图象的异同点，完成表格完成表格相同点相同点开口方向开
3、口方向顶顶点点坐坐标标 最最 点点对对称称轴轴不同点不同点向上向上（0，0）低低Y轴（或直线轴（或直线x=0）开口大小不同开口大小不同在在同一直角坐标系中画同一直角坐标系中画出下列出下列3 3个二次函数的图像。个二次函数的图像。共同点共同点:不同点不同点:1 1、开口向上、开口向上4 4、除除顶点外顶点外,图像都在图像都在x x轴上方轴上方开口大小不同开口大小不同 函数函数y=xy=x2 2,y=2x,y=2x2 2,y=xy=x2 2的图像的图像,有什么共有什么共同点和不同点同点和不同点?1 12 21 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2y=2x2y=0.
4、5x23 3、顶点是原点，顶点是抛、顶点是原点，顶点是抛物线的最低点物线的最低点2 2、对称轴是、对称轴是y y轴轴相同点相同点开口方向开口方向顶顶点点坐坐标标 最最 点点对对称称轴轴不同点不同点向下向下（0，0）高高Y轴（或直线轴（或直线x=0）开口大小不同开口大小不同观察图象的异同点，完成表格观察图象的异同点，完成表格在在同一直角坐标系中画同一直角坐标系中画出下列出下列3 3个二次函数的图像。个二次函数的图像。函数函数y=y=x x2 2,y=,y=2x2x2 2,y=-xy=-x2 2的图像的图像,有什有什么共同点和不同点么共同点和不同点?1 12 21 2 3 4 5x-1-2-3-4
5、-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 21 12 2y=y=2x2x2 2y=-x2共同点共同点:不同点不同点:1 1、开口向下、开口向下4 4、除除顶点外顶点外,图像都在图像都在x x轴下方轴下方开口大小不同开口大小不同3 3、顶点是原点，顶点是、顶点是原点，顶点是抛物线的最高点抛物线的最高点2 2、对称轴是、对称轴是y y轴轴1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5y=x2y=2x2y=0.5x21 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 21 12 2y=y=2x2x2
6、 2y=-x2a的符号决定抛物线的开口方向，的符号决定抛物线的开口方向，|a|的大小决定抛物线开口的大小，的大小决定抛物线开口的大小，|a|越越大大开口越开口越小小1、抛物线、抛物线y=ax2的顶点是的顶点是原点原点，对称轴是，对称轴是y轴轴。2、当当a0时，抛物线时，抛物线y=ax2开口开口向上向上。当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。当当a0时，在对称轴的时，在对称
7、轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。yax2a0a0图象开口对称性顶点增减性二次函数y=ax2图像的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是原点，坐标（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减OO4、函数函数y=y=0.2x0.2x2 2的图象的开口的图象的开口 对称轴对称轴是是 ，顶点是，顶点是 ；3、函数函数y=xy=x2 2的图象的开口的图象的开口 ,对称轴对称轴是是 ,顶点是顶点是 顶点是抛物线的最顶点是抛物线的最 点点2、函数函数y=y=3x3x2 2的图象的开的图象的开口口 ,对称轴对
8、称轴是是 ,顶点是顶点是_，顶点是抛物线的最，顶点是抛物线的最 点点 1、函数函数y=4xy=4x2 2的图象的开口的图象的开口 ,对称轴对称轴是是 ,顶点顶点是是 顶点是抛物线的最顶点是抛物线的最 点点向上向上向下向下y轴轴y轴轴(0,0)(0,0)耐心填一填耐心填一填向上向上y轴轴(0,0)向下向下y轴轴(0,0)高高低低低低（1）抛物线）抛物线y=2x2的顶点坐标是的顶点坐标是 ,对称轴对称轴是是 ，在在 侧侧，y随着随着x的增大而增大；在的增大而增大；在 侧侧，y随着随着x的增大而的增大而减小，减小，当当x=时，函数时，函数y的值最小，最小值是的值最小，最小值是 ,抛物线抛物线y=2x
9、2在在x轴的轴的 方（除顶点外）。方（除顶点外）。（2）抛物线）抛物线 在在x轴的轴的 方（除顶点外），方（除顶点外），当当x0时时，y随着随着x的的 ，当，当x=0时，函数时，函数y的值最大，最大值的值最大，最大值是是 ，当，当x 0时，时，y0.（0，0）y轴轴对称轴的右对称轴的右对称轴的左对称轴的左00上上下下增大而增大增大而增大增大而减小增大而减小0课堂小结描点法画函数图象分为三步：1、列表2、描点3、连线课堂小结：分析二次函数图像的五个要素开口方向顶点对称轴最值增减性yax2a0a0图象开口对称性顶点增减性课堂小结：二次函数y=ax2图像的性质开口向上开口向下a的绝对值越大，开口越小关于y轴对称顶点是原点，坐标（0，0）顶点是最低点顶点是最高点在对称轴左侧递减在对称轴右侧递增在对称轴左侧递增在对称轴右侧递减OO