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1、大学物理大学物理第第15 15章章 机械振动机械振动华中科技大学华中科技大学 物理系物理系Lin_king_林 钢2023/1/81第第15章章 机械机械振动振动 1 15.1 5.1 简諧振动与动力学方程简諧振动与动力学方程 1 15.2 5.2 简諧振动的数学表示简諧振动的数学表示 相位相位 1 15.3 5.3 旋转矢量与谐振动能量旋转矢量与谐振动能量 1 15.4 5.4 简諧振动的合成简諧振动的合成 1 15.5 5.5 振动的相空间描述振动的相空间描述 15.6 15.6 阻尼振动与受迫振动阻尼振动与受迫振动 共振共振2023/1/82机械简谐振动机械简谐振动 n机械振动机械振动:
2、物体在一定位置附近作来回的物体在一定位置附近作来回的往复运动。往复运动。例如例如 心脏的跳动，心脏的跳动，钟摆的运动等钟摆的运动等.n广义振动广义振动:任意物理量在一定位置附近作任意物理量在一定位置附近作来回的往复运动。来回的往复运动。例如例如 交流电、交流电、电磁波等电磁波等代表了自然界的一大类型运动规律代表了自然界的一大类型运动规律2023/1/831 15.1 5.1 简谐振动与动力学方程简谐振动与动力学方程对于一维运动有对于一维运动有:单摆单摆：在不考虑摩擦力的情在不考虑摩擦力的情况下，悬线下的小球在铅锤面况下，悬线下的小球在铅锤面内作往复小角摆动。内作往复小角摆动。2023/1/84
3、单摆单摆:弹簧振子弹簧振子:2023/1/85令令:和和(1)式和式和(2)式可表示为下列统一形式式可表示为下列统一形式:方程的解为方程的解为:2023/1/86其中其中A和和是积分常数是积分常数,由振动的初始条件确定由振动的初始条件确定:初位移和初速度决定初位相和振幅初位移和初速度决定初位相和振幅,由振动由振动系统决定系统决定-理解固有频率的含义。理解固有频率的含义。固有！固有！与运动无关与运动无关2023/1/87弹簧振子的解：弹簧振子的解：单摆的解：单摆的解：周期为周期为:固有频率：固有频率：固有频率：固有频率：周期为周期为:2023/1/88例题：带电球沿直径隧道中负电例题：带电球沿直
4、径隧道中负电荷运动是否简谐运动？荷运动是否简谐运动？负电荷将作简谐运动，其周期为：负电荷将作简谐运动，其周期为：负电荷运动方程为：负电荷运动方程为：2023/1/89一一.描述振动的物理量描述振动的物理量简谐振动的特征量简谐振动的特征量:周期周期(T):物理量往复一次所需时间物理量往复一次所需时间振幅振幅(A):物理量偏离平衡位置的最大位移物理量偏离平衡位置的最大位移周相周相(t+):确定确定物理量在物理量在t时刻的运动状态时刻的运动状态其中其中:15.2 15.2 简諧振动的数学表达简諧振动的数学表达 相位相位2023/1/810 二二.简谐振动的表达式简谐振动的表达式:T,A,完全确定一个
5、振动完全确定一个振动振幅振幅角频率角频率初相初相相位相位2023/1/811相同的位置不同的相位，状态不同相同的位置不同的相位，状态不同2023/1/812c和和c点点 x坐标相同坐标相同,但状态不同但状态不同.c点点和和c 点点x坐标相同，状态相同坐标相同，状态相同.由于函数的周期性由于函数的周期性：状态也相同状态也相同结论：简谐振动不能用质点位置表示其状态。结论：简谐振动不能用质点位置表示其状态。2023/1/813 1.1.在一个周期内在一个周期内,质点所经历的状态没有一个是相质点所经历的状态没有一个是相同的同的.2.2.两个完全相同的状态只有在不同的周期内出现两个完全相同的状态只有在不
