线性代数 第4章向量空间.ppt

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1、第四章 向量空间本章主要讨论向量空间。它是线性代数的基本内容之一。这里的向量是一个集合里元素的名称,而空间在数学上的含义就是一个集合,在其中定义了运算,而且这些运算满足一组法则。我们可以通过这些运算的法则导出该集合的“结构”。4.1 n 维向量空间Rn4.3 向量空间的概念与子空间4.2 向量的线性相关性4.4 线性方程组解的结构第一节n维向量空 间 Rn 一、n维向量的定义二、n维向量的运算 一切 n 维向量所构成的集合,按上面规定的两种运算,可以验证它是符合下面八条运算法则,这样的 n 维向量的集合称为 n 维向量空间。记为 Rn。三、n维向量空间第二节 向量的线性相关性 一、线性组合与线

2、性表示一、线性组合与线性表示1.定义:设有向量组A:a1,a2,am及向量a,若存在 m 个实数 x1,x2,xm,使成立,则向量 a 称为向量组 a1,a2,am的一个线性组合,或称向量 a 可由向量组 a1,a2,am线性表示。若向量a可由向量组A:a1,a2,am线性表示,那么向量方程 有解.定理定理1.向量a能由向量组a1,a2,am(m2)线性表示的充要条件矩阵A=(a1,a2,am)的秩等于矩阵B=(a1,a2,am,a)的秩。二、等价向量组1.定义2:如果向量组 A:a1,a2,ar 中的每个向量均可被向量组 B:b1,b2,bs 线性表示,则称向量组 A 可被向量组 B 线性表

3、示,若向量组 A 与 B可以相互线性表示,则称向量组 A 与 B 等价.2.等价关系的三条性质:1)反身性:一个向量组与它本身是等价的;2)对称性:如果向量组 A 与向量组 B 等价,那么向量组 B 与向量组 A 也等价;3)传递性:若向量组A与向量组B等价,向量组B与向量组C等价,则向量组A与向量组C是等价的。3.向量组等价与矩阵秩的关系:(1)若向量组A与B所构成的矩阵依次记为A、B,则向量组 B 能被向量组 A 表示的充要条件是,一定存在矩阵 C 使得 B=AC.1.定义:给定向量组A:a1,a2,am,若存在不全为零的实数x1,x2,xm,使得关系式三、线性相关与线性无关恒成立,则称向

4、量组a1,a2,am线性相关,否则称该向量组线性无关,即若上述等式当且仅当x1=x2=xm=0时成立,则a1,a2,am线性无关.由次可见,向量组a1,a2,am是否线性相关就是看方程组 是否有非零解。定理定理4:向量组a1,a2,am(m2)线性相关的充要条件是其中至少有一个向量是其余向量的线性组合.定理定理5.如果Rn中有一组线性无关的向量b1,b2,bm和一向量a,而向量组a,b1,b2,bm线性相关,则向量a可由向量组b1,b2,bm线性表示,且表示法唯一.2.如何判定 m 个 n 维向量的线性相关性 (1)利用定义 (2)利用矩阵的秩 n维列向量组a1,a2,am与一个mn阶矩阵之间

5、有一一对应的关系;同样n维行向量组b1,b2,bm也与一个mn阶矩阵之间有一一对应的关系,因此,判定向量组的线性相关性只要来求该向量组所对应矩阵的秩即可。当矩阵的秩等当矩阵的秩等于该向量组中向量的个数,则向量组线性无关,于该向量组中向量的个数,则向量组线性无关,否则,线性相关否则,线性相关。3.关于向量组的线性相关性,我们还有如下结论1).如果向量组只有一个向量,它线性无关的充要条件是该向量不是零向量;2).如果向量组是由两个向量组成,它们线性相关的充要条件是它们的分量对应成比例;3).若一个向量组中含有零向量,则此向量组一定线性相关;4).若一向量组中有部分向量线性相关,则此整个向量组线性相

6、关;5).如果一个向量组是线性无关的,则它的任何部分向量组必定线性无关;6).若一组n维向量线性无关,将它们在同一位置增加p个分量,成为一组n+p维的向量组,这样的向量组也线性无关;7).如果一组向量线性相关,则去掉若干分量而得到的向量组也线性相关。8).m个n维向量组成的向量组当m n 时一定线性相关。例5.已知向量组线性无关,证明向 线性无关量组1.极大线性无关组 设有向量组 A,如果在A中能选出 r 个向量a1,a2,ar,满足:1)向量组A0:a1,a2,ar线性无关;2)向量组A中的任一向量均可被向量组A0线性表示;或者满足:1)向量组A0:a1,a2,ar线性无关;2)向量组A中的

