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1、第二章 分枝过程一、母函数假设 X是取非负整数值的随机变量，且P(X=k)=k=0,1,，则称级数p(s)=为随机变量 的母函数，(|s|)例1：设X 是参数为 的普阿松数分布，则其母函数p(s)=(|s|)例2：设xB(n,p),即x是二项式分布，则其母函数p(s)=(ps+q)母函数有如下一些性质：定理2.1：设随机变量x的母函数为p(s)则有（1）E(x)=（1）（2）若E(x),则 Var(x)=P(1)+P(1)-(p(1)例如对普阿松随机变量x,因为E(x)0时,x=x(1)+x(N),当N=0时，x=0则x的母函数为h(s)=g(f(s)注:x的母函数与其分布函数1-1对应所以对
2、于一个取非负整数值的随机变量x,只要知道了它的母函数其分布也就完全知道了。二、分枝过程 设有一个反应堆，最初有n(0)个质点，由于质点之间的相互碰撞或其它射线的轰击，每隔一单位时间，一个质点可分离成k个质点（k=0,1,2)并设（1）这些质点的分离情况是相互独立的，具有共同分布（2）质点的分离情况与其年龄无关Z(n+1,i)表示时刻n存在的第i个质点在下一时刻(n+1)时刻分离出的质点数。X(n)表示n时刻反应堆中的质点数，则有X(0)=n(0)X(1)=Z(1,1)+Z(1,2)+Z(1,n(0)X(2)=Z(2,1)+Z(2,2)+Z(2,x(1)）.X(n+1)=Z(n+1,1)+Z(n
3、+1,2)+Z(n+1),x(n)上面的假设（1）、（2）说明z(n+1,i),i 1,n 0是一族相互独立具有共同分布的取非负整数的随机变量。令其共同分布为p(k)=P(z(n,i)=k)(k 0,i 1,n 0),其母函数f(s)=则称x(n),n 0是一个初始状态为n(0)的以f(s)为本原母函数的分枝过程。定理2.4:设x(n),n 0 如上所设，令f(n,s)为x(n)母函数，(n)=E(x(n),=var(x(n),则 (1)f(1,s)=f(s)(2)f(n+1,s)=f(n,f(s)(n 0)(3)(1)=n(0),其中 =f(1)=E(Z(n,i)(4)(5)(6)当 1时,
4、当 =1时，从定理2.4可知，只要f(s)已知，则X(n),n 0的一切信息都知道了。对于某一时刻n,若x(n)=0,则该过程就灭绝了。下面来讨论过程灭绝的概率因为X(n)=0 x(n+1)=0所以0 P(x(n)=0)P(x(n+1)=0)1,即P(x(n)=0),n=1,2,是一个单调有界序列，故其极限一定存在。我们称这个极限limP(x(n)=0)为x(n),n 0的绝灭概率，显然定理2.5设x(n),n 0是一个初始状态为1的以f(s)=p(0)+p(1)s+为本原母函数的分枝过程。为其绝灭概率，则(1)=f()(2)当 1,p(1)1时有 =1(3)当1 时,是s=f(s)在0,1)
5、内的唯一解例4：设x(n),n 0是以初始状态为1的以f(s)=p/(1-qs)为本原母函数的分枝过程，其中0p1,p+q=1,试求其灭绝概率解：f (s)=pq/(1-qs),=f(1)=pq/(1-q)=q/p(1)当p q时，有 1,显然有p(1)1(因为当p(1)=1时，f(s)=s)所以由定理2.5(2)有 =1(2)当p1.此时 是方程s=f(s)在0,1)内的唯一解.解这一方程s=p/(1-qs)得 =p/q定理2.7:设x(n),n 0是一个初始状态为n(0)的以f(s)为本原母函数的分枝过程,是x(n),n 0的绝灭概率，则证明：设y(n,i)表示初始时刻的第i个质点，在时刻n时所产生的反应堆中的质点数(i=1,2,n(0).显然，对任意的n,x(n)=y(n,1)+y(n,2)+y(n,n(0)且y(n,1),y(n,2),y(n,n(0)独立同分布所以p(x(n)=0)=P(y(n,1)+y(n,n(0)=0)=P(y(n,1)=0,Y(n,2)=0,y(n,n(0)=0)=P(y(n,1)=0)P(y(n,n(0)=0)因此 =limP(x(n)=0)=limP(y(n,1)=0)