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1、第三章第三章 若干数学典故中的数学文化若干数学典故中的数学文化1第一节第一节 悖论与三次数学危机悖论与三次数学危机 2 历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折历史上，数学的发展有顺利也有曲折。大的挫折也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决也可以叫做危机。危机也意味着挑战，危机的解决就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。就意味着进步。所以，危机往往是数学发展的先导。数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，数学发展史上有三次数学危机。每一次数学危机，都是都是数学的内部数学的内部受到质疑，导致了数学上的矛盾，受到质疑，导致了数学上的矛盾，也就是我们所说的的悖论。实际上，也恰恰是
2、这也就是我们所说的的悖论。实际上，也恰恰是这三三次危机，引发了数学上的三次思想解放次危机，引发了数学上的三次思想解放，大大推动，大大推动了数学科学的发展。了数学科学的发展。3 一、什么是悖论一、什么是悖论 悖论：从悖论：从“正确正确”的前提出发，经过的前提出发，经过“正确正确”的逻辑推的逻辑推理，得出荒谬的结论。理，得出荒谬的结论。理解悖论必须明确以下三点：理解悖论必须明确以下三点：1.任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的任何悖论总是相对于一定的理论系统而言的.2.悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示悖论的最终表现总是体现为一定逻辑矛盾的揭示.3.悖论并不是悖论并不是“悖理悖理”、“荒
3、谬荒谬”4弗兰克尔关于悖论的描述：如果某一理论的公理和推理规则看上去是合理的，但是在这个理论中却推出了两个互相矛盾的命题，或者证明了这样一个复合命题，它表现为两个矛盾命题的等价式，那么，我们就说这个理论是包含了一个悖论。古今中外有不少著名的悖论，它们震撼了逻辑和数学的基础，激发了人们求知和精密的思考，吸引了古往今来许多思想家和爱好者的注意力。解决悖论难题需要创造性的思考，悖论的解决又往往可以给人带来全新的观念。5悖论产生的原因：悖论产生的原因：人们主观上的错误所造成的，由此产生的悖论称人们主观上的错误所造成的，由此产生的悖论称为第一类的为第一类的由于人们在相应的历史条件下的认识水平的影响由于人
4、们在相应的历史条件下的认识水平的影响而产生的悖论称为第二类的这是主要的原因而产生的悖论称为第二类的这是主要的原因高度的形式化的特点要求研究对象的明确性和一高度的形式化的特点要求研究对象的明确性和一义性，客观对象的辩证性同主观思维的形而上学性以及方义性，客观对象的辩证性同主观思维的形而上学性以及方法的形式化之间的矛盾也是产生悖论的原因之一法的形式化之间的矛盾也是产生悖论的原因之一6悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可悖论是自相矛盾的命题。即如果承认这个命题成立，就可推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命推出它的否定命题成立；反之，如果承认这个命题的否定命题成立，又可推
5、出这个命题成立题成立，又可推出这个命题成立 如果承认它是真的，经过如果承认它是真的，经过一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，一系列正确的推理，却又得出它是假的；如果承认它是假的，经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。经过一系列正确的推理，却又得出它是真的。悖论有三种主要形式：悖论有三种主要形式：1一种论断看起来好像肯定错了，但实际上却是对的（佯谬）。2一种论断看起来好像肯定是对的，但实际上却错了（似是而非的理论）。3一系列推理看起来好像无懈可击，可是却导致逻辑上自相矛盾。7 例如：“甲是乙”与“甲不是乙”这两个命题中总有一个是错的；但“本句话是七个字”与“本句话不是七个字”
6、又均是对的，这就是悖论。8 再如：“万物皆数”学说认为“任何数都可表为整数的比”；但以1为边的正方形的对角线之长却不能表为整数的比，这也是悖论。9芝诺悖论芝诺悖论芝诺（前490？前430？）是（南意大利的）爱利亚学派创始人巴门尼德的学生。他企图证明该学派的学说：“多”和“变”是虚幻的，不可分的“一”及“静止的存在”才是唯一真实的；运动只是假象。于是他设计了四个例证，人称“芝诺悖论”。这些悖论是从哲学角度提出的。我们从数学角度看其中的一个悖论。101.四个芝诺悖论之一：四个芝诺悖论之一：阿基里斯追不上乌龟。阿基里斯追不上乌龟。112.症结：症结：无限段长度的和，可能是有限的；无限段长度的和，可能
