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1、关于传染病模型第一页，本课件共有37页1、问题的提出、问题的提出描述传染病的传播过程描述传染病的传播过程分析受感染人数的变化规律分析受感染人数的变化规律预报传染病高潮到来的时刻预报传染病高潮到来的时刻预防传染病蔓延的手段预防传染病蔓延的手段按照传播过程的一般规律，用机理分析方按照传播过程的一般规律，用机理分析方法建立模型法建立模型第二页，本课件共有37页 已感染人数已感染人数(病人病人)i(t)每个病人每天有效接触每个病人每天有效接触(足以使人致病足以使人致病)人数为人数为 分析分析假设假设若有效接触的是病人，若有效接触的是病人，则不能使病人数增加则不能使病人数增加必须区分已感染者必须区分已感
2、染者(病病人人)和未感染者和未感染者(健康人健康人)建模建模?第三页，本课件共有37页 4.1 4.1 模型模型SISI模型模型1.1.模型的假设条件模型的假设条件SISI模型有下面两个假设条件：模型有下面两个假设条件：(1)(1)人群分为易感染者人群分为易感染者(Susceptible)(Susceptible)和已感染者和已感染者(Infective)(Infective)两类两类(取两个单词的第一个字母，称之为取两个单词的第一个字母，称之为SISI模型模型).).以下简称为健康者和病人，以下简称为健康者和病人，t t时刻这两类人在总时刻这两类人在总人数中所占的比例分别记作人数中所占的比例
3、分别记作s s(t t)和和i i(t t).).(2)(2)每个病人每天有效接触的平均人数是常数每个病人每天有效接触的平均人数是常数，称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使健称为日接触率，当病人与健康者有效接触时，使健康者受感染变为病人康者受感染变为病人.第四页，本课件共有37页 2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解根据假设，总人数为根据假设，总人数为N N，每个病人每天可使，每个病人每天可使ss(t t)个健康者变为病人，因为病人人数为个健康者变为病人，因为病人人数为NiNi(t t)，所以每天共，所以每天共有有NsNs(t t)i i(t t)个健康者被感染，于是个健康者被感染，
4、于是NsNs(t t)i i(t t)就是就是病人数病人数NiNi(t t)的增加率，即有的增加率，即有(4.1)又因为s(t)i(t)1(4.2)第五页，本课件共有37页再记初始时刻(t0)病人的比例为i0，则有(4.3)方程(4.3)是Logistic模型，它的解为(4.4)i(t)t和的图形如图4-1所示.第六页，本课件共有37页图4-1第七页，本课件共有37页3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论由式由式(4.3)(4.3)、(4.4)(4.4)及图及图4-14-1可知可知:(1)(1)当当时，时，达到最大值达到最大值，这个时，这个时刻为刻为(4.5)(4.5)这时病人人数增加得最快，预
5、示着传染病高潮这时病人人数增加得最快，预示着传染病高潮的到来，是医疗卫生部门关注的时刻的到来，是医疗卫生部门关注的时刻.t tm m与与成反比，成反比，因为日接触率因为日接触率表示该地区的卫生水平，表示该地区的卫生水平，越小卫生水越小卫生水平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染平越高，所以改善保健设施，提高卫生水平可以推迟传染病高潮的到来病高潮的到来.第八页，本课件共有37页(2)(2)当当t t时，时，i i11，即所有人终将被感染，全，即所有人终将被感染，全变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型变为病人，这显然不符合实际情况，其原因是模型中没有考虑到病人可以治愈中没有考虑
6、到病人可以治愈.为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设为了修正上述结果必须重新考虑模型的假设.下下面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况面两个模型中我们讨论病人可以治愈的情况.第九页，本课件共有37页4.2 模型模型SIS模型模型有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变为健康者，健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况健康者还可以再被感染变为病人，我们就这种情况建立的模型称为建立的模型称为SIS模型模型.第十页，本课件共有37页1.1.模型的假设模型的假设SISSIS模
