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1、二次函数y=ax2的图象和性质一般地一般地,形如形如 y=axy=ax2 2+bx+c(a+bx+c(a、b b、c c为常数为常数,a0),a0)的函数的函数,叫做二次函数叫做二次函数.其中其中,x是自变量是自变量，a、b、c分别是函数表达式的二次项系数、一分别是函数表达式的二次项系数、一次项系数和常数项次项系数和常数项.二次函数二次函数:下列哪些函数是二次函数？一次函数？下列哪些函数是二次函数？一次函数？(1)y=3x-l (2)y=2x7 (3)y=x-2 (4)y=(x+3)-x (5)y=3(x-1)+1一次函数的图像是一条直线一次函数的图像是一条直线,反比例函数的图像是反比例函数的
2、图像是双曲线双曲线,二次函数的图像是什么形状呢二次函数的图像是什么形状呢?通常怎样通常怎样画一个函数的图像画一个函数的图像?x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=y=x x2 2画函数画函数y=xy=x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表9 94 41 10 01 14 49 9(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-5根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺次连再用平滑曲线顺次连接各点接各点,就得到就得到y=xy=x2 2的
3、的图像图像.还记得如何用还记得如何用描点法画一个函数描点法画一个函数的图像吗的图像吗?y=xy=x2 2x x-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 3y=-y=-x x2 2请画函数请画函数y=y=x x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表-9-9-4-4-1-10 0-1-1-4-4-9-9(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线 根据表中根据表中x,yx,y的数值在的数值在坐标平面中描点坐标平面中描点(x,y),(x,y),再用平滑曲线顺次连接再用平滑曲线顺次连接各点各点,就得到就得到y=y=-x x2 2的图的图像像.1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-
4、7-8-91yo-1-2-3-4-5-10y=y=x x2 2xyoxyo 从图像可以看出从图像可以看出,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像都的图像都是一条曲线是一条曲线,它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在它的形状类似于投篮球或投掷铅球时球在空中所经过的路线空中所经过的路线.这样的曲线叫做这样的曲线叫做抛物线抛物线.y=xy=x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=xy=x2 2.y=y=x x2 2的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=y=x x2 2.实际上实际上,二次函数的图像二次函数的图像都是都是抛物线抛物线.它们的它们的开口向上开口向上或者或者向下向
5、下.一般地一般地,二次函数二次函数y=axy=ax2 2+bx+c +bx+c 的图像叫做抛物线的图像叫做抛物线y=axy=ax2 2+bx+c.+bx+c.还可以看出还可以看出,二次函数二次函数y=xy=x2 2和和y=y=x x2 2的图像的图像都是都是轴对称图形轴对称图形,y y轴是它们的对称轴轴是它们的对称轴.抛物线抛物线与与对称轴对称轴的的交点交点叫做抛物线的叫做抛物线的顶点顶点.抛物线抛物线y=xy=x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最低点最低点.抛物线抛物线y=y=x x2 2的的顶点顶点(0,0)(0,0)是它的是它的最高点最高点.y=xy=x2 2y=y=x
6、 x2 2x x-4-4-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4y=xy=x2 2例例1.1.在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中画出函数y=xy=x2 2和和y=2xy=2x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表(2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 2 3 4 5x12345678910yo-1-2-3-4-51 12 2x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=2xy=2x2 28 82 2 0.50.5 0 00.50.5 2 24.54.58 8 4.54.58 82 20.50.5
7、0 00.50.52 24.54.58 84.54.51 12 2 函数函数y=xy=x2 2,y=2x,y=2x2 2的图像的图像与函数与函数y=xy=x2 2(图中虚线图形图中虚线图形)的图像相比的图像相比,有什么共同点有什么共同点和不同点和不同点?1 12 2不同点不同点:共同点：共同点：开口向上开口向上;除顶点外除顶点外,图像都在图像都在x x轴上方轴上方开口大小不同开口大小不同;1 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-10 x x-4-4-3-3-2 -2 -1-10 01 1 2 23 34 4在同一直角坐标系中画出函数在同一直角坐标系中
8、画出函数y=y=x x2 2和和y=y=2x2x2 2的图像的图像解解:(1):(1)列表列表 (2)(2)描点描点(3)(3)连线连线1 12 2x x-2-2-1.5-1.5-1 -1 -0.5-0.50 00.50.51 11.51.52 2y=y=2x2x2 2-8-8-2-2-0.5-0.5 0 0-0.5-0.5-2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5-8-8-2-2-0.5-0.50 0-0.5-0.5-2-2-4.5-4.5-8-8-4.5-4.5 函数函数y=y=-x x2 2,y=,y=-2x2x2 2的图像与的图像与函数函数y=y=x x2 2(图中虚线图形图中虚
9、线图形)的的图像相比图像相比,有什么共同点和不同有什么共同点和不同点点?1 12 2共同点共同点:不同点不同点:开口向下开口向下;除顶点外除顶点外,图像都在图像都在x x轴下方轴下方开口大小不同开口大小不同;1 12 2 y=-x21 2 3 4 5x-1-2-3-4-5-6-7-8-91yo-1-2-3-4-5-1012345 x12345678910yo-1-2-3-4-5一般地一般地,抛物线抛物线y=axy=ax2 2的对称轴是的对称轴是y y轴轴,顶点是原点顶点是原点.当当a0a0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上,顶点是抛物线的最低点顶点是抛物线的最低点,a越大越大,抛物线的开口
10、越小抛物线的开口越小 当当a0a0 a0 a0 a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而减小。减小。当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的右侧，右侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。当当a0时，在对称轴的时，在对称轴的左侧，左侧，y随着随着x的增大而的增大而增大。增大。当当a0 m+10 mm2 2+m=2 +m=2 解解得得:m:m1 1=2,m2,m2 2=1=1 由由得得:m:m1 1 m=1 m=1 此时此时,二次函数为二次函数为:y=2x:y=2x2 2,思考题思考题 已知抛物线已知抛物线y=ax2经过点经过点A（-2，-8）（1）求此抛物线的函
11、数解析式；）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点）判断点B（-1，-4）是否在此抛物线上）是否在此抛物线上。解（解（1）把（）把（-2，-8）代入）代入y=ax2,得得-8=a(-2)2,解出解出a=-2,所求函数解析式为所求函数解析式为y=-2x2.（2）因为）因为 ，所以点，所以点B（-1，-4）不在此抛物线上。不在此抛物线上。1.1.二次函数的图像都是二次函数的图像都是抛物线抛物线.2.2.抛物线抛物线y=axy=ax2 2的图像性质的图像性质:(2)(2)当当a0a0时时,抛物线的开口向上抛物线的开口向上,顶点是顶点是抛物线的最低点抛物线的最低点;当当a0a0 a0 a0 a0 a0 a0 xyo请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。请同学们把所学的二次函数图象的知识归纳小结。y=ax2顶点顶点 对称轴对称轴 开口开口图象图象左侧左侧 右侧右侧x y x ya0a0增增大大(0,0)(0,0)最低点最低点(0,0)(0,0)最高点最高点y y轴轴y y轴轴向上向上向下向下增增大大减减小小增增大大增增大大增增大大减减小小增增大大