热工过程自动控制原理3课件.ppt

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1、第三章控制系统的时域分析3-1 引引 言言3-2 一阶系统的时域响应一阶系统的时域响应3-3 二阶系统的时域响应二阶系统的时域响应3-4 高阶系统的时域响应高阶系统的时域响应3-5 控制系统的稳定性控制系统的稳定性3-6 控制系统的稳态误差控制系统的稳态误差3-1引言分析和设计控制系统的首要任务是建立系统的数学模型。一旦获得合理的数学模型，就可以采用不同的分析方法来分析系统的性能。经典控制理论中常用的工程方法有经典控制理论中常用的工程方法有 时域分析法时域分析法 根轨迹法根轨迹法 频率特性法频率特性法分析内容分析内容vv 瞬态性能瞬态性能vv 稳态性能稳态性能vv 稳定性稳定性 时域分析法在时

2、间域内研究系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变化规律的方法。对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬态分量和稳态分量。瞬态分量由于输入和初始条件引起的，随时间的推移而趋向消失的响应部分，它提供了系统在过度过程中的各项动态性能的信息。稳态分量是过渡过程结束后,系统达到平衡状态，其输入输出间的关系不再变化的响应部分，它反映了系统的稳态性能或误差。时域分析法的物理概念清晰，准确度较高，在已知系统结构和参数并建立了系统的微分方程后，使用时域分析法比较方便。不过若用它来设计和校正系统，根据系统性能指标的要求来选定系统的结构和参数，却存在一定的困难。为了研究控制系统的输出响应，必须了解输入信号

3、的变化形式。在工程实际中，有些系统的输入信号是已知的（如恒值系统），但对有些控制系统来说，常常不能准确地知道其输入量是如何变化的（如随动系统）。因此，为了方便系统的分析和设计，使各种控制系统有一个进行比较的基础，需要选择一些典型试验信号作为系统的输入，然后比较各种系统对这些输入信号的响应。常用的试验信号在第二章已经介绍，它们是阶跃函数、斜坡函数、抛物线函数、脉冲函数及正弦函数。这些函数都是简单的时间函数，并且易于通过实验产生，便于数学分析和试验研究。如果控制系统的实际输入大部分是随时间逐渐增加的信号，则选用斜坡函数较合适；如果作用到系统的输入信号大多具有突变性质时，则选用阶跃函数较合适。需要注

4、意的是，不管采用何种典型输入型号，对同一系统来说，其过渡过程所反应出的系统特性应是统一的。这样，便有可能在同一基础上去比较各种控制系统的性能。此外，在选取试验信号时，除应尽可能简单，以便于分析处理外，还应选择那些能使系统工作在最不利的情况下的输入信号作为典型实验信号。本章主要讨论控制系统在阶跃函数、斜坡函数、脉冲函数等输入信号作用下的输出响应。3-2一阶系统的时域响应由一阶微分方程描述的系统称为一阶系统,典型闭环控制一阶系统如图3-1所示.其中 是积分环节，T为它的时间常数。图3-1一阶系统的结构图C(s)-R(s)系统的传递函数为 可见，典型的一阶系统是一个惯性环节，而可见，典型的一阶系统是

5、一个惯性环节，而T T也是闭环系统的惯性时间常数。也是闭环系统的惯性时间常数。系统输入、输出之间的关系为系统输入、输出之间的关系为 对应的微分方程为对应的微分方程为（3 31 1）在零初始条件下，利用拉氏反变换或直接求解微分方程，可以求得一阶系统在典型输入信号作用下的输出响应。一、单位阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数r(t)=1(t),其拉氏变换为 ,则输出的拉氏变换为 对上式进行拉氏反变换，求得单位阶跃响应为 (3-2)上式表明，当初始条件为零时，一阶系统单位阶跃响应的变化曲线是一条单调上升的指数曲线,式中的1为稳态分量，为瞬态分量，当t时，瞬态分量衰减为零。在整个工作时间内，系统的响应

6、都不会超过起稳态值。由于该响应曲线具有非振荡特征，故也称为非周期响应。一阶系统的单位阶跃响应曲线如图3-2所示。图3-2中指数响应曲线的初始（t=0时）斜率为 .因此，如果系统保持初始响应的变化速度不变，则当t=T时，输出量就能达到稳态值。实际上，响应曲线的斜率是不断下降的，经过T时间后，输出量C（T）从零上升到稳态值的63.2%。经过3T4T时，C（t）将分别达到稳态值的95%98%。可见，时间常数T反应了系统的响应速度，T越小，输出响应上升越快，响应过程的快速性也越好。斜率1C(t)0.95T3T0.632图图3-23-2一阶系统的单位阶跃响应一阶系统的单位阶跃响应由式（3-2）可知，只有