7、是有限的；无限段时间的和，也可能是有限的。无限段时间的和，也可能是有限的。3.芝诺悖论的意义：芝诺悖论的意义：1）促进了严格、求证数学的发展）促进了严格、求证数学的发展 2）较早的）较早的“反证法反证法”及及“无限无限”的思想的思想 3）尖锐地提出离散与连续的矛盾：）尖锐地提出离散与连续的矛盾：空间和时间有没有最小的单位？空间和时间有没有最小的单位？12 芝诺的前两个悖论是反对芝诺的前两个悖论是反对“空间和时间是连空间和时间是连续的续的”，后两个悖论则是反对，后两个悖论则是反对“空间和时间是离空间和时间是离散的散的”。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所。在芝诺看来，这两种理论都有毛病；所以，以
8、，“运动只是假象，不动不变才是真实运动只是假象，不动不变才是真实”。芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖芝诺的哲学观点虽然不对，但是，他如此尖锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，锐地提出了空间和时间是连续还是离散的问题，引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能引起人们长期的讨论，促进了认识的发展，不能不说是巨大的贡献。不说是巨大的贡献。13几个主要的悖论：几个主要的悖论：（1）理发师悖论）理发师悖论村中有一位理发师，村上的人，有的人是自己给村中有一位理发师，村上的人，有的人是自己给自己刮胡子，有的人不给自己刮胡子理发师规自己刮胡子，有的人不给自己刮胡子理发师规定，他只给那些不给自己刮
9、胡子的人刮胡子定，他只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子请问：理发师本人能不能给自己刮胡子？请问：理发师本人能不能给自己刮胡子？14（）梵学者悖伦（）梵学者悖伦 梵学者的预言是，梵学者的女儿苏椰对父亲说梵学者的预言是，梵学者的女儿苏椰对父亲说：“我我将在纸条上写下一个预言，你如果认为将在纸条上写下一个预言，你如果认为 这个预言会在下这个预言会在下午三点之前午三点之前 发生，你就在纸上写下一个发生，你就在纸上写下一个“是是”字，如果你字，如果你认为认为 这个预言不会在下午三点之前这个预言不会在下午三点之前 发生，你就在纸上写发生，你就在纸上写下一个下一个“不不”字字”梵学者表示同意后，苏椰在纸上写道
10、：梵学者表示同意后，苏椰在纸上写道：“你在下午点之前你将写下一个你在下午点之前你将写下一个“不不”字这使梵学者字这使梵学者陷陷于了矛盾之中于了矛盾之中15（）说谎者悖论（）说谎者悖论 “我在说谎我在说谎”如果他在说谎，那么如果他在说谎，那么“我在说谎我在说谎”就是一个就是一个谎，因此他说的是实话；但是如果这是实谎，因此他说的是实话；但是如果这是实话，他又在说谎。矛盾不可避免。话，他又在说谎。矛盾不可避免。16研究悖论对数学的意义悖论对数学的发展的影响是深刻的、巨大的通过悖论引出的逻辑矛盾有助于揭露推理前提中隐含的错误，检查推理过程的漏洞，这对于增强思维的严密性，推动人们的认识不断发展无疑是有益
11、的，面对悖论，人们努力去探索或者建立新的数学理论,使之既不损害原有的理论的精华，又能消除悖论，因此，悖论推动了数学理论的研究和发展，数学中的悖论推动了数学的发展.17 二、第一次数学危机二、第一次数学危机 第第一一次次数数学学危危机机是是由由 不不能能写写成成两两个个整整数数之之比比引引发发的的（或或者者说说是是无无理理数数的的发发现现而而产产生生的的），我我们们在在第第二二章章已已专专门讨论过，现再简要回顾一下。门讨论过，现再简要回顾一下。18 这这一一危危机机发发生生在在公公元元前前5世世纪纪，危危机机来来源源于于：当当时时认认为为所所有有的的数数都都能能表表示示为为整整数数比比，但但突突
12、然然发发现现 不不能能表表为为整整数数比比。其实质是：其实质是：是无理数，全体整数之比是无理数，全体整数之比构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需构成的是有理数系，有理数系需要扩充，需要添加无理数。要添加无理数。19 当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危当时古希腊的欧多克索斯部分地解决了这一危机。他采用了一个十分巧妙的关于机。他采用了一个十分巧妙的关于“两个量之比两个量之比”的新说法，回避了的新说法，回避了 是无理数的实质，而是用几何是无理数的实质，而是用几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的方法去处理不可公度比。这样做的结果，使几何的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几