7、任何r+1个向量都线性相关;那么称向量组A0是向量组A的一个极大线性无关组.四、向量组的秩向量组的极大线性无关组一般是不唯一的。一个向量组和它自己的极大线性无关组是等价的。2.向量组的秩 向量组 A 中的一个极大无关组中所含有的向量个数 r 称之为向量组 A 的秩,记为RA。定理:定理:矩阵的秩等于它的列向量组的秩,也等于它的行向量组的秩。证:设 A=(a1,a2,ar),R(A)=k,并设k阶子式Dk 0,则Dk所在的k列线性无关,又由A中所有k+1阶子式均为零知,A中任意k+1个列向量都线性相关,因此Dk所在的k列是A的列向量组的一个极大 无关组,所以列向量组的秩等于k。同理可证明行向量组

8、的秩也等于k。定理:设向量组A:a1,a2,am可由向量组B:b1,b2,bn线性表示,则:RARB证:证:设向量组A的一个极大无关组为A0:a1,a2,ar,向量组B 的一个极大无关组为B0:b1,b2,bs,由于A与A0等价,B与B0等价,所推论推论1:等价向量组的秩相等;推论推论2:设向量组B是向量组A的一个部分组,若向量组B线性无关,且向量组A能由向量组B线性表示,则向量组B是向量组A的一个极大无关组。以,A0可由B0 线性表示,由前面的定理可知,rs,故RARB 第三节向量空间 设V 是一个非空集合,P 是一个数域,在集合V的元素之间定义两种运算,一种叫做加法,一种叫做数乘;对于V

9、中的任意两个元素 a,b 相加的和记为 a+b,任一元素a与数域P 中的任一数的乘积记为a,a+b、a 都仍为V 中的元素,且上述两种运算满足下列法则一、定义则集合V 叫做向量空间,也称为线性空间,V 中的元素称为向量。当P 为实数域时,向量空间V 称为实向量空间;当P 为复数域时,向量空间V 称为复向量空间,V 的零元素称为零向量;a 称为 a 的负向量。这里向量空间的概念有了很大的延拓,前面所介绍的Rn只是我们常见的一种向量空间,它不是向量空间的全部。在这里,向量也不一定只是有序数组,向量空间中的运算只要满足八条运算规律,当然也就不一定是有序数组的加法和数乘。二、向量空间的性质三、维数、基

10、与坐标三、维数、基与坐标1.1.定义:定义:在向量空间V 中,如果存在 n 个元素a1,a2,an满足:1)a1,a2,an线性无关;2)V 中任一元素 a 总可由a1,a2,an线性表示,那么,a1,a2,an就称为向量空间V 的一个基,基中元素的个数 n 称为向量空间V 的维数.维数为 n 的向量空间称为 n 维向量空间,记作Vn。若a1,a2,an为向量空间Vn的一个基,则由基的定义,Vn可表示为 由前面的定理可知,向量空间的基是不唯一的,但不同的两个基中含有的元素的个数是相同的。n 维向量空间中,任意 n 个线性无关的向量都可充当该向量空间的一个基。四、向量空间中向量的坐标运算 上述结

11、果表明:在n维向量空间Vn中取定了一个基之后,Vn中的向量与n维数组向量空间Rn中的向量之间就有了一一对应的关系,且这个对应关系具有如下性质:也就是说,这种对应关系保持了线性组合的对应,所以可以说Vn与Rn 有相同的结构,我们称Vn与Rn同构。1.定义:设 S 为向量空间V 的一个非空子集,如果 S 对于V 中的加法运算与数乘运算也能构成向量空间,则S 称为V 的子空间。定理:定理:向量空间V 的非空子集 S 是V 的子空间的充要条件是S 对V 中的加法运算和数乘运算是封闭的。定理:定理:向量空间V 的非空子集S 是V 的子空间的充要条件是:对 于 任意的实数 x、y 和S 中的任意两个向量

12、a、b 均有 x a+y b S五、子空间2.生成子空间 给定V 中一组向量 a1,a2,am,那么它的一切可能的线性组合显然也构成子空间,把这样的子空间就称为由向量 a1,a2,am 所生成的子空间,记作:L(a1,a2,am)3.平凡子空间与非平凡子空间 V 中只有零向量的子集也构成子空间,该子空间称为零子空间;V 本身也是 V 的子空间,这两种子空间称为平凡子空间,除此之外的任何子空间称为非平凡子空间。第四节 线性方程组解的结构一、方程组的解二、解向量的性质定理定理:n元齐次线性方程组 Amnx=O的全体解所构成的集合 S 是一向量空间,当系数矩阵的秩 R(Amn)=r(n)时,解空间 S 的维数为 n r.

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