7、当t趋于无穷大时，响应的瞬态过程才能结束，在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间），这时输出量与稳态值之间的偏差为5%或2%。系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定，将测得的曲线与图3-2的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统或等效为一阶系统。此外，用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数T。式中，t-T为稳态分量，为瞬态分量，当t时，瞬态分量衰减到零。一阶系统的单位斜坡响应曲线如图3-3所示。（t0t0）(3-3)(3-3)T Tt tT TC(t)C(t)r(t)=tr(t)

8、=to o图图3-33-3一阶系统的单位斜坡响应一阶系统的单位斜坡响应二、单位斜坡响应二、单位斜坡响应 设系统的输入为单位斜坡函数设系统的输入为单位斜坡函数r(t)=tr(t)=t，其拉氏变换为其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为则输出的拉氏变换为显然，系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后，它与输入信号同速增长，但它们之间存在跟随误差。即且可见，当t趋于无穷大时，误差趋近于T，因此系统在进入稳态以后，在任一时刻，输出量c(t)将小于输入量r(t)一个T的值，时间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小。对上式进行拉氏变换，求得单位脉冲响应为由此可见，系统的单位脉冲响

9、应就是系统闭环传递函数的拉氏变换。一阶系统的单位脉冲响应曲线如图3-4所示。（t0t0）(3-4)(3-4)0.3680.368C(t)C(t)3 3T T斜率斜率C(t)C(t)T T2 2T Tt t图图3-43-4一阶系统的脉冲响应一阶系统的脉冲响应三、单位脉冲响应三、单位脉冲响应 设系统的输入为单位脉冲函数设系统的输入为单位脉冲函数r(t)=r(t)=(t),t),其拉氏其拉氏变换为变换为R(s)=1,R(s)=1,则输出响应的拉氏变换为则输出响应的拉氏变换为一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线的初始斜率为 ，输出量的初始值为 。当 t趋于时，输出量c()趋于零，所以它不存

10、在稳态分量在实际中一般认为在t=3T4T时过度过程结束，故系统过度过程的快速性取决于T的值，T越小系统响应的快速性也越好。由上面的分析可见，一阶系统的特权性由参数T来表述，响应时间为（3-4）T；在t=0时，单位阶跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为 ;单位斜坡响应的稳态误差为T。T值越小，系统响应的快速性越好，精度越高。2-3中已经指出，按照脉冲函数，阶跃函数、斜坡函数的顺序，前者是后者的导数，而后者是前者的积分。比较一阶系统对上述信号的输出响应可以发现，脉冲响应、阶跃响应、斜坡响应之间也存在同样的对应关系。这表明，系统对某种输入信号导数的响应，等于对该输入信号响应的导数。反之，系统对某种输

11、入信号积分的响应，等于系统对该输入信号响应的积分。这是线性定常系统的一个重要特征，它不仅适用于一阶线性定常系统，也适用于高阶线性定常系统。因此，在后面的分析中，我们将主要研究系统的单位阶跃响应。3-3 二阶系统的时域响应 由二阶微分方程描述的系统称为二阶系统。在控制工程实践中，二阶系统应用极为广泛，此外，许多高阶系统在一定的条件下可以近似为二阶系统来研究，因此，详细讨论和分析二阶系统的特征具有极为重要的实际意义。C(t)C(t)R(t)R(t)_ _C(t)C(t)图图3-53-5二阶系统结构图二阶系统结构图（3 35 5）设一个二阶系统的结构图如图设一个二阶系统的结构图如图3-53-5所示。

12、所示。系统的闭环传递函数为系统的闭环传递函数为 其中其中K K为系统的为系统的开环放开环放大系数大系数，T T为时间常数。为时间常数。与式（3-5）相对应的微分方程为可见，该系统是一个二阶系统。为了分析方便，将系统的传递函数改写成如下形式式中 ，称为无阻尼自然振荡角频率，（简称为无阻尼自振频率），称为阻尼系数（或阻尼比）。(3-6)(3-6)系统的闭环特征方程为 （3-7）它的两个根为 （3-8）二阶系统特征根（即闭环极点）的形式随着阻尼比 取值的不同而不同。1.二阶系统的阶跃响应 设系统的输入为单位阶跃函数，则系统输出响应的拉氏变换表达式为 （3-9）对上式取拉氏反变换，即可求得二阶系统的单

13、位阶跃响应。（一）过阻尼（1）的情况 当 1时，系统具有两个不相等的负实数极点，它们在S平面上的位置如图3-6所示。此时，（3-9）可写成 （3-10）j j0 0 s s图图3-63-6过阻尼时极点分布过阻尼时极点分布式中 将 、代入式（3-10），并进行拉氏反变换，得 （3-11)式(3-11)表明，系统的单位阶跃响应由稳态分量和瞬态分量组成，其稳态分量为1，瞬态分量包含两个衰减指数项，随着t增加，指数项衰减，响应曲线单调上升，其响应曲线如图3-7所示。当 时，闭环极点 比 距虚轴远的多，故 比衰减快的多。因此，可以忽略对系统输出的影响，从而把二阶系统近似看作一阶系统来处理。在工程上，当