13、的基础牢靠了，几何从全部数学中脱颖而出。欧几里得的里得的几何原本几何原本中也采用了这一说法，以致在中也采用了这一说法，以致在以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数以后的近二千年中，几何变成了几乎是全部严密数学的基础。学的基础。但是彻底解决这一危机是在但是彻底解决这一危机是在19世纪，依赖实数世纪，依赖实数理论的建立。理论的建立。20 三、第二次数学危机三、第二次数学危机 第二次数学危机发生在牛顿创立微积分第二次数学危机发生在牛顿创立微积分的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉的十七世纪。第一次数学危机是由毕达哥拉斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由斯学派内部提出的，第二次数学危机则是由
14、牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是牛顿学派的外部、贝克莱大主教提出的，是对牛顿对牛顿“无穷小量无穷小量”说法的质疑引起的说法的质疑引起的。21 1危机的引发危机的引发 1）牛顿的）牛顿的“无穷小无穷小”牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含牛顿的微积分是一项划时代的科学成就，蕴含着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我着巨大的智慧和创新，但也有逻辑上的问题。我们来看一个例子。们来看一个例子。微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时微积分的一个来源，是想求运动物体在某一时刻的刻的瞬时速度瞬时速度。在牛顿之前，只能求一段时间内。在牛顿之前，只能求一段时间内的的平均速度平均速度，无法求某一时
15、刻的瞬时速度。，无法求某一时刻的瞬时速度。22 例如，设自由落体在时间例如，设自由落体在时间 下落的距离为下落的距离为 ，有公式有公式 ，其中，其中 是固定的重力加速度。我是固定的重力加速度。我们要求物体在们要求物体在 的瞬时速度，先求的瞬时速度，先求 。（*）23 当当 变成无穷小时，右端的变成无穷小时，右端的 也变成无穷小，因而上式右端就可以认为也变成无穷小，因而上式右端就可以认为是是 ，这就是物体在，这就是物体在 时的瞬时速度，时的瞬时速度，它是两个无穷小之比。它是两个无穷小之比。牛顿的这一方法很好用，解决了大量过牛顿的这一方法很好用，解决了大量过去无法解决的科技问题。但是逻辑上不严去无
16、法解决的科技问题。但是逻辑上不严格，遭到责难。格，遭到责难。242）贝克莱的发难）贝克莱的发难 英国的贝克莱大主教发表文章猛烈英国的贝克莱大主教发表文章猛烈攻击牛顿的理论。攻击牛顿的理论。贝克莱问道：贝克莱问道：“无穷小无穷小”作为一个作为一个量，究竟是不是量，究竟是不是0？25 如果是如果是0，上式左端当，上式左端当 成无穷小后分母为成无穷小后分母为0，就，就没有意义了。如果不是没有意义了。如果不是0，上式右端的，上式右端的 就不能就不能任意去掉。任意去掉。在推出上式时，假定了在推出上式时，假定了 才能做除法，所以才能做除法，所以上式的成立是以上式的成立是以 为前提的。那么，为什么又为前提的
17、。那么，为什么又可以让可以让 而求得瞬时速度呢？而求得瞬时速度呢？因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从因此，牛顿的这一套运算方法，就如同从 出发，两端同除以出发，两端同除以0，得出，得出5=3一样一样的荒谬。的荒谬。（*）26 贝克莱还讽刺挖苦说：即然贝克莱还讽刺挖苦说：即然 和和 都变都变成成“无穷小无穷小”了，而无穷小作为一个量，既了，而无穷小作为一个量，既不是不是0，又不是非，又不是非0，那它一定是，那它一定是“量的鬼魂量的鬼魂”了。了。这就是著名的这就是著名的“贝克莱悖论贝克莱悖论”。对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家对牛顿微积分的这一责难并不是由数学家提出的，但是，提出的，但是，2
18、7贝克莱的质问是击中要害的贝克莱的质问是击中要害的数学家在将近数学家在将近200年的时间里，不能彻底年的时间里，不能彻底反驳贝克莱的责难。反驳贝克莱的责难。直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了直至柯西创立极限理论，才较好地反驳了贝克莱的责难。贝克莱的责难。直至魏尔斯特拉斯创立直至魏尔斯特拉斯创立“”语言，语言，才彻底地反驳了贝克莱的责难。才彻底地反驳了贝克莱的责难。28 3）实践是检验真理的唯一标准）实践是检验真理的唯一标准 应当承认，贝克莱的责难是有道理的。应当承认，贝克莱的责难是有道理的。“无无穷小穷小”的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛的方法在概念上和逻辑上都缺乏基础。牛顿和当时的其它
