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1、结构化学基础结构化学基础一个质量为一个质量为m的的 粒子，在一维粒子，在一维 x 方向上运动。方向上运动。0 ，0 x l V=，x 0 和和 x l V=V=0 V=0 x l 此二阶齐次方程的通解为：此二阶齐次方程的通解为：=c1cos(82m E/h2)1/2 x+c2sin(82m E/h2)1/2 x1.3 1.3 箱中粒子的箱中粒子的SchrSchrdingerdinger方程及其解方程及其解SchrSchrdingerdinger方程：方程：n 0 E=n2 h2/8m l2 （x）=c2 sin(nx/l）=(2/l)1/2 sin(nx/l）c2 =(2/l)1/2 根据品优
2、波函数的连续性和单值条件，根据品优波函数的连续性和单值条件，当当x=0 和和 x=l 时，时，=0即即 x=0 时时 （0）=c1cos(0)+c2sin(0)=0则：则：c1=0 x=l 时时 （l）=c2 sin(82m E/h2)1/2 l=0 c2 不能为不能为 0 故必须是故必须是:(82m E/h2)1/2 l=n n=1，2，3，C2可由归一化条件求出可由归一化条件求出令讨论：讨论：1 1、n n 称为量子数，只可能取正整数称为量子数，只可能取正整数。2 2、画出、画出n n(x)(x)及及n n2 2(x)(x)3 3、零点能、节点及节点数、零点能、节点及节点数+-n=4n=3
3、n=2n=1n=3n=2n=1+-E1E2E3E41(x)2(x)32(x)4(x)42(x)22(x)12(x)3(x)一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度一维势箱中粒子的波函数、能级和几率密度n=4体系的波函数与能量：体系的波函数与能量：当当n=1时，体系处于基态时，体系处于基态。当当n=2时，体系处于第一激发态时，体系处于第一激发态。当当n=3时，体系处于第二激发态。时，体系处于第二激发态。讨论：势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时，讨论：势箱中自由粒子的波函数是正弦函数，基态时，l长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能级升长度势箱中只包含正弦函数半个周期，随着能级升高，第一激发
4、态包含一个周期，第二激发态包含正弦高，第一激发态包含一个周期，第二激发态包含正弦波一个半周期波一个半周期。随着能级升高，波函数的节点越。随着能级升高，波函数的节点越来越多。而几率分布函数告诉我们自由粒子在势箱中来越多。而几率分布函数告诉我们自由粒子在势箱中出现的几率大小。例如：基态时，粒子在出现的几率大小。例如：基态时，粒子在 x=L/2 x=L/2 处处出现几率最大。而第一激发态，粒子在出现几率最大。而第一激发态，粒子在x=L/2x=L/2处出现处出现几率为几率为0 0，在，在L/4,3L/4L/4,3L/4处出现几率最大。处出现几率最大。势箱中粒子的量子效应：势箱中粒子的量子效应：1.1.
5、粒子可以存在多种运动状态，它粒子可以存在多种运动状态，它们可由们可由1 1，2 2，n n 等描述；等描述；2.2.能量量子化；能量量子化；3.3.存在零点能；存在零点能；4.4.没有经典运动轨道，只有几率分布；没有经典运动轨道，只有几率分布；5.5.存在节点，节点多，能量高。存在节点，节点多，能量高。箱中粒子的各种物理量只要知道了，体系中各力学量便可用各自的算符作用于而得到：（1）粒子在箱中的平均位置粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右粒子的平均位置在势箱的中央，说明它在势箱左、右两个半边出现的几率各为两个半边出现的几率各为0.5，即，即 图形对势箱图形对势箱中心点是对称的。中心点
6、是对称的。（2）粒子动量的x轴分量px（3）粒子的动量平方px2值 一维试箱模型应用示例一维试箱模型应用示例n丁二烯的离域效应：丁二烯的离域效应：E定定=2 2h28ml2=4E1E离离=2h2/8m(3l)2+2 22h2/8m(3l)2 =(10/9)E1n势箱长度的增加，使分子能量降低，势箱长度的增加，使分子能量降低，更稳定。更稳定。CCCCCCCCE14/9E11/9E1定域键定域键离域键离域键lll3l 花菁燃料的吸收光谱花菁燃料的吸收光谱R2N(CHCH)r CHN+R2势箱总长势箱总长l248r+565pm，共有共有2r22个个 电子，基态时需占电子，基态时需占r+2个分子轨个分
7、子轨道，当电子由第（道，当电子由第（r+2）个轨道跃迁到第（个轨道跃迁到第（r+3）个轨道时，需吸收光的频率为个轨道时，需吸收光的频率为=E/h=(h/8ml2)(r+3)2-(r+2)2=(h/8ml2)(2r+5),由由=c/，=8ml2c/(2r+5)hr 计算计算 实验实验1 311.6 309.02 412.8 409.03 514.0 511.0说明此体系可近似看做一维势箱。说明此体系可近似看做一维势箱。量子力学处理微观体系的一般步骤：量子力学处理微观体系的一般步骤：根据体系的物理条件，写出势能函数，进根据体系的物理条件，写出势能函数，进而写出而写出SchrSchr dingerd
8、inger方程；方程；解方程，由边界条件和品优波函数条件确解方程，由边界条件和品优波函数条件确定归一化因子及定归一化因子及En，求得求得 n描绘描绘 n，n*n等图形，讨论其分布特点；等图形，讨论其分布特点；用力学量算符作用于用力学量算符作用于 n，求各个对应状态各求各个对应状态各种力学量的数值，了解体系的性质；种力学量的数值，了解体系的性质；联系实际问题，应用所得结果。联系实际问题，应用所得结果。三维势箱中粒子运动的三维势箱中粒子运动的SchrSchr dingerdinger方程：方程：三维势箱中粒子运动的波函数：三维势箱中粒子运动的波函数：三维势箱能级表达式：三维势箱能级表达式：简并态：
9、能量相同的各个状态。简并态：能量相同的各个状态。简并度：简并态的数目简并度：简并态的数目 三维无限深正方体势阱中粒子的简并态三维无限深正方体势阱中粒子的简并态题题1.已知一个在一维势箱中运动的粒子，其波函数为：已知一个在一维势箱中运动的粒子，其波函数为：求此波函数的归一化常数求此波函数的归一化常数A。解：解：题题2：函数函数是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值。解：解：该函数是长度为该函数是长度为a的一维势箱中粒子的一种可能状态。的一维势箱中粒子的一种可能状态。因为因为和和都是一维势箱中粒子的可能状态，根据量子力学的基本假设都是一维势箱中粒子的可能状态，根据量子力学的基本假设-态叠加原理，它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。态叠加原理，它们的线性组合也是该体系的一种可能状态。因为因为所以所以(x)不是不是的本征函数，即其能量无确定值。的本征函数，即其能量无确定值。按以下步骤计算其平均值：按以下步骤计算其平均值：将将(x)归一化归一化，设设(x)=c(x)，即即：(x)所代表的状态的能量平均值为：所代表的状态的能量平均值为：作业作业nP20 15,17,18,20