7、型的假设条件模型的假设条件(1)(1)、(2)(2)与与SISI模型的假设相同，模型的假设相同，增加的条件增加的条件(即条件即条件(3)(3)为为:(3)(3)病人每天被治愈的占病人总数的比例为病人每天被治愈的占病人总数的比例为，称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，则称为日治愈率，病人治愈后成为仍可被感染的健康者，则是这种传染病的平均传染期是这种传染病的平均传染期.第十一页，本课件共有37页2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解考虑到假设考虑到假设(3)(3)，SISI模型的式模型的式(4.1)(4.1)应修正为：应修正为：(4.6)(4.6)式式(4.2)(4.2)不变，于是式
8、不变，于是式(4.3)(4.3)应改为：应改为：(4.7)(4.7)第十二页，本课件共有37页 方程方程(4.7)的解可表示为：的解可表示为：(4.8)第十三页，本课件共有37页3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论定义定义(4.9)(4.9)注意到注意到和和 的含义可知，的含义可知，是一个传染期内是一个传染期内每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式每个病人的有效接触的平均人数，称接触数，由式(4.8)(4.8)和和(4.9)(4.9)容易得到，当容易得到，当t t时，时，(4.10)(4.10)第十四页，本课件共有37页 根据式根据式(4.8)(4.8)(4.10)(4.10)可以画出可
9、以画出i i(t t)t t的图形如图的图形如图4-24-2所示所示.接触数接触数1 1是一个阈值，当是一个阈值，当11时病人比例时病人比例i i(t t)越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从越来越小，最终趋于零，这是由于传染期内经有效接触从而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故；而使健康者变为病人的人数不超过原来病人人数的缘故；当当11时，时，i i(t t)的增减性取决于的增减性取决于i i(0)(0)的大小，但其极限的大小，但其极限值值i i()()1 11 1随随的增加而增加的增加而增加.SISI模型可视为本模型的特例模型可视为本模型的特例.第十五页，本课件共有
10、37页图 4-2第十六页，本课件共有37页4.3 4.3 模型模型SIRSIR模型模型1.1.模型的假设模型的假设大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者后均有很强的免疫力，所以治愈后的人既非健康者(易易感染者感染者)也不是病人也不是病人(已感染者已感染者)，他们已经退出传染系，他们已经退出传染系统统.这种情况下的模型假设条件为：这种情况下的模型假设条件为：(1)(1)人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者(Removed)(Removed)三种，称三种，称SIRSIR
11、模型模型.三类人在总人数三类人在总人数N N中所占的中所占的比例分别为比例分别为s s(t t)、i i(t t)和和r r(t t)；(2)(2)病人的日接触率为病人的日接触率为，日治愈率为，日治愈率为，/.第十七页，本课件共有37页2.2.模型的建立与求解模型的建立与求解由条件由条件(1)(1)，有，有s s(t t)i i(t t)r r(t t)1 1(4.11)(4.11)根据条件根据条件(2)(2)，方程，方程(4.6)(4.6)仍成立仍成立.对于病愈免疫的移对于病愈免疫的移出者而言，应有出者而言，应有(4.12)(4.12)再记初始时刻的健康者和病人的比例分别是再记初始时刻的健康