14、时，这种近似处理方法具有足够的准确度。通常，称阻尼比 时二阶系统的运动状态为过阻尼状态。C(t)C(t)t to o1 1图图3-73-7过阻尼响应过阻尼响应它们在S平面上的位置如图3-8所示。此时，式（3-9）可写成 （3-12）s so o图图3-83-8欠阻尼时的极点分布欠阻尼时的极点分布(二二)欠阻尼（欠阻尼（）的情况）的情况 当当 时，系统具有一对共轭复数极点，时，系统具有一对共轭复数极点，且在且在S S平面的左半部分，即平面的左半部分，即将它们代入式（3-12）并将式中的第二项分成两项得因为式中式中 ，称为阻尼自振频率。称为阻尼自振频率。根据式（根据式（2-442-44）求得）求得

15、 ，令 ,，其中 角如图3-8所示。于是有 式中 系统的稳态响应为1，瞬态分量是一个随时间t的增大而衰减的正弦振荡过程。振荡的角频率为 它取决于阻尼比 和无阻尼自然频率 。衰减速度取决于 的大小。此时系统工作在欠阻尼状态。输出响应如图3-9所示。t tC(t)C(t)1 10 0图图3-93-9欠阻尼响应欠阻尼响应（三）临界阻尼（）的情况 当 时，系统具有两个相等的负实数极点，如图3-10所示。此时有 将 代入式（3-15），并进行拉氏反变换，得o o s s图图3-103-10临界阻尼时极点的分布临界阻尼时极点的分布（3 31515）该式表明，当 时，系统的输出响应由零开始单调上升，最后达到

16、稳态值1，其响应曲线如图3-11所示。是输出响应的单调和振荡过程的分界，通常称为临界阻尼状态。（四）无阻尼（）的情况 当 时，系统具有一对共轭纯虚数极点 ,它们在S平面上的位置如图3-12（a）所示。将 代入式（3-13）得 t t1 1o oC(t)C(t)图图3-113-11临界阻尼响应临界阻尼响应 可见，系统的输出响应是无阻尼的等幅振荡过程，其振荡频率为 。响应曲线如图3 12（b）所示。综上所述，不难看出频率 和 的物理意义。图图3-123-12无阻尼时的极点分布和响应无阻尼时的极点分布和响应 s so o(a)(a)C(t)C(t)(b)b)1 1t to o 当 ,系统具有实部为正

17、的极点,输出响应是发散的，此时系统已无法正常工作。根据上面的分析可知，在不同的阻尼比时，二阶系统的响应具有不同的特点。因此阻尼比 是二阶系统的重要特征参数。若选取 为横坐标，可以作出不同阻尼比时二阶系统单位阶跃响应曲线,无无 阻阻 尼尼 自自 然然 振振 荡荡 频频 率率，此此 时时 系系 统统 输输 出出 为为 等幅振荡等幅振荡 阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡阻尼振荡频率。系统输出为衰减正弦振荡过程。过程。如图3-13所示，此时曲线只和阻尼比 有关。由图可见，越小，响应特性振荡得越厉害，随着 增大到一定程度后，响应特性变成单调上升的。从过渡过程持续的时间看，当系统无振荡时，以临界阻尼时

18、过渡过程的时间最短，此时，系统具有最快的响应速度。当系统在欠阻尼状态时，若阻尼比 在0.40.8之间，则系统的过度过程时间比临界阻尼时更短，而且此时的振荡特性也并不严重。图图3-133-13二阶系统的阶跃响应二阶系统的阶跃响应 一般希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下，在工程实际中，通常选取 作为设计系统的依据。2 2二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标 在实际应用中，控制系统性能的好坏是通过系统的单位阶跃响应的特征量来表示的。为了定量地评价二阶系统的控制质量，必须进一步分析 和 对系统单位阶跃响应的影响，并定义二阶系统单位阶跃响应的一些特征量作为评价系统的性能指标。除了一些不

19、允许产生振荡的系统外，通常希望二阶系统工作在 =0.40.8的欠阻尼状态下。此时，系统在具有适度振荡特性的情况下，能有较短的过渡过程时间，因此下面有关性能指标的定义和定量关系的推导，主要是针对二阶系统的欠阻尼工作状态进行的。控制系统的单位阶跃响应一般来说是与初始条件有关的，为了便于比较各种系统的控制质量，通常假设系统的初始条件为零。系统在欠阻尼情况下的单位阶跃响应为 (3-18)对应的响应曲线如图3-14所示下面就根据式（3-18）和图3-14所示曲线来定义系统的瞬态性能指标，同时讨论性能指标与特征量之间的关系。1、上升时间 响应曲线从零开始上升，第一次到达稳态值所需的时间，称为上升时间。根据