6、同的周期内出现.3 3凡是相位同的状态凡是相位同的状态,它们所对应的相位差为它们所对应的相位差为:用位相表达质点振动状态用位相表达质点振动状态,充分反映了振动的充分反映了振动的周期性周期性.而定义振动的初位相为而定义振动的初位相为:简谐振动必须用质点运动的相位表示其状态。简谐振动必须用质点运动的相位表示其状态。2023/1/814见振动位置，速度，加速度图象见振动位置，速度，加速度图象:设设:三三 振动的速度、加速度：振动的速度、加速度：2023/1/8152023/1/8162023/1/817 t+t=t:初位相初位相 t+：位相位相1 15.3 5.3 旋转矢量与振动的相旋转矢量与振动的
7、相 谐振动能量谐振动能量矢量旋转一周的时间为矢量旋转一周的时间为简谐振动的周期。简谐振动的周期。矢量单位时间旋转的角度。矢量单位时间旋转的角度。2023/1/818振动的比较：振动的比较：为比较两同频率振动为比较两同频率振动,定义振动的定义振动的 位相差位相差:在在时时X2 超前超前 X1X2 落后落后 X1设有两个振动设有两个振动:2023/1/819例如例如:改写为改写为:X1 超前超前 X2X2 落后落后 X1例如例如:X1 超前超前 X2其中其中:特别特别:X2 与与 X1同相同相X2 与与 X1反向反向2023/1/820振动的比较：函数与旋转矢量对照振动的比较：函数与旋转矢量对照振
8、动矢量图振动矢量图2023/1/8211010102振动的比较：函数与旋转矢量对照振动的比较：函数与旋转矢量对照2023/1/822表示简谐振动的三种方法表示简谐振动的三种方法:1.1.表达式法表达式法:2.2.坐标坐标,时间曲线法时间曲线法 3.3.旋转矢量法直观表示相位旋转矢量法直观表示相位 2023/1/823例题：已知振动图线例题：已知振动图线,求任一时刻的求任一时刻的 x、v、a：由图和旋转矢量：由图和旋转矢量：利用初始条件：利用初始条件：求导求导转过这个角度用时1秒2023/1/824找特征量找特征量:设振幅设振幅 A再找再找 :由由 t=0 找出找出 X0得得 X0例题：已知振动
9、图线例题：已知振动图线,x0 0已知，求任一时刻的已知，求任一时刻的 x、v：解出解出:A之后之后x、v 可求可求.2023/1/825例例.一物体沿一物体沿 X 轴作简谐振动轴作简谐振动，A =12 cm T=2s 当当 t=0 时时，X0 =6 cm ，且向且向 X 正方向运动正方向运动.求求(1)初位初位相相(2)t=0.5s 时时，物体的位置、速度、加速度物体的位置、速度、加速度.3）在在 x=-6cm 处且向处且向 X 负方向运动时负方向运动时，求物体的速度求物体的速度、加速加速度以及从这一位置回到平衡位置需的时间。度以及从这一位置回到平衡位置需的时间。由旋转矢量看由旋转矢量看(1)
10、初位相初位相62023/1/826(2)t=0.5s 时时，物体的位置、速度、加速度物体的位置、速度、加速度62023/1/827（3）在在 x=-6cm 处且向处且向 X 负方向运动时，物体的速负方向运动时，物体的速度度、加速度以及从这一位置回到平衡位置需的最短时间。、加速度以及从这一位置回到平衡位置需的最短时间。质点之合力可求解。质点之合力可求解。第二次通过第二次通过-6cm的时刻：的时刻：2023/1/828例例,一质量为一质量为m的物体，在弹力作用下沿的物体，在弹力作用下沿x轴运动，平衡点轴运动，平衡点在原点，弹簧的弹性系数为在原点，弹簧的弹性系数为k，振幅为，振幅为A，初始时刻，初始