19、数学家并不能在逻辑上严格说清顿和当时的其它数学家并不能在逻辑上严格说清“无穷小无穷小”的方法。数学家们相信它，只是由于的方法。数学家们相信它，只是由于它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。它使用起来方便有效，并且得出的结果总是对的。特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显特别是像海王星的发现那样鼓舞人心的例子，显示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们示出牛顿的理论和方法的巨大威力。所以，人们不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的不大相信贝克莱的指责。这表明，在大多数人的脑海里，脑海里，“实践是检验真理的唯一标准。实践是检验真理的唯一标准。”29 2危机的实质危机的实质 第一次数
20、学危机的实质是第一次数学危机的实质是“不是有不是有理数，而是无理数理数，而是无理数”。那么第二次数学危机。那么第二次数学危机的实质是什么？应该说，是的实质是什么？应该说，是极限的概念不清极限的概念不清楚，极限的理论基础不牢固。楚，极限的理论基础不牢固。也就是说，微也就是说，微积分理论缺乏逻辑基础。积分理论缺乏逻辑基础。30 其实，在牛顿把瞬时速度说成其实，在牛顿把瞬时速度说成“物体所走的无穷物体所走的无穷小距离与所用的无穷小时间之比小距离与所用的无穷小时间之比”的时候，这种说的时候，这种说法本身就是不明确的，是含糊的。法本身就是不明确的，是含糊的。当然，牛顿也曾在他的著作中说明，所谓当然，牛顿
21、也曾在他的著作中说明，所谓“最最终的比终的比”，就是分子、分母要成为，就是分子、分母要成为0还不是还不是0时的比时的比例如（例如（*）式中的）式中的gt，它不是，它不是“最终的量的比最终的量的比”，而是，而是“比所趋近的极限比所趋近的极限”。他这里虽然提出和使用了他这里虽然提出和使用了“极限极限”这个词，但这个词，但并没有明确说清这个词的意思。并没有明确说清这个词的意思。31 德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积德国的莱布尼茨虽然也同时发明了微积分，但是也没有明确给出极限的定义。分，但是也没有明确给出极限的定义。正因为如此，此后近二百年间的数学家，正因为如此，此后近二百年间的数学家，都不能满意地
22、解释贝克莱提出的悖论。都不能满意地解释贝克莱提出的悖论。所以，由所以，由“无穷小无穷小”引发的第二次数学引发的第二次数学危机，危机，实质上是缺少严密的极限概念和极限实质上是缺少严密的极限概念和极限理论作为微积分学的基础。理论作为微积分学的基础。32牛顿莱布尼茨33 3危机的解决危机的解决 1）必要性）必要性 微积分虽然在发展，但微积分逻辑微积分虽然在发展，但微积分逻辑基础上存在的问题是那样明显，这毕竟基础上存在的问题是那样明显，这毕竟是数学家的一块心病。是数学家的一块心病。34 而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，而且，随着时间的推移，研究范围的扩大，类似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级类
23、似的悖论日益增多。数学家在研究无穷级数的时候，做出许多错误的证明，并由此得数的时候，做出许多错误的证明，并由此得到许多错误的结论。由于没有严格的极限理到许多错误的结论。由于没有严格的极限理论作为基础。数学家们在有限与无限之间任论作为基础。数学家们在有限与无限之间任意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。意通行（不考虑无穷级数收敛的问题）。35 因因此此，进进入入19世世纪纪时时，一一方方面面微微积积分分取取得得的的成成就就超超出出人人们们的的预预料料，另另一一方方面面，大大量量的的数数学学理理论论没没有有正正确确、牢牢固固的的逻逻辑辑基基础础，因因此此不不能能保保证证数数学学结结论论是是正正确确无
24、无误的。误的。历史要求为微积分学说奠基。历史要求为微积分学说奠基。36 2）严格的极限理论的建立）严格的极限理论的建立 到到19世纪，一批杰出数学家辛勤、世纪，一批杰出数学家辛勤、天才的工作，终于逐步建立了严格的极限天才的工作，终于逐步建立了严格的极限理论，并把它作为微积分的基础。理论，并把它作为微积分的基础。应该指出，严格的极限理论的建立是应该指出，严格的极限理论的建立是逐步的、漫长的。逐步的、漫长的。37 在在18世纪时，人们已经建立了极限理论，但世纪时，人们已经建立了极限理论，但那是初步的、粗糙的。那是初步的、粗糙的。达朗贝尔在达朗贝尔在1754年指出，必须用可靠的理论年指出，必须用可靠