20、上述定义，当时，由式（3-18）可得超超调调量量C(t)C(t)上升时间上升时间峰值时间峰值时间调节时间调节时间误差带误差带稳态误差稳态误差o o1.1.0 0t t图图3-143-14二阶系统瞬态性能指标二阶系统瞬态性能指标即所以 （k=0,1,2）由于上升时间 是C（t）第一次到达稳态值的时间，故取k=1，所以 由式(3-19)可以看出，当 一定时，阻尼比 越大，上升时间 越长，当 一定时，越大，越小。(3-(3-19)19)由定义，将式（3-18）对时间求导，并令其等于零，即得经变换可得所以即 （k=1,2，）因为峰值时间 是C(t)到达第一个峰值的时间，故取=1,所以2 2、峰值时间、

21、峰值时间 响应曲线响应曲线C C（t t）从零开始到达第一个峰值所需从零开始到达第一个峰值所需时间，称为峰值时间。时间，称为峰值时间。（3 32020）可见，当 一定时，越大，越小，反应速度越快。当 一定时，越小，也越大。由于 是闭环极点虚部的数值，越大，则闭环极点到实轴的距离越远，因此，也可以说峰值时间 与闭环极点到实轴的距离成反比。（3 32020）3、超调量 在响应过程中，输出量C（t）超出其稳态值的最大差量与稳态值之比称为超调量。超调量可表示为式中 为输出量的最大值，为输出量的稳态值。将式（3-20）代入式（3-18）求得输出量的最大值为所以 根据超调量的定义，并考虑到 ，求得 该式表

22、明，只是 的函数，而与 无关，越小,则 越大。当二阶系统的阻尼比 确定后，即可求得对应的超调量 。反之，如果给出了超调量的要求值，也可求得相应的阻尼比的数值。一般当 时，相应的超调量 。与 关系曲线如图3-15所示。（3-213-21）1001009090808070706060505040403030202010100 00.20.20.40.40.60.60.80.81.01.0图图3-153-15欠阻尼二阶系统欠阻尼二阶系统超调与阻尼比关系曲线超调与阻尼比关系曲线4、调节时间响应曲线到达并停留在稳态值的 （或 )误差范围内所需的最小时间称为调节时间（或过渡过程时间）。根据调节时间的定义应

23、有下式成立 式中 （或0.02）将式（3-18）及 代入上式得 为简单起见，可以采用近似的计算方法，忽略正弦函数的影响，认为指数项衰减到0.05（或0.02）时，过渡过程即进行完毕，于是得到 由此可求得若取 ，则得 若取 ，则得 (3-22)(3-22)(3-(3-23)23)在 时，上面两式可分别近似为 和该式表明，调节时间 近似与 成反比。由于 是闭环极点实部的数值，越大，则闭环极点到虚轴的距离越远，因此，可以近似地认为调节时间 与闭环极点到虚轴的距离成反比。在设计系统时，通常由要求的超调量所决定，而调节时间 则由自然振荡频率 所决定。也就是说，在不改变超调量的条件下，通过改变 的值可以改

24、变调节时间。(3-24)(3-24)5振荡次数N 响应曲线在 0 时间内波动的次数称为振荡次数。根据定义，振荡次数 式中 称为系统的阻尼振荡周期。若取 ，若取 ，振荡次数只与阻尼比 有关。阻尼比 和无阻尼自振频率 是二阶系统两个重要特征参数，它们对系统的性能具有决定性的影响。当保持 不变时，提高 可使 、下降，从而提高系统的快速性，同时系统的快速性，同时保持 和N不变。当保持 不变时，增大 可使 和 下降 ,但使 和 上升，显然在系统的振荡性能和快速性之间是存在矛盾的，要使二阶系统具有满意的动态性能，必须选取合适的阻尼比和无阻尼自振荡率。通常可根据系统对超调量的限制要求选定 ，然后在根据其它要

25、求来确定 。例3-13-1 设控制系统 如图3-163-16所示。其中（a）为无速度反馈系统，（b）为带速度反馈系统，试确定是系统阻尼比为0.5时 的值，并比较系统（a）和(b)阶跃响应的瞬态性能指标。将上式与式（3-6）相比较得解得 ,根据式（3-19）、（3-20）、（3-21）、（3-24）、（3-25）计算上升时间R(s)R(s)E(s)E(s)-C(s)C(s)(a)a)(b)b)R(s)R(s)E(s)E(s)C(s)C(s)-图图3-163-16例一系统结构图例一系统结构图（秒）（秒）解解 系统（系统（a a）的闭环传递函数为的闭环传递函数为峰值时间 超调量调节时间 振荡次数系统