11、时刻，物体位于物体位于A/2/2处，且沿处，且沿x轴反方向运动，求振动表达式轴反方向运动，求振动表达式？2023/1/829例例,两个两个弹簧弹簧振子的周期都是振子的周期都是0.40.4秒，开始第一个振子从秒，开始第一个振子从平衡位置向负方向运动，经过平衡位置向负方向运动，经过0.50.5秒时间后，第二个振秒时间后，第二个振子才从正方向的端点开始运动，求两子才从正方向的端点开始运动，求两振动的振动的相位差，相位差，比较两个振动。比较两个振动。开始第一个振子从平衡位置向负方向运动开始第一个振子从平衡位置向负方向运动经过经过0.5秒时间后秒时间后第二个振子才从正方向的端点开始运动第二个振子才从正方
12、向的端点开始运动 两个振动反相两个振动反相0.1秒矢量转过直角秒矢量转过直角2023/1/830 对于速度曲线，判对于速度曲线，判断初位相。断初位相。2023/1/831M 物体由物体由x0处静止出处静止出发，求振动方程发，求振动方程物体平衡时作用于物体的两弹簧力抵消物体平衡时作用于物体的两弹簧力抵消物体在任意位置物体在任意位置x处受力：处受力：运动方程：运动方程：2023/1/832例例,在一个平板上放一个物体，质量为在一个平板上放一个物体，质量为m,平板在竖直方向平板在竖直方向做简谐振动。已知振动周期做简谐振动。已知振动周期T，振幅，振幅A，求物体对平板，求物体对平板的压力。平板以多大振幅
13、振动，物体脱离平板？的压力。平板以多大振幅振动，物体脱离平板？M的振动方程：的振动方程：物体脱离平板物体脱离平板2023/1/833例例,有一个定滑轮半径为有一个定滑轮半径为R，转动惯量为，转动惯量为J，如图装置跨接弹簧和物，如图装置跨接弹簧和物体体m。将物体从平衡位置下拉小距离后放开。求振动？。将物体从平衡位置下拉小距离后放开。求振动？平衡位置平衡位置空载位置空载位置初始位置初始位置运动方程运动方程得到：得到：2023/1/834简谐振动的能量简谐振动的能量以弹簧振子为例以弹簧振子为例:守恒！守恒！2023/1/835势势 能能动动 能能总总 能能守恒！守恒！2023/1/836 注意注意：
14、10 简谐振动系统的动能、势能简谐振动系统的动能、势能随时间变化，总能量为常数。随时间变化，总能量为常数。20 W总总 A2 对任意谐振子适用。对任意谐振子适用。30 W k、Wp的变化频率是振动频率的的变化频率是振动频率的 2倍倍.能量能量时间曲线时间曲线40 每周期内动能与势能的平均值相等，且等于总能量的每周期内动能与势能的平均值相等，且等于总能量的一半。一半。2023/1/837 由于弹簧振子运动的过程中弹性力是保由于弹簧振子运动的过程中弹性力是保守力守力,振子系统的振子系统的机械能守恒机械能守恒.由此得到由此得到振动机械能决定振幅振动机械能决定振幅.由于总机械能能由于总机械能能根据能量
15、按自由度均分的原理根据能量按自由度均分的原理,总机械能在总机械能在振动自由度上均分为振动自由度上均分为平均平均动能和势能动能和势能:2023/1/838例例,一一质质量量为为1 10 0g的的物物体体作作简简谐谐振振动动，振振幅幅2 24 4cm，周周期期4 4秒秒，t0 0时时位位移移是是2 24 4cm，求求t0 0.5 5秒秒时时物物体体位位置置、受受力力，由由起起始始位位置置到到x1 12 2cm处处所所需需要要的的最最少少时时间间？此此 时时 的的 速速 度度、动动 能能、势势 能能、总总 能能。由起始位置到由起始位置到x1212cm处所处所需要的最少时间需要的最少时间2023/1/