25、的理论去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能去代替当时使用的粗糙的极限理论。但他本人未能提供这样的理论。提供这样的理论。19世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格世纪初，捷克数学家波尔查诺开始将严格的论证引入数学分析，他写的的论证引入数学分析，他写的无穷的悖论无穷的悖论一书一书中包含许多真知灼见。中包含许多真知灼见。38 而做出决定性工作、可称为分析学的而做出决定性工作、可称为分析学的奠基人的是奠基人的是法国数学家柯西法国数学家柯西（A.L.Cauchy,17891857）。他在）。他在18211823年间出版的年间出版的分析教程分析教程和和无穷小计无穷小计算讲义算讲义是数学史上划时代的著
26、作。他对极是数学史上划时代的著作。他对极限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、限给出比较精确的定义，然后用它定义连续、导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，导数、微分、定积分和无穷级数的收敛性，已与我们现在教科书上的差不太多了。已与我们现在教科书上的差不太多了。39柯西波尔查诺波尔查诺40 3）严格的实数理论的建立）严格的实数理论的建立 对以往理论的再认识对以往理论的再认识 后来的一些发现，使人们认识到，极限后来的一些发现，使人们认识到，极限理论的进一步严格化，需要实数理论的严格理论的进一步严格化，需要实数理论的严格化。微积分或者说数学分析，是在实数范围化。微积分或者说数学分析，是在实数范围
27、内研究的。但是，下边两件事，表明极限概内研究的。但是，下边两件事，表明极限概念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依念、连续性、可微性和收敛性对实数系的依赖比人们想象的要深奥得多。赖比人们想象的要深奥得多。41 一件事是，一件事是，1874年年德国数学家魏尔斯特拉斯德国数学家魏尔斯特拉斯（K.T.W.Weirstrass，18151897）构造了一个）构造了一个 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。“连续函数连续函数”在直观上是在直观上是“函数曲线没有间断，函数曲线没有间断，连在一起连在一起”，而，而“函数在一点可导函数在一点可导”直观上是直观上是“函函数曲线在该点有切线数
28、曲线在该点有切线”。所以，在直观上。所以，在直观上“连续连续”与与“可导可导”有密切的联系。有密切的联系。这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都这之前甚至有人还证明过：函数在连续点上都可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会可导（当然是错误的）。因此根本不可想象，还会有有“点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”。42魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯(18151897)德意志帝国数学家。1815年10月31日生于威斯特法伦州的奥斯滕费尔德，1897年2月19日卒于柏林。1834年入波恩大学学习法律和财政。1838年转学数学。18421856年，先后在几所中学任教。1854年3月31
29、日获得柯尼斯堡大学名誉博士学位。1856年10月受聘为柏林大学助理教授，同年成为柏林科学院成员，1864年升为教授。43 魏尔斯特拉斯魏尔斯特拉斯 关于关于 “点点连续而点点不可导的函数点点连续而点点不可导的函数”的例子是的例子是 其中其中 是奇数，是奇数，使使 。44 另一件事是德国数学家黎曼另一件事是德国数学家黎曼（B.Riemann，18261866）发现，）发现，柯西把定积分限制于连续函数是没有必柯西把定积分限制于连续函数是没有必要的。要的。黎曼证明了，被积函数不连续，黎曼证明了，被积函数不连续，其定积分也可能存在。其定积分也可能存在。黎曼还造出一个函数，当自变量取黎曼还造出一个函数，
30、当自变量取无理数时它是连续的，当自变量取有理无理数时它是连续的，当自变量取有理数时它是不连续的。数时它是不连续的。45黎曼黎曼1826年9月17日，黎曼生于德国北部汉诺威的布雷塞伦茨村，父亲是一个乡村的穷苦牧师。他六岁开始上学，14岁进入大学预科学习，19岁按其父亲的意愿进入哥廷根大学攻读哲学和神学，1847年，黎曼转到柏林大学学习，成为雅可比、狄利克莱、施泰纳、艾森斯坦的学生。1849年重回哥廷根大学攻读博士学位，成为高斯晚年的学生。46 这这些些例例子子使使数数学学家家们们越越来来越越明明白白，在在为为分分析析建建立立一一个个完完善善的的基基础础方方面面，还还需需要要再再前前进进一一步步：
31、即即需需 要要理解和阐明实数系的更深刻的性质。理解和阐明实数系的更深刻的性质。47 魏尔斯特拉斯的贡献魏尔斯特拉斯的贡献 德德 国国 数数 学学 家家 魏魏 尔尔 斯斯 特特 拉拉 斯斯（K a r l Weierstrass，18151897）的的努努力力，终终于于使使分分析析学学从从完完全全依依靠靠运运动动学学、直直观观理理解解和和几几何何概概念念中中解解放放出出来来。他他的的成成功功产产生生了了深深远远的的影影响响，主主要要表表现现在在两两方方面面，一一方方面面是是建建立立了了实实数数系系，另一方面是创造了精确的另一方面是创造了精确的“”语言。语言。48 “”语言的成功，表现在：语言的成
