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1、第六讲二次函数第六讲二次函数学习目标基础落实金典例题1.熟练掌握二次函数的定义、图象与性质.2.会求二次函数在闭区间上的最值.若二次函数的图象的顶点为（2,1），且过点（3,1），则此函数的解析式为()A.y2（x2）21B.y2（x2）21C.y2（x2）21D.y2（x2）21B解：设所求函数的解析式为ya（x2）21,把点（3,1）代入得a2.故所求函数解析式为y2（x2）21.故选B.2.（2010安徽卷）设abc0,二次函数f（x）ax2bxc的图象可能是（）D解法1：对于A选项，因为a0,0,所以b0,所以c0,由图知f（0）c0,矛盾，故A错.对于B选项，因为a0,所以b0,又因
2、为abc0,所以c0,矛盾，故B错.对于C选项，因为a0,0,又因为abc0,所以c0,由图知f（0）c0时，b，c同号，C,D两图中c0,故b0,选D.3.如果函数f(x)=x2+bx+c对任意实数t都有f(2+t)=f(2-t)，那么()AA.f(2)f(1)f(4)B.f(1)f(2)f(4)B.C.f(2)f(4)f(1)D.f(4)f(2)f(1)解：因为f(x)=x2+bx+c,所以a=1，抛物线开口向上，又f(2+t)=f(2-t)，x=2是其对称轴，即当x=2时，f(x)取得最小值.而当x2时，f(x)是增函数，有f(2)f(3)f(4)，又f(2-1)=f(2+1)，即f(1
3、)=f(3)，所以f(2)f(1)f(4)，故应选A.4.函数y2x2x1的最大值为在3,1上的最大值为，最小值为.14解：因为y2x2x1,所以当x时，y取最大值.当x3,1时，函数在为增函数，在为减函数，所以x时，y取最大值f；又因为点3与对称轴x的距离大于点1与对称轴的距离，所以x3时取最小值，且最小值为f（3）14.题型1：二次函数在给定区间上的最值例若动点(x,y)在曲线(b0)上变化，则x2+2y的最大值为（）AB.A.+4 (0b4)2b (b4)D.2bC.+4 +4 (0b2)2b (b2)解：由已知得x2=4-y2,则x2+2y=4-y2+2yy22y4.其对轴方程为y=,
4、且-byb,所以当b时，即b4时，最大值是y=b时取得，即（x22y）max2b（如图（1）;当b时，即0b4时，最大值是y=时取得，即（x22y）max+4（如图（2）.故选A.+4，(0b4)，2b，(b4).故x2+2y的最大值为1.若实数x，y满足x24y24x，求Sx2y2的取值范围.【变式迁移】解：由x24y24x，得y2x,所以Sx2y2.又因为y2x-0,得x0,4,所以问题转化为求二次函数Sx在区间0,4上的最大值与最小值.因为x0,4，所以函数在此区间上为增函数，所以SminS（0）0,SmaxS（4）16.故所求S的取值范围为0,16.例2函数f(x)=x22x2在区间t
5、，t1上的最小值为g(t)，求g(t)的表达式及其最值题型2：轴动或区间动的二次函数的最值解：f（x）（x1）21.当t1时，x1t，t1，f（x）在t，t1单调递增，所以g（t）（t1）21.如图（3），g（t）min1,g（t）无最大值.t21,t1）.所以g（t）点评：对于轴动或区间动的二次函数在闭区间上的最值问题，要注意抓住对称轴是否属于所给区间及二次函数的单调性进行分类讨论.2.已知二次函数f（x）x22ax1a在x0,1上有最大值2,求a的值.【变式迁移】解：因为f（x）的对称轴是xa，所以（1）当a1时，则fmaxf（1）a2，有a2.综上可知，a1或a2.例3若不等式x2ax1
6、0对于一切x0,12成立，求a的最小值.题型3：二次函数最值的应用分析：从题目条件的切入点不同可以有多种方法求解，主要有：配方法、分离变量法.解法1：（配方法，转化为f（x）x2ax1在（0,上的最小值0）设f（x）x2ax1,则对称轴x.若,即a1时，则f（x）在上是减函数，应有f（）0a1.若0时，则f（x）在上是增函数，应有f（0）10恒成立，故a0.若0,即1a0,则应有f（）110恒成立，故1a0.综上，有a,故a的最小值为.解法2：（分离变量法）因为x，所以a因为yx在上单调递减，在x处最得最小值,所以.故a的最小值为-.点评：（1）恒成立问题常转化为最值问题.一般地有：若f（x）
7、A在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f（x）minA；若不等式f（x）B在区间D上恒成立，则等价于在区间D上，f（x）max0恒成立，求k的取值范围.【变式迁移】解：（1）f（x）x22ax3（xa）2a23,对称轴为xa，开口向上.若a2时，在（2,2）内单调递增；若a2时，在（2,2）内单调递减；若a（2,2），则在（2,a内单调递减，在a，2）内单调递增.（2）若a2时,函数在（2,2）内单调递增，f（x）f（2）74a，所以k74a；若a2时,函数在（2,2）内单调递减，f（x）f（2）74a，所以k74a；若a（2,2）函数f（x）min3a2,所以k3a2.综上所述，当a2时，k74a；当2a2时，k3a2；当a2时，k74a.让梦想一起飞让梦想一起飞