26、（b）的闭环传递函数为（秒）（秒）（秒）（秒）（次）（次）将上式与式（3-6）相比较得将 代入，解得由 和 可求得 通过上述计算可知，采用速度反馈后，可以明显地改善系统的动态性能。（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）（秒）例32 设单位反馈系统的开环传递函数为若要求系统的阶跃响应的瞬态性能指标为 试确定参数K和a的值。解 系统的闭环传递函数为由此得 由题意即 解得 而即解得 a=3 所以 （秒）（秒）3-4高阶系统的时域响应若描述系统的微分方程高于二阶，则该系统为高阶系统。在控制工程中，大多数控制系统都是高阶系统。从理论上讲，高阶系统也可以直接由传递函数求出它的时域响应，然后按上述二阶系统的分析方法

27、来确定系统的瞬态性能指标。但是，高阶系统的分布计算比较困难，同时，在工程设计的许多问题中，过分讲究精确往往是不必要的，甚至是无意义的。因此，工程上通常把高阶系统适当地简化成低阶系统进行分析。下面简单地介绍高阶系统时域响应的确定方法及研究高阶系统性能的思路和途径。设高阶系统的闭环传递函数为假设系统所有零点、极点互不相同，且极点中q个实数极点和r对复数极点，零点中只有实数极点，则系统单位阶跃响应的拉氏变换为式中 n=q+2r将上式展开成部分分式，得式中 、和 都是进行部分分式展开时所确定的常数。对上式进行拉氏反变换，求得系统在零初始条件下的单位阶跃响应为 由此可见，高阶系统的时域响应是由稳态值和一

28、些惯性环节及振荡环节的瞬态响应分量所组成。(3-27)(3-27)各瞬态分量在过渡过程中所起作用的大小，将取决于它们的指数 、的值和相应项的系数 、的大小。如果系统所有极点都分布在S平面的左半部分，即所有极点均具有负实部，那么，当t趋于无穷大时，式中的指数项都趋于零，系统的响应达到稳态值。由式（3-27）可以看出，在瞬态过程中，某衰减项的指数 或 的值越大，则该项衰减越快，反之亦然。而 和 就是系统的极点到虚轴的距离，因此，如果分布在S平面左半部分的极点离虚轴越远，则它对应的分量衰减越快。显然，对系统过渡过程影响最大的，是那些离虚轴最近的极点。各衰减项的系数不仅与相应的极点在S平面中的位置有关

29、，而且还与零点的位置有关。极点的位置距原点越远，则相应分量的系数越小，该分量对系统过渡过程的影响就越小。如果某极点与零点很靠近，则相应分量的系数也很小，这对零极点对系统过度过程的影响也将很小。因此，高阶系统的瞬态特性主要由系统传递函数中那些靠近虚轴而又远离零点的极点来决定。如果高阶系统有一个极点（或一对共轭复数极点）离虚轴最近，且其附近又无零点存在，而其他所有极点与虚轴的距离都在此极点与虚轴的距离的五倍以上，则可近似的认为系统的瞬态特性由这个（或这对）极点来确定，而其它极点的影响可以忽略不计，这个（或这对）极点就称为高阶系统的主导极点。高阶系统的主导极点常常是共轭复数极点，因此高阶系统可以常用

30、主导极点构成的二阶系统来近似。相应的性能指标可按二阶系统的各项指标来估计。在设计高阶系统时，常利用主导极点的概念来选择系统参数，使系统具有预期的一对共轭复数主导极点，这样，就可以近似的用二阶系统的性能指标来设计系统。3-5控制系统的稳定性在控制系统的分析研究中，最重要的问题是系统的稳定性问题。不稳定的系统在受到外界或内部的一些因素扰动时，会使被控制量偏离原来的平衡工作状态，并随时间的推移而发散。因此，不稳定的系统是无法正常工作的。在这一节中将讨论稳定性的定义，稳定的充要条件及判别稳定性的基本方法。一、稳定的概念和定义在自动控制理论中，有多种稳定性的定义，这里只讨论其中最常用的一种，即渐近稳定性

31、的定义。稳定与不稳定系统的示例图图3-173-17摆运动示意图摆运动示意图A Af f图图3-183-18不稳定系统不稳定系统图图3-193-19小范围稳定系统小范围稳定系统dfcA A图图3 31919中，小球超出了中，小球超出了C C、D D范围后系统就不再是线范围后系统就不再是线性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。性的，故可以认为该系统在线性范围内是稳定的。图图3 31717为稳定的系统。为稳定的系统。图图3 31818为不稳定系统。为不稳定系统。二.稳定的充要条件稳定性是系统在扰动消失后，自身具有的一种恢复能力，它是系统的一种固有特性，这种特性只取决于系统的结构和参数，与外作用