32、功，表现在：这这 一一 语语 言言 给给 出出 极极 限限 的的 准准 确确 描描 述述，消消 除除了了 历历 史史 上上 各各 种种 模模 糊糊 的的 用用 语语，诸诸 如如“最最 终终比比”、“无限地趋近于无限地趋近于”，等等。，等等。这这 样样 一一 来来，分分 析析 中中 的的 所所 有有 基基 本本 概概 念念 都都可可 以以 通通 过过 实实 数数 和和 它它 们们 的的 基基 本本 运运 算算 和和 关关 系系 精精确地表述出来。确地表述出来。49 4）极限的）极限的“”定义及定义及“贝克莱贝克莱悖悖论论”的消除的消除 极限的极限的“”定义定义50 定义：设函数定义：设函数 在在
33、 的附近都有定的附近都有定义，如果有一个确定的实数义，如果有一个确定的实数 （无论多无论多么小的正数么小的正数 ）。）。都都 （都能找到一个正数都能找到一个正数 ，依赖，依赖于于 ），使当），使当 时（时（满足不等式满足不等式 的所有不等于的所有不等于 的的 ），有），有 （这些这些 对应的函数值对应的函数值与与 的差小于预先给定的任意小的的差小于预先给定的任意小的 ）我们就）我们就说说“函数函数 在在 趋近于趋近于 时，有极限时，有极限 ”。记为记为 。51 由由极极限限的的这这个个“”定定义义，可可以以求求出出一一些些基基本本的的极极限限，并并严严格格地地建建立立一一整整套套丰富的极限理论
34、。简单说，例如有丰富的极限理论。简单说，例如有 两两个个相相等等的的函函数数，取取极极限限后后仍仍相相等等；两两个个函函数数，和和的的极极限限等等于于极极限限的的和和。等等。等等。由此再建立严格的微积分理论。由此再建立严格的微积分理论。52 “贝克莱悖论贝克莱悖论”的消除的消除 回到牛顿的（回到牛顿的（*）式上：）式上：（*）这是在这是在 （即（即 ）条件下，得到的等式；）条件下，得到的等式；它表明它表明 时间内物体的平均速度为时间内物体的平均速度为 。（*）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在）式等号两边都是的函数。然后，我们把物体在 时刻的瞬时速度定义为：上述平均速度当时刻的瞬时速度定
35、义为：上述平均速度当 趋于趋于0时的极限，即时的极限，即 物体在物体在 时刻的瞬时速度时刻的瞬时速度=。53 下边我们对（下边我们对（*）式的等号两边同时取）式的等号两边同时取极限极限 ，根据，根据“两个相等的函数取两个相等的函数取极极限后仍相等限后仍相等”，得，得 瞬时速度瞬时速度=再根据再根据“两个函数和的极限等于极限的两个函数和的极限等于极限的和和”，得，得然后再求极限得然后再求极限得 54 上述过程所得结论与牛顿原先的结论上述过程所得结论与牛顿原先的结论是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基是一样的，但每一步都有了严格的逻辑基础。础。“贝克莱悖论贝克莱悖论”的焦点的焦点“无穷小量无穷小量
36、 是是不是不是0？”，在这里给出了明确的回答：，在这里给出了明确的回答：。这里也没有这里也没有“最终比最终比”或或“无限趋近无限趋近于于”那样含糊不清的说法。那样含糊不清的说法。55 总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础总之，第二次数学危机的核心是微积分的基础不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论不稳固。柯西的贡献在于，将微积分建立在极限论的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了的基础。魏尔斯特拉斯的贡献在于，逻辑地构造了实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理实数系，建立了严格的实数理论，使之成为极限理论的基础。所以，论的基础。所以，建立数学分析（或者说微积分）建立数学分析
37、（或者说微积分）基础的基础的“逻辑顺序逻辑顺序”是：是：实数理论实数理论极限理论极限理论微积分。微积分。而而“历史顺序历史顺序”则正好相反。则正好相反。56知识的知识的逻辑顺序逻辑顺序与与历史顺序历史顺序有时是有时是不同不同的的.57 四、第三次数学危机四、第三次数学危机 1“数学基础数学基础”的曙光的曙光集合论集合论 到到19世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何世纪，数学从各方面走向成熟。非欧几何的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和的出现使几何理论更加扩展和完善；实数理论（和极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的极限理论）的出现使微积分有了牢靠的基础；群的理论、算术公理的出现使