16、839例例,一一质质量量为为1 10 0g的的物物体体作作简简谐谐振振动动，振振幅幅2 24 4cm，周周期期4 4秒秒，t0 0时时位位移移是是2 24 4cm，求求t0 0.5 5秒秒时时物物体体位位置置、受受力力，由由起起始始位位置置到到x1 12 2cm处处所所需需要要的的最最少少时时间间？此此 时时 的的 速速 度度、动动 能能、势势 能能、总总 能能。动能动能势能势能总能总能2023/1/840例例,一质量为一质量为m的物体在弹力作用下作简谐振动，弹簧的物体在弹力作用下作简谐振动，弹簧的弹性系数为的弹性系数为k，振子具有初始动能，振子具有初始动能Ek0和和初始势能初始势能Ep0，求
17、振幅、动能等于势能的位移、平衡位置时物求振幅、动能等于势能的位移、平衡位置时物体速度。体速度。系统总能系统总能平衡位置势能为零平衡位置势能为零2023/1/841一一.两个同方向、同频率简谐振动的合成两个同方向、同频率简谐振动的合成1 15.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成二二.两个同方向、两个同方向、不不同频率的简谐振动的合成同频率的简谐振动的合成三三.振动方向互相垂直、同频率的简谐振动振动方向互相垂直、同频率的简谐振动的合成的合成四四.振动方向互相垂直、振动方向互相垂直、不不同频率的简谐振同频率的简谐振动的合成动的合成2023/1/842 两个振动作用于一个质点，质点的运动合两个振
18、动作用于一个质点，质点的运动合成为两振动位移的和成为两振动位移的和:合振动的频率合振动的频率“”与分振动频率相同与分振动频率相同“x”：同方向同方向“”：同频率同频率方程：简谐振动方程：简谐振动1 15.4 5.4 简谐振动的合成简谐振动的合成一一.两个同方向、同频率简谐振动的合成两个同方向、同频率简谐振动的合成2023/1/843A2A1A 与分振动频率相同与分振动频率相同2023/1/844当当:合振动幅度最大合振动幅度最大当当:合振动幅度最小合振动幅度最小特别在特别在 A1=A2 时时2023/1/845观察同频同方向振动合成观察同频同方向振动合成:2023/1/8462023/1/84
19、7例：振例：振动合成：动合成：2023/1/848例：振动合成：例：振动合成：2023/1/849 两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为两个同方向、同频率的谐振动，其合振动的振幅为20cm，合振动的位相与第一个振动的位相之差为合振动的位相与第一个振动的位相之差为30o，若第一个振动的，若第一个振动的振幅为振幅为17.3cm，求第二个振动的振幅及第一、第二两个振动的，求第二个振动的振幅及第一、第二两个振动的位相差各是多少位相差各是多少?2023/1/850二二.同方向、不同频率的简谐振动的合成同方向、不同频率的简谐振动的合成即旋转矢量的旋转角速度不同即旋转矢量的旋转角速度不同,则则合振动
20、为合振动为:令令:和差化积：和差化积：合振动不是简谐振动！合振动不是简谐振动！2023/1/851定义定义:合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次合振幅在单位时间内加强（或减弱）的次数拍频数拍频当当注意：注意：合合振动振动可看成振幅缓慢变化的简谐振动。可看成振幅缓慢变化的简谐振动。合振幅时强时弱的现象称为合振幅时强时弱的现象称为“拍现象拍现象”在在a变化一个周期内，其绝对值两次达到极大，变化一个周期内，其绝对值两次达到极大，其频率是其频率是a变化频率变化频率 的两倍。的两倍。2023/1/852求拍频求拍频:下图蓝色实线表示合振动位移与时间的关系。下图蓝色实线表示合振动位移与时间的关系。红色虚线