32、无关。线性定常系统的稳定性的定义：如果线性定常系统受到扰动的作用，偏离了原来的平衡状态，而当扰动消失后，系统又能够逐渐恢复到原来的平衡状态，则称该系统是渐进稳定的（简称为稳定）。否则，称该系统是不稳定的。在下面的讨论中，如果系统的数学模型是建立在小偏差线性化的基础上，则认为系统中各信号的变化均不超出其线性范围。此时，该系统采用上述的稳定性的定义。根据上述稳定性的定义，可以用 函数作为扰动来讨论系统的稳定性。设线性定常系统在初始条件为零时，输入一个理想单位脉冲 ，这相当于系统在零平衡状态下，受到一个扰动信号的作用，如果当t趋于 时，系统的输出响应C(t)收敛到原来的零平衡状态，即该系统就是稳定的

33、。根据这个思路分析系统稳定的充要条件。设系统的闭环传递函数为 特征方程为 如果特征方程的所有根互不相同，且有q个实数根 和r对共轭复数根 ,则在单位脉冲函数 的作用下，系统输出量的拉氏变换可表示为将上式用部分分式法展开并进行拉氏反变换得（3-28）式中 式（3-28）表明 当系统特征方程的根都具有负实部时，则各瞬态分量都是衰减的，且有 ，此时系统是稳定的。如果特征根中有一个或一个以上具有正实部，则该根对应的瞬态分量是发散的，此时有 ，系统是不稳定的。如果特征根中具有一个或一个以上的零实部根，而其余的特征根均有负实部，则C（t）趋于常数或作等幅振荡，这时系统处于稳定和不稳定的临界状态，常称之为临

34、界稳定状态。对于大多数实际系统，当它处于临界状态时，也是不能正常工作的，所以临界稳定的系统在工程上属于不稳定系统。线性定常系统稳定的充分必要条件：闭环系统特征方程的所有根据都具有负实部，或者说闭环传递函数的所有极点均位于为S平面的左半部分（不包括虚轴）。三.劳斯稳定判据由以上讨论可知，控制系统的稳定的充要条件是其特征方程的根均具有负实部。因此，为了判别系统的稳定性，就要求出系统特征方程的根，并检验它们是否都具有负实部。但是，这种求解系统特征方程的方法，对低阶系统尚可以进行，而对高阶系统，将会遇到较大的困难。因此，人们希望寻求一种不需要求解的特征方程而能判别系统稳定性的间接方法，而劳斯判据就是其

35、中的一种。劳斯判据利用特征方程的各项系数进行代数运算，得出全部特征根具有负实部的条件，以此作为判别系统是否稳定的依据，因此，这种判据又称为代数稳定判据。至于分析系统稳定性的其它方法如奈氏判据、根轨迹图分析法、伯德图分析法等，将在以后的各章中分别予以介绍。1、稳定的必要条件设系统的特征方程为 式中 （当 时，可将方程两边同乘以-1）。若该方程的特征根为 （1,2,.n）,该n个根可以是实数也可以是复数，则式（3-29）可改写成为将上式展开（3 32929）由此可见，如果特征方程的根 都具有负实部，则式（3-29）的所有系数 必然都大于零。故系统稳定的必要条件是其特征方程的各项系数均为正，即 根根

36、据据必必要要条条件件，在在判判别别系系统统的的稳稳定定性性时时，可可事事先先检检查查系系统统特特征征方方程程的的系系数数是是否否都都大大于于零零，若若有有任任何何系系数数是是负负数数或或等等于于零零，则则系系统统是是不不稳稳定定的的。但但是是，当当特特征征方方程程满满足足稳稳定定的的必必要要条条件件时时，并并不不意意味味着着系系统统一一定定是是稳稳定定的的，为为了了进进一一步步确确定定系系统统的的稳稳定定性性，可可以以使使用用劳斯判据。劳斯判据。2.劳斯判据应用劳斯判据分析系统的稳定性时，可按下述方法进行。将系统的特征方程写成如下标准形式将方程各项系数组成劳斯表将方程各项系数组成劳斯表计算劳斯

37、表的各系数 系系数数的的计计算算一一直直进进行行到到其其余余的的b b值值全全部部等等于于零零为为止止。用用同同样样的的前前两两行行系系数数交交叉叉相相乘乘的的方方法法，可可以以计计算算c c,d,d,e,f,g e,f,g各行的系数。各行的系数。这个计算过程一直进行到n+1行为止。为了简化运算，可以用一个正整数去乘或除其一行的各项，这将不改变稳定性的结论。劳斯稳定判据（1）劳斯表第一列所有系数均不为零的情况 如果劳斯表中第一列的系数都具有相同的符号，则系统是稳定的，否则系统是不稳定的。且不稳定根的个数等于劳斯表中第一列系数符号改变的次数。1141061722 2例例3-33-3 已知系统的特