12、者和病人的比例分别是s s0 0(0)(0)和和i i0 0(0)(0)(不妨设移出者的初始值不妨设移出者的初始值r r0 00)0)，则由，则由式式(4.6)(4.6)、(4.11)(4.11)和和(4.12)(4.12)，SIRSIR模型的方程可以写为：模型的方程可以写为：第十八页，本课件共有37页(4.13)方程方程(4.13)无法求出无法求出s(t)和和i(t)的解析解，我们转的解析解，我们转到相平面到相平面si上来讨论解的性质上来讨论解的性质.相轨线的定义域相轨线的定义域(s，i)D应为：应为：D(s，i)|s0，i0，si1(4.14)第十九页，本课件共有37页在方程在方程(4.1
13、3)(4.13)中消去中消去d dt t，并利用式，并利用式(4.9)(4.9)，可得，可得(4.15)(4.15)容易求出方程容易求出方程(4.15)(4.15)的解为：的解为：(4.16)(4.16)则在定义域则在定义域D D内，相轨线如图内，相轨线如图4-34-3所示所示.图中箭头表图中箭头表示了随着时间示了随着时间t t的增加的增加s s(t t)和和i i(t t)的变化趋向的变化趋向.第二十页，本课件共有37页图 4-3第二十一页，本课件共有37页3.3.模型的分析讨论模型的分析讨论下面根据式下面根据式(4.13)(4.13)、(4.16)(4.16)和图和图4-34-3分析分析t
14、 t时时s s(t t)、i i(t t)和和r r(t t)的变化情况的变化情况(它们的极限值分别记作它们的极限值分别记作s s，i i和和r r).).(1)(1)首先，由式首先，由式(5.4.13)(5.4.13)，而，而s s(t t)0)0，故，故s s存在；由式存在；由式(5.4.12)(5.4.12)知，知，而，而r r(t t)1)1，故，故r r存在；再由式存在；再由式(5.4.11)(5.4.11)知知i i存在存在.第二十二页，本课件共有37页其次，若其次，若i i00，则由式，则由式(4.12)(4.12)，对于充分大，对于充分大的的t t，有，有 ，这将导致，这将导致
15、r r，与，与r r存存在相矛盾在相矛盾.故不论初始条件故不论初始条件s s0 0，i i0 0如何，病人终将消失，如何，病人终将消失，即即i i0 0(4.17)(4.17)从图从图4-34-3上看，不论相轨线从上看，不论相轨线从p p1 1或从或从p p2 2出发，它终将出发，它终将与与s s轴相交轴相交.第二十三页，本课件共有37页(2)(2)最终未被感染的健康者比例是最终未被感染的健康者比例是s s，在式，在式(4.16)(4.16)中令中令i i0 0，得到，得到s s是方程是方程(4.18)(4.18)在在 内的单根，在图内的单根，在图4-34-3中中s s是相轨线是相轨线与与s
16、s轴在轴在 内交点的横坐标内交点的横坐标.第二十四页，本课件共有37页(3)(3)若若，则，则i i(t t)先增加，当先增加，当时，时，i i(t t)达到最大值达到最大值然后然后i i(t t)减小且趋于零，减小且趋于零，s s(t t)则单调减小至则单调减小至s s.第二十五页，本课件共有37页(4)(4)若若，则，则i i(t t)减小且趋于零，减小且趋于零，s s(t t)则单调减小则单调减小至至s s.可以看出，如果仅当病人比例可以看出，如果仅当病人比例i i(t t)有一段增长的时期才有一段增长的时期才认为传染病在蔓延，那么认为传染病在蔓延，那么 是一个阈值，当是一个阈值，当时传
17、染病就时传染病就会蔓延会蔓延.而减小传染期接触数而减小传染期接触数，即提高阈值，即提高阈值 ，使得，使得 ，传染病就不会蔓延，传染病就不会蔓延(健康者比例的初始值健康者比例的初始值s s0 0是一定的，通常可认是一定的，通常可认为为s s0 01)1)，我们注意到在，我们注意到在中，人们的卫生水平越高，日接触率中，人们的卫生水平越高，日接触率越小，医疗水平越高，日治愈率越小，医疗水平越高，日治愈率越大，于是越大，于是越小，所以越小，所以提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延提高卫生水平和医疗水平有助于控制传染病的蔓延.第二十六页，本课件共有37页从另一方面看，从另一方面看，是传染期内一个
18、病人是传染期内一个病人传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一传染的健康者的平均数，称为交换数，其含义是一个病人被个病人被ss个健康者交换个健康者交换.所以当所以当 ，即，即ss0 011时，必有时，必有ss1.1.既然交换数不超过既然交换数不超过1 1，病人比，病人比例例i i(t t)绝不会增加，传染病就不会蔓延绝不会增加，传染病就不会蔓延.第二十七页，本课件共有37页我们看到在我们看到在SIRSIR模型中接触数模型中接触数是一个重要参数是一个重要参数.可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值可以由实际数据估计，因为病人比例的初始值i i0 0通常很小，在式通常很小，在式(4.18)(