21、红色虚线表示表示合振动振幅的周期性变化合振动振幅的周期性变化。拍频为两分频率的差拍频为两分频率的差2023/1/853三三.振动方向互相垂直、同频率的简谐振动振动方向互相垂直、同频率的简谐振动的合成的合成质点同时参与质点同时参与X方向和方向和Y方向的运动方向的运动,求其轨迹求其轨迹:2023/1/854(1)(2)(3)Y振动振动超前超前x振动振动,质点质点右旋右旋2023/1/855(4)X振动振动超前超前Y振动振动,质点质点左旋左旋(5)为任意值时为任意值时，合振动的轨迹为一般椭圆合振动的轨迹为一般椭圆 2023/1/856例例：振动合成振动合成：x振动振动超前超前y振动振动,质点左旋质点
22、左旋2023/1/8572023/1/858四四.振动方向垂直、不同频率的简谐振动的振动方向垂直、不同频率的简谐振动的合成合成两振动的频率成整数之比时，合成轨迹封两振动的频率成整数之比时，合成轨迹封闭且稳定。称为闭且稳定。称为李萨如图形李萨如图形。一般轨迹曲线复杂，一般轨迹曲线复杂，且不稳定。且不稳定。由切点数之比和已知频率可测未知频率。由切点数之比和已知频率可测未知频率。2023/1/859质点振动的轨迹是李萨如图形，当两垂直振质点振动的轨迹是李萨如图形，当两垂直振动的相差很大，但有简单比例时，质点振动动的相差很大，但有简单比例时，质点振动的轨迹是封闭且稳定。的轨迹是封闭且稳定。2023/1
23、/860设设n个振动的振幅相等，初相位依次差一个恒量个振动的振幅相等，初相位依次差一个恒量 。即：即：合成的结果为合成的结果为:N个同方向的个同方向的 同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成用矢量合成法用矢量合成法 多边形法则或解析法均可得多边形法则或解析法均可得2023/1/861其中其中2023/1/862得到得到:2023/1/863结果的讨论结果的讨论:1.设设:=2k 时时,k=0,1,2,3,m振动幅度得到最大值，称为合成振动幅度得到最大值，称为合成主极大主极大，这时各分振动矢量空间排列方向相同这时各分振动矢量空间排列方向相同.2.有极大，必然存在极小，令有极大，必然存在极小，令
24、A=0，仅需仅需:或或k=1,2,3,2023/1/864n个分振动的合成结果是零个分振动的合成结果是零但是由于但是由于:当当时时时时注意：注意：k与与k的取值的取值。2023/1/865在在k=k0 到到 k=k0+1间间,k 有有n-1个取值个取值 当当 值满足某次值满足某次主极大主极大合成后合成后,值变化得再值变化得再一次满足主极大合成时一次满足主极大合成时,中间要历经中间要历经n-1次叠加次叠加极小极小,而在这些极小间必定存在能而在这些极小间必定存在能n-2个比主极个比主极大小得多又比极小大的大小得多又比极小大的次极大次极大.思考思考:为什么当为什么当n值较大时值较大时,叠加主极大叠加
25、主极大的机会比叠加极小的机会要小得多的机会比叠加极小的机会要小得多?n参与合成的参与合成的振动数目振动数目2023/1/866是主极大是主极大是极小是极小例例:n=11 个同方向的个同方向的 同频率简谐振动的合成同频率简谐振动的合成是主极大是主极大 等等等等2023/1/867对于一般的对于一般的n:k=1,2,(n-1),(n+1),(n+2),(2n-1),(2n+1),(2n+2),(3n-1),(3n+1),(3n+2)(4n-1),(4n+1),(4n+2)极小极小k=n,2n,3n,4n,kn 是是主极大主极大每两个每两个主极大主极大之间有之间有n-1-1个个极小极小,n-2 2个次极大个次极大2023/1/868N=82023/1/869N=142023/1/870N=32023/1/871