38、征方程为已知系统的特征方程为 试用劳斯判据分析系统的稳定性。试用劳斯判据分析系统的稳定性。解解 列劳斯表列劳斯表劳斯表第一列的系数符号相同，故系统的是稳定的。由于判别系统是否稳定只与劳斯表中第一列系数的符号有关，而把劳斯表中某一行系数同乘以一个正数不会改变第一列系数的符号，所以为简化运算，常把劳斯表的某一行同乘以以一个正数后，再继续运算。本例中，劳斯表可按如下方法计算；1141061726758(同乘以6)791134（同乘以67）36900（同乘以791）134由于第一列系数的符号相同，故系统稳定，结论与前面一致。例34 已知系统的特征方程为 s4+2s2+s2+s+1=0试用劳斯判据判断系

39、统的稳定性。解列劳斯表如下S4111S3210S2(2*11*1)/2=1/2(2*11*0)/2=1S1(1*12*2)/1=3S0(3*21*0)/3=2 由于劳斯表第一列的系数变号两次，一次由1/2变为-3，另一次由-3变为2，故特征方程有两个根在S平面右半部分，系统是不稳定的。(2)劳斯表某行的第一列系数等于零，而其余各项不全为零的情况当劳斯表某一行的第一列系数为零，而其余项不全为零，可用一个很小的正数 代替第一列的零项，然后按照通常方法计算劳斯表中的其余项。例例 3-5 3-5 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 试判别系统的稳定性。试判别系统的稳定性。解：由特征方程列出劳斯表

40、 1 2 5 1 2 0 5 5 当的取值足够小时，(2-5)/=2-5/将取负值，故劳斯表第一列系数变号两次，由劳斯判据可知，特征方程有两个根具有正实部，系统是不稳定的。对于这种情况，也可以用(s+1)因子乘以原特征方程，然后按新的特征方程计算劳斯表。例如在上例中用(s+1)乘以原特征方程得0（2-5）/劳斯表为13724529（同乘以2）-10101110显然，劳斯表第一列系数变号两次，其结论与前面是一致的。例如 ，等等。显然，系统是不稳定的。此时，为了确定根的分布情况，可按下列步骤处理：*利用第K-1行的系数构成辅助方程。*求辅助方程对s的导数，将其系数代替原全部为零的K行，继续计算劳斯

41、表。*特征方程中以原点为对称的根可由辅助方程求得。(3)(3)劳斯表某行所有系数均为零的情况劳斯表某行所有系数均为零的情况 如果劳斯表中某一行（如第如果劳斯表中某一行（如第K K行）各项为零，这说明在行）各项为零，这说明在S S平面内存在以原点为对称的特征根。平面内存在以原点为对称的特征根。1820162121621216000由上表看出，行的各项全为零，为了求出 各行，由 行的各项系数构成辅助方程 将辅助方程对s求导得 用上式各项系数作为 行的各系数继续计算劳斯表得例例 3-6 3-6 已知系统的特征方程为已知系统的特征方程为 分析系统的稳定性。分析系统的稳定性。解解 由特征方程列劳斯表由特

42、征方程列劳斯表18201621216212168246168/316 由于劳斯表第一列系数符号都相同，因此，可以确定没有特征方程根分布在S平面的右半部分。但由于 行的各项均为零，这表明系统有共轭虚根，所以系统是不稳定的，共轭虚根可由辅助方程求得，即由或 解得 综上所述，应用劳斯表判据分析系统的稳定性时，一般可以按如下顺序进行：1、确定系统是否满足稳定的必要条件。当特征方程的系数不满足 (i=0,1,2,n)时，系统是不稳定的。2、当特征方程的系数满足(i=0,1,2,n)时，计算劳斯表。当劳斯表的第一列系数都大于零时，系统是稳定的。如果第一列出现小于零的系数，则系统是不稳定的。3、若计算劳斯表

43、时出现情况（2）和（3），此时为确定系数极点的分布情况，可按情况（2）和（3）的方法处理。运用劳斯判据，不仅可以判定系统是否稳定，还可以用来分析系统参数的变化对稳定性产生的影响，从而给出使系统稳定的参数范围。例3-7已知系统的结构图如图3-20所示。当时,试确定K为何值时，系统稳定。解图3-20的开环传递函数为其闭环传递函数为R(s)-E(s)1+C(s)图3-20例3-7系统结构图特征方程为将，代入特征方程得由特征方程列劳斯表1750034.67500 K7500K要使系统稳定，必须满足解不等式得K0，K34.6因此，要使不等式稳定，参数K的取值范围是0K34.6例3-8已知系统的结构图如图

44、3-21所示，求系统临界稳定时的放大系数及它与参数、之间的关系解系统的开环传递函数为R(s)-C(s)图3-21例3-8系统结构图其中K=，为系统的开环放大系数。系统的闭环传递函数和特征方程分别为或由特征方程列劳斯表K+1要使系统稳定，必须满足K+10通常，系统的时间常数及放大系数都大于零，因此，要使系统稳定必须满足或当系统临界稳定时由此可见，、中只要有一个足够小，则就可以增大，决定大小的，实际上并不是各时间常数的绝对值，而是其相对值，即决定于各时间常数的比值。上式变为由此可见，当时，若取，则所以把时间常数错开，可使系统的临界放大系数增大。有些文献上称之为“错开原理”。在系统的分析中，劳斯判据