38、算术、代数的逻辑基础更理论、算术公理的出现使算术、代数的逻辑基础更为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的为明晰，等等。人们水到渠成地思索：整个数学的基础在哪里？正在这时，基础在哪里？正在这时，19世纪末，集合论出现了。世纪末，集合论出现了。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。人们感觉到，集合论有可能成为整个数学的基础。58 其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分其理由是：算术以整数、分数等为对象，微积分以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成以变数、函数为对象，几何以点、线、面及其组成的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对的图形为对象。同时，用集合论的语言，算术的对
39、象可说成是象可说成是“以整数、分数等组成的以整数、分数等组成的集合集合”；微积；微积分的对象可说成是分的对象可说成是“以函数等组成的以函数等组成的集合集合”；几何；几何的对象可说成是的对象可说成是“以点、线、面等组成的以点、线、面等组成的集合集合”。这样一来，这样一来，都是以集合为对象都是以集合为对象了。了。集合成了更基本集合成了更基本的概念。的概念。59 于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：于是，集合论似乎给数学家带来了曙光：可能会一劳永逸地摆脱可能会一劳永逸地摆脱“数学基础数学基础”的危机。的危机。尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多尽管集合论自身的相容性尚未证明，但许多人认为这只是时间
40、问题。庞加莱甚至在人认为这只是时间问题。庞加莱甚至在1900年巴黎国际数学家大会上宣称：年巴黎国际数学家大会上宣称：“现在现在 我们可以说，完全的严格性已经达到了！我们可以说，完全的严格性已经达到了！”60 2算术的集合论基础算术的集合论基础 1）人人们们按按下下列列逻逻辑辑顺顺序序把把全全部部数数学学的的基基础础归归结结为为算算术术，即即归归结结为为非非负负整整数数，即即自自然然数数集集合合加加上上0现现在在我我国国中中小小学学就就把把这这一一集集合合称为自然数集合。称为自然数集合。（算术）非负整数（算术）非负整数n有理数有理数 实数实数 复数复数 图形图形61 因此，全部数学似乎都可归结为
41、非负整数了，因此，全部数学似乎都可归结为非负整数了，或者说，或者说，全部数学都可以归结为算术了。全部数学都可以归结为算术了。这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，这样，如果能把算术建立在集合论的基础上，就相当于解决了整个就相当于解决了整个“数学基础数学基础”的问题。的问题。法国数学家、数理逻辑先驱法国数学家、数理逻辑先驱弗雷格弗雷格（G.Frege,18481925）就做了这样的工作。他写就做了这样的工作。他写了一本名叫了一本名叫算术基础算术基础的书。的书。62弗雷格弗雷格算术基础算术基础63 2)弗雷格的弗雷格的算术基础算术基础 为了使算术建立在集合论的基础上，所为了使算术建立在集合论的基
42、础上，所有的非负整数，都需要用集合论的观点和语有的非负整数，都需要用集合论的观点和语言重新定义。言重新定义。首先从首先从0说起。说起。0是什么？是什么？应当先回答应当先回答0是什么，然后才有表示是什么，然后才有表示“0”的符号。的符号。64 为为此此，先先定定义义“空空集集”。空空集集是是“不不含含元元素素的的集集合合”。例例如如，“方方程程 在在实实数数集集中中的的根根的的集集合合”就就是是一一个个空空集集，再再例例如如“由由最最大大的的正正整整数数组组成成的的集集合合”也也是是一一个个空集。空集。65 所有的空集放在一起，作成一个集合的所有的空集放在一起，作成一个集合的集合集合，（为说话简
43、单我们把，（为说话简单我们把“集合的集合集合的集合”称作类），这个类，就可以给它一个符号：称作类），这个类，就可以给它一个符号：0，中国人念，中国人念“ling”，英国人念英国人念“Zero”。空集是空的，但由所有空集组成的类，它空集是空的，但由所有空集组成的类，它本身却是一个元素了，即，本身却是一个元素了，即，0是一个元素了。是一个元素了。由它再作成一个集合由它再作成一个集合0，则不是空集了。，则不是空集了。66 弗雷格再定义两个集合间的弗雷格再定义两个集合间的双射双射：既是满射又是：既是满射又是单射的映射叫作双射，也称单射的映射叫作双射，也称可逆映射可逆映射；通俗地说，；通俗地说，就是存在