19、4.18)中略去中略去i i0 0可得可得(4.19)(4.19)于是当传染病结束而获得于是当传染病结束而获得s s0 0和和s s以后，由式以后，由式(4.19)(4.19)能算出能算出.另外，对血样作免疫检验也可以根据对检另外，对血样作免疫检验也可以根据对检验无反应和有反应，估计出验无反应和有反应，估计出s s0 0和和s s，然后计算，然后计算.第二十八页，本课件共有37页4.4.模型验证模型验证本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所本世纪初在印度孟买发生的一次瘟疫中几乎所有病人都死亡了有病人都死亡了.死亡相当于移出传染系统，有关部门死亡相当于移出传染系统，有关部门记录了每天移出者的人
20、数，依此实际数据，记录了每天移出者的人数，依此实际数据，KermackKermack等人等人用这组数据对用这组数据对SIRSIR模型作了验证模型作了验证.首先，由方程首先，由方程(4.11)(4.11)、(4.13)(4.13)可以得到可以得到(4.20)(4.20)(4.21)(4.21)第二十九页，本课件共有37页当当时，取式时，取式(4.21)(4.21)右端右端e err泰勒展开泰勒展开的前的前3 3项，在初始值项，在初始值r r0 00 0下的解为：下的解为：(4.22)(4.22)其中其中.从式从式(4.22)(4.22)容易算出容易算出 第三十页，本课件共有37页(4.23)(4
21、.23)然后取定参数然后取定参数s s0 0、等，画出式等，画出式(4.23)(4.23)的图形，的图形，如图如图4-44-4中的曲线，实际数据在图中用圆点表示中的曲线，实际数据在图中用圆点表示.可可以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错以看出，理论曲线与实际数据吻合得相当不错.第三十一页，本课件共有37页图 4-4第三十二页，本课件共有37页5.SIR5.SIR模型的应用模型的应用下面介绍下面介绍SIRSIR模型的两个应用模型的两个应用.1)1)被传染比例的估计被传染比例的估计在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健在一次传染病的传播过程中，被传染人数的比例是健康者人数比例的初始值康
22、者人数比例的初始值s s0 0与与t t的极限值的极限值s s之差，记之差，记作作x x，假定，假定i i0 0很小，很小，s s0 0接近于接近于1 1，由式，由式(4.18)(4.18)可得可得(4.24)(4.24)第三十三页，本课件共有37页取对数函数泰勒展开的前两项有取对数函数泰勒展开的前两项有(4.25)(4.25)记记，可视为该地区人口比例超可视为该地区人口比例超过阈值过阈值的部分的部分.当当时式时式(4.25)(4.25)给出给出(4.26)(4.26)第三十四页，本课件共有37页 这个结果表明，被传染人数比例约为这个结果表明，被传染人数比例约为的的2 2倍倍.对一种传染病，当
23、该地区的医疗和卫生水平不变，即对一种传染病，当该地区的医疗和卫生水平不变，即不变时，这个比例就不会改变不变时，这个比例就不会改变.而当阈值而当阈值 提高时，提高时，减小，于是这个比例就会降低减小，于是这个比例就会降低.第三十五页，本课件共有37页2)2)群体免疫和预防群体免疫和预防根据对根据对SIRSIR模型的分析，当模型的分析，当时传染病时传染病不会蔓延不会蔓延.所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水所以为制止蔓延，除了提高卫生和医疗水平，使阈值变大以外，另一个途径是降低平，使阈值变大以外，另一个途径是降低s s0 0，这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到这可以通过如预防接种使群体免疫的办法做到.忽略病忽略病人比例的初始值人比例的初始值i i0 0，有，有s s0 01 1r r0 0，于是传染病不会蔓延，于是传染病不会蔓延的条件的条件可以表示为可以表示为:(4.27)(4.27)第三十六页，本课件共有37页08.12.2022感感谢谢大大家家观观看看第三十七页，本课件共有37页