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1、一一.全等三角形全等三角形：1 1：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化：什么是全等三角形？一个三角形经过哪些变化可以得到它的全等形？可以得到它的全等形？2 2：全等三角形有哪些性质？：全等三角形有哪些性质？能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。一个三角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形角形经过平移、翻折、旋转可以得到它的全等形。（1）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。）：全等三角形的对应边相等、对应角相等。（2）：全等三角形的周长相等、面积相等。）：全等三角形的周长相等、面积相等。（3）：全等三角形的对应边上的对应中线、角平分）：
2、全等三角形的对应边上的对应中线、角平分线、高线分别相等。线、高线分别相等。3:一般三角形一般三角形 全等的条件全等的条件：1.SSS1.SSS；2.SAS2.SAS；3.ASA3.ASA；4.AAS.4.AAS.直角三角形直角三角形 全等全等特有特有的条件：的条件：HL.HL.包括直角三角形包括直角三角形不包括其它形不包括其它形状的三角形状的三角形解题解题中常中常用的用的4 4种种方法方法边边边边边边(SSS)：三边对应相等的两个三角形全等三边对应相等的两个三角形全等边角边边角边(SAS):两边两边和和它们的夹角对应相等两个三角形全等它们的夹角对应相等两个三角形全等角边角角边角(ASA):两角
3、和它们的夹边对应相等的两个三角形全等两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等角角边角角边(AAS):两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等全等 斜边斜边.直角边直角边(HL)：斜边和一条直角边对应相等的两个直角斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等三角形全等方法指引证明两个三角形全等的基本思路：证明两个三角形全等的基本思路：（1）：已知两边）：已知两边-找第三边找第三边(SSS)找夹角找夹角（SAS)(2):已知一边一角已知一边一角-已知一边和它的邻角已知一边和它的邻角找是否有直角找是否有直角(HL)已知一边和它的对角已知一边和它的对角找这边
4、的另一个邻角找这边的另一个邻角(ASA)找这个角的另一个边找这个角的另一个边(SAS)找这边的对角找这边的对角(AAS)找一角找一角(AAS)已知角是直角，找一边已知角是直角，找一边(HL)(3):已知两角已知两角-找两角的夹边找两角的夹边(ASA)找夹边外的任意边找夹边外的任意边(AAS)练习角的内部到角的两边的距离相等的点角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。在角的平分线上。用法：用法：用法：用法：QDOA，QEOB，QDQE点Q在AOB的平分线上角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等.用法：用法：用法：用法：QDOA,QEOB,点Q在AOB的平
5、分线上 QDQE二二.角的平分线：角的平分线：1.角平分线的性质：角平分线的性质：2.角平分线的判定：角平分线的判定：例例1、如图，、如图，ABC与与 全等吗？为什么？全等吗？为什么？解：在解：在和和中中（已知）（已知）（已知）（已知）（公共边）（公共边）ABC（SSS）三.例题精析例题精析：变式变式、如图、如图4，你能找到一对全等的三角形吗？说明你，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由。的理由。解：解：ABFDCE（已知）（已知）+（等式性质）（等式性质）在在 ABF和和 DCE中中（已知）（已知）（已知）（已知）（已证）（已证）ABFDCE（SSS）图图4例例2、如图，、相交于点，是的
6、中点，、如图，、相交于点，是的中点，那么与相等吗？说明你的理由。，那么与相等吗？说明你的理由。解：解：是的中点（已知）是的中点（已知）（中点定义）（中点定义）（已知）（已知）（两直线平行内错角相等）（两直线平行内错角相等）在在AOC和和中中（已证）（已证）（已证）（已证）（对顶角相等）（对顶角相等）AOC（ASA）（全等三角形对应边相等）（全等三角形对应边相等）例例3：如图，已知，如图，已知，ABDE，AB=DE，AF=DC。请。请问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。问图中有那几对全等三角形？请任选一对给予证明。FEDCBA答：答：ABCDEF证明：ABDE A=D AF=DC AF
7、+FC=DC+FC AC=DF在在ABC和和DEF中中 AC=DF A=D AB=DE ABCDEF （SAS）例例4.已知，已知，ABC和和ECD都是等边三角形，且点都是等边三角形，且点B，C，D在一条直线上求证：在一条直线上求证：BE=AD EDCAB变式：变式：以上条件不变，以上条件不变，将将ABC绕点绕点C旋转旋转一定角度（大于零度一定角度（大于零度而小于六十度），以而小于六十度），以上的结论海成立吗？上的结论海成立吗？证明证明：ABC和和ECD都是等边三角形都是等边三角形 AC=BC DC=EC BCA=DCE=60 BCA+ACE=DCE+ACE即即BCE=DCA在在ACD和和BC
8、E中中 AC=BC BCE=DCA DC=EC ACDBCE (SAS)BE=AD例例5：如图，已知：如图，已知E在在AB上，上，1=2，3=4，那么那么AC等于等于AD吗？为什么？吗？为什么？4321EDCBA解：解：AC=AD理由：在理由：在EBC和和EBD中中 1=2 3=4 EB=EB EBC EBD (AAS)BC=BD 在在ABC和和ABD中中 AB=AB 1=2 BC=BD ABC ABD (SAS)AC=AD例6.如图,ABC的角平分线BM,CN相交于点P,求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等BMBM是是ABC的角平分线的角平分线,点点P P在在BMBM上上,ABCPMN