44、逆映射的映射。它可以在两个集合间来回就是存在逆映射的映射。它可以在两个集合间来回地映射，所以一般称为地映射，所以一般称为“双射双射”。弗雷格再定义弗雷格再定义两个集合的两个集合的“等价等价”：，能够在其间建立双射的两个集合能够在其间建立双射的两个集合A、B称为称为“等价等价”。67 下边可以定义下边可以定义“1”了。把了。把与集合与集合0等价等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这个类，就可以给它一个符号：这个类，就可以给它一个符号：1。再定义再定义“2”。把。把与集合与集合0，1等价的所等价的所有集合放在一起，作成一个集合的集合。这有集合放在一起
45、，作成一个集合的集合。这个类，就叫：个类，就叫：2。然后，把然后，把与与0，1，2等价的集合作成的等价的集合作成的类，叫：类，叫：3。68 一一般般地地，在在有有了了0，1，2，n的的定定义义后后，就就把把所所有有与与 集集 合合0，1，2，n 等等 价价 的的 集集 合合 放放 在在 一一 起起，作作 成成 集集 合合 的的 集集合，这样的类，定义为：合，这样的类，定义为：n+1。这这种种定定义义概概念念的的方方法法，叫叫作作“归归 纳纳 定定义义”的方法。的方法。69 这这样样，弗弗雷雷格格就就从从空空集集出出发发，而而仅仅仅仅用用到到集集合合及及集集合合等等价价的的概概念念，把把全全部部
46、非非负负整整数数定定义义出出来来了了。于于是是根根据据上上边边说说的的“可可以以把把全全部部数数学学归归结结为为非非负负整整数数”，就就可可以以说说，全全部部数数学学可可以以建建立立在在集集合合论论的的基基础础上上了。了。70 3 罗素的罗素的“集合论悖论集合论悖论”引发危机引发危机 1）悖论引起震憾和危机悖论引起震憾和危机 正正 当当 弗弗 雷雷 格格 即即 将将 出出 版版 他他 的的 算算 术术 基基础础一一书书的的时时候候，罗罗素素的的集集合合论论悖悖论论出出来来了了。这这也也是是庞庞加加莱莱宣宣布布“完完全全严严格格的的数数学学已已经经建建立立起起来来！”之之后后刚刚刚刚两两年年，即
47、即1902年。年。71 伯特兰伯特兰罗素（罗素（1872-1970）Russell,BertrandArthurWilliam(ThirdEarlRussell)出生年月：1872-1970国籍：英国学科成就：学科成就：英国著名哲学家、数学家、逻辑学家，分析学的主要创始人，世界和平运动的倡导者和组织者。所获奖项：1950年诺贝尔文学奖。罗素罗素72 集合论中居然有逻辑上的矛盾！集合论中居然有逻辑上的矛盾！倾倾 刻刻 之之 间间，算算 术术 的的 基基 础础 动动 摇摇 了了，整整 个个数数 学学 的的 基基 础础 似似 乎乎 也也 动动 摇摇 了了。这这 一一 动动 摇摇 所所 带带来来 的的
48、 震震 憾憾 是是 空空 前前 的的。许许 多多 原原 先先 为为 集集 合合 论论 兴兴高高 采采 烈烈 的的 数数 学学 家家 发发 出出 哀哀 叹叹：我我 们们 的的 数数 学学 就就是建立在这样的基础上的吗？是建立在这样的基础上的吗？罗罗 素素 悖悖 论论 引引 发发 的的 危危 机机，就就 称称 为为 第第 三三 次次数学危机。数学危机。73 罗罗 素素 把把 他他 发发 现现 的的 悖悖 论论 写写 信信 告告 诉诉 弗弗 雷雷格格。弗弗雷雷格格在在他他的的算算术术基基础础一一书书的的末末尾尾无无可可奈奈何何地地写写道道：“一一个个科科学学家家遇遇到到的的最最 不不 愉愉 快快 的
49、的 事事 莫莫 过过 于于，当当 他他 的的 工工 作作 完完 成成时时，基基础础崩崩塌塌了了。当当本本书书即即将将印印刷刷时时，罗罗素素先先生生的的一一封封信信就就使使我我陷陷入入这这样样的的尴尴尬尬境境地。地。”74 2）罗素悖论罗素悖论 在在叙叙述述罗罗素素悖悖论论之之前前,我我们们先先注注意意到到下下边边的的事事实实：一一个个集集合合或或者者是是它它本本身身的的成成员员(元元 素素),或或者者不不是是它它本本身身的的成成员员(元元 素素)，两两者者必必居居其其一一。罗罗素素把把前前者者称称为为“异异 常常 集集合合”，把后者称为，把后者称为“正常集合正常集合”。75 例如例如,所有抽象
50、概念的集合，本身还是抽象概念。所有抽象概念的集合，本身还是抽象概念。即，它是这一集合本身的元素，所以是即，它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合但是，所有人的集合，不是人，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素，所以是“正常集合正常集合”。再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，再例如，所有集合的集合，本身还是集合，即，它是这一集合本身的元素，所以是它是这一集合本身的元素，所以是“异常集合异常集合”。但。但是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合是，所有星星的集合不是星星，即，它不是这一集合本身的元素，所以是本身的元素