45、可以根据系统特征方程的系数来确定系统的稳定性，同时还能给出系统的某些参数的取值范围。但是，它的应用也具有一定的局限性，通常它只能提供系统绝对稳定性的结论，而不能指出系统是否具有满意的动态过程。此外，当系统不稳定时，它不能提供改善系统稳定性的方法和途径。3-6控制系统的稳态误差系统的稳态分量反映系统跟踪控制信号的准确度或抑制扰动信号的能力，用稳态误差来描述。在系统的分析、设计中，稳态误差是一项重要的性能指标，它与系统本身的结构、参数及外作用的形成有关，也与元件的不灵敏、零点漂移、老化及各种传动机械的间隙、摩擦等因素有关。本章只讨论由于系统结构、参数及外作用等因素所引起的稳态误差。给定稳态误差（由

46、给定输入引起的稳态误差）扰动稳态误差（由扰动输入引起的稳态误差）对于随动系统，给定输入变化，要求系统输出量以一定的精度跟随输入量的变化，因而用给定稳态误差来衡量系统的稳态性能。对恒值系统，给定输入通常是不变的，需要分析输出量在扰动作用下所受到的影响，因而用扰动稳态误差来衡量系统的稳态性能。本章介绍稳态误差的概念和计算方法，研究稳态误差的规律性以及减小或消除稳态误差的途径。一、稳态误差的定义系统的误差 e(t)一般定义为输出量的希望值与实际值之差。对图3-22所示的典型系统，其误差定义有两种形式：（1）式中，为系统输出量的希望值，C(t)为输出量的实际值。（2）其中，系统输出量的希望值是给定输入

47、r(t)，而输出量的实际值为系统主反馈信号b(t)。通常H（s）是测量装置的传递函数，故此时误差就是给定输入与测量装置的输出量之差。第一种形式的误差是从系统输出端来定义的，它在性能指标提法中经常使用，但在实际系统中无法测量，因而，一般只有数学意义。而第二种形式的误差是从系统的输入端来定义的，它在系统中是可以测量的，因而具有实用性。对于单位反馈系统，要求输出量C(t)的变化规律与给定输入r(t)的变化规律完全一致，所以给定输入r(t)也就是输出量的希望值 ，即 。此时，上述两种定义统一为 e(t)=r(t)-c(t)（3-31）R(t)-B(s)E(s)N(s)+C(s)图3-22反馈系统结构图

48、对于单位反馈系统，误差的两种定义形式是一致的。对于非单位反馈系统，若设第（1）种形式的误差为 E(s),第（2）种形式的误差为E(s)，则不难证明E(s)与E(s)之间存在如下关系 可见，两种定义对非单位反馈系统是存在差异的，但两种定义下的误差之间具有确定的关系，即误差E(s)可以直接或间接地由 E(s)来确定。从本质上看，它们都能反映控制系统的控制精度。在下面的讨论中，我们将采用第二种误差定义。E(t)通常也称为系统的误差响应，它反映了系统在输入信号和扰动信号作用下整个工作过程中的精度。误差响应中也包含有瞬态分量和稳态分量两个部分，如果所研究的系统是稳定的，那么当时间t趋于无穷大时，瞬态分量

49、趋近于零，剩下的只是稳态分量。稳态误差的定义：稳态系统误差信号的稳态分量称为系统的稳态误差，以 表示。（3-32）二、输入作用下的稳态误差 在图3-22所示系统中，如果不计扰动输入的影响，可以求得系统的给定稳态误差。此时，系统的结构图可简化为图3-23。E(s)R(s)B(s)G(s)H(s)C(s)图3-23给定输入作用下系统结构图-由图3-23可知由误差的定义可知式中称为给定输入作用下系统的误差传递函数。应用拉氏变换的终值定理可以方便地求出系统的稳态误差。（3-33）式（3-33）是确定给定稳态误差的一个基本公式。它表明，在给定输入作用下，系统的稳态误差与系统的结构、参数和输入信号的形式有

50、关，对于一个给定的系统，当给定输入的形式确定后，系统的稳态误差将取决于以开环传递函数描述的系统结构。为了分析稳态误差与系统结构的关系，可以根据开环传递函数G(s)H(s)中串联的积分环节来规定控制系统的类型。设系统的开环的传递函数为（3-34）式中称为系统的开环放大环节或开环增益。式（3-34）分母中的 表示开环传递函数在原点处有重极点，或者说有 个积分环节串联。当 时，分别称系统为0型、1型、2型系统。分类是以开环传递函数中串联的积分环节数目为依据的，而C(s)H(s)中其它零、极点对分类没有影响。下面分析系统在不同典型输入信号作用下的稳态误差。令称 为稳态位置误差系数。稳态误差可表示为 （