9、DEFPD=PEPD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等).).同理同理,PE=PF.,PE=PF.PDPDPE=PF.PE=PF.即即点点P P到三边到三边ABAB、BCBC、CACA的距离相等的距离相等证明：过点证明：过点P作作PDAB于于D，PEBC于于E，PFAC于于F例例7.7.如图，已知如图，已知ABCABC的外角的外角CBDCBD和和BCEBCE的平分线相交于点的平分线相交于点F F，求证：点求证：点F F在在DAEDAE的平分线上的平分线上 证明：过点F作FGAE于G，FHAD于H，FMBC于MGHM点F在BCE的平分线上，FGAE，
10、FMBCFGFM又点F在CBD的平分线上，FHAD，FMBCFMFHFGFH 点F在DAE的平分线上 例例8：求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。已知：如图，AD是ABC 的中线，求证：ABCDE证明：证明：延长AD到E，使DEAD，连结BE AD是ABC 的中线BDCD又 DEAD ADC EDB AC=EB在ABE中，AE AB+BEAB+AC即 2AD AB+AC1、如图：在、如图：在ABC中，中，C C=900，AD平分平分 BAC，DEAB交交AB于于E，BC=30，BD：CD=3：2，则，则DE=。12cABDE四四.练习练习2、如图，、如图，则，则 AEC等于（）等于
11、（）、解：答案选（）解：答案选（）3：如图，已知，：如图，已知，EGAF，请你从下面三个条，请你从下面三个条件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结件中，再选出两个作为已知条件，另一个作为结论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）论，推出一个正确的命题。（只写出一种情况）AB=AC DE=DF BE=CF 已知：已知：EGAF 求证：求证：GFEDCBA高高4.如图如图1：ABF CDE，B=30，BAE=DCF=20.求求EFC的的度数度数.5、如图、如图2，已知：，已知：AD平分平分BAC，AB=AC，连接，连接BD，CD，并延长相，并延长相交交AC、AB于于F、E点则图形中有点则图形
12、中有（）对全等三角形）对全等三角形.A、2B、3C4D、5C图图1图图2（800）6、如图、如图3，已知：，已知：ABC中，中，DF=FE，BD=CE，AFBC于于F，则此图中全等三角形共有（，则此图中全等三角形共有（）A、5对对B、4对对C、3对对D2对对7、如图、如图4，已知：在，已知：在ABC中，中，AD是是BC边上的高，边上的高，AD=BD，DE=DC，延长，延长BE交交AC于于F，求证：求证：BF是是ABC中边上的高中边上的高.提示：提示：关键证明关键证明ADCBFCB8、如图、如图5，已知：，已知：AB=CD，AD=CB，O为为AC任一点，过任一点，过O作直线分别交作直线分别交AB
13、、CD的延长线于的延长线于F、E，求证：，求证：E=F.提示：提示：由条件易证由条件易证ABCCDA从而得知从而得知BACDCA，即：，即：ABCD.9、如图、如图6，已知：，已知：A90，AB=BD，EDBC于于D.求证：求证：AEED提示：提示：找两个全等三角形，需连结找两个全等三角形，需连结BE.图图6五、拓展题五、拓展题1.如图,已知A=D,AB=DE,AF=CD,BC=EF.求证:BCEFBCAFED2.如图如图,已知已知AC BD，EA、EB分别平分分别平分 CAB和和 DBA，CD过点过点E，则，则AB与与AC+BD相等吗？请说明理由。相等吗？请说明理由。ACEBD要证明要证明两
14、条线段的和与一条线段两条线段的和与一条线段相等相等时常用的两种方法：时常用的两种方法：1、可在、可在长线段上截取长线段上截取与与两条线段两条线段中一条相等的一段中一条相等的一段，然后证明剩，然后证明剩余的线段与另一条线段相等。余的线段与另一条线段相等。（割）（割）2、把一个三角形、把一个三角形移到移到另一位置，另一位置，使使两线段补成一条线段两线段补成一条线段，再证明，再证明它与它与长线段相等长线段相等。（补）。（补）3.如图：在四边形ABCD中，点E在边CD上，连接AE、BE并延长AE交BC的延长线于点F，给出下列5个关系式：ADBC，DE=EC1=2，3=4，AD+BC=AB。将其中三个关
15、系式作为已知，另外两个作为结论，构成正确的命题。请用序号写出两个正确的命题：（书写形式：如果那么）（1）；（2）；4.如图，在RABC中，ACB=450，BAC=900，AB=AC，点D是AB的中点，AFCD于H交BC于F，BEAC交AF的延长线于E，求证：BC垂直且平分DE.5.已知：如图：在ABC中，BE、CF分别是AC、AB两边上的高，在BE上截取BD=AC，在CF的延长线上截取CG=AB，连结AD、AG。求证：ADG 为等腰直角三角形。6.已知：如图21，ADBAC，DEAB于E，DFAC于F，DB=DC，求证：EB=FC总结提高总结提高学习全等三角形应注意以下几个问题：（1):1):要正确区分要正确区分“对应边对应边”与与“对边对边”，“对应对应角角”与与 “对角对角”的不同含义；的不同含义；（2 2）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字）：表示两个三角形全等时，表示对应顶点的字母要写在对应的位置上；母要写在对应的位置上；（3 3）：要记住）：要记住“有三个角对应相等有三个角对应相等”或或“有两边及有两边及其中一边的对角对应相等其中一边的对角对应相等”的两个三角形不一定全等；的两个三角形不一定全等；（4 4）：时刻注意图形中的隐含条件，如）：时刻注意图形中的隐含条件，如 “公共角公共角”、“公共边公共边”、“对顶角对顶角”