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1、随机变量的数字特征第一页，本课件共有106页4.1 一维随机变量的数字特征一维随机变量的数字特征 若当 时，则称 为随机变量的数学期望或均值，记作E，即有1.离散型随机变量的数学期望离散型随机变量的数学期望设随机变量的分布律为4.1.1 随机变量的数学期望随机变量的数学期望第二页，本课件共有106页离散型随机变量函数的数学期望离散型随机变量函数的数学期望f()的数学期望为第三页，本课件共有106页 例例 甲、乙两射手的稳定成绩分别为（甲中环数）8910概率0.30.10.6（乙中环数）8910概率0.20.40.4试比较甲、乙两射手谁优谁劣。第四页，本课件共有106页 解解 甲的平均环数因此，
2、从某种角度说，甲比乙射击本领高。乙的平均环数第五页，本课件共有106页 例例 B(n,p)，求E。解解第六页，本课件共有106页第七页，本课件共有106页 例例 若服从泊松分布P()，试求E。解解第八页，本课件共有106页几何分布的期望几何分布的期望证明：证明：例例4 第九页，本课件共有106页例例5 设想这样一种博彩游戏，博彩者将本金1元压注在1到6的某个数字上，然后掷三颗骰子，若所压的数字出现i次（i=1，2，3），则下注者赢i元，否则没收1元本金，试问这样的游戏规则对下注者是否有利?解：解：用随机变量表示下注者1元注金带来的赢利，其可能取值是1，1，2，3。显然可以用考察E是否等于零来评
3、价这一游戏规则对下注者是否有利。第十页，本课件共有106页的分布列为即第十一页，本课件共有106页由于平均赢利小于0，故这一游戏规则对下注者是不利的。第十二页，本课件共有106页 例例6 设的分布律为1013概率 求E2及 E(+2)。解解第十三页，本课件共有106页第十四页，本课件共有106页2.连续型随机变量的数学期望连续型随机变量的数学期望定义定义 若随机变量有概率密度函数f(x)，并且积分 收敛，则称积分 为的数学期望，记为E，即第十五页，本课件共有106页 例例7 设服从均匀分布，其分布密度为解解求E。第十六页，本课件共有106页若服从N(a,2)，求E。例例8解：解：第十七页，本课
4、件共有106页第十八页，本课件共有106页例例9 设服从参数为a的指数分布，其分布密度为解：解：第十九页，本课件共有106页设服从柯西分布，即有密度函数 证明不存在数学期望。证证 因为故E不存在。例例10第二十页，本课件共有106页连续型随机变量函数的数学期望连续型随机变量函数的数学期望如的密度函数为f(x),若则g()的数学期望第二十一页，本课件共有106页 例例11 若服从0，2 上均匀分布，求E(sin)。解解的密度函数为第二十二页，本课件共有106页数学期望的性质数学期望的性质(1)常数c的数学期望等于这个常数，即Ecc。证证 随机变量服从单点分布，即Pc=1，所以，EEcc1c(2)
5、设c是常数，若E存在，则E(c)也存在，并且有E(c)=cE。第二十三页，本课件共有106页(3)(4)特别地特别地(5)第二十四页，本课件共有106页 注：这些性质可以推广到多个随机变量上。第二十五页，本课件共有106页 例例13 在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设i 表示第i次试验成功的次数，则i有分布律i01概率1pp第二十六页，本课件共有106页此外，我们可以推导出 B(n,p)则第二十七页，本课件共有106页超几何分布的期望超几何分布的期望例例14解：解：第二十八页，本课件共有106页表示n次抽样抽出的废品数，服从超几何分布。第二十九页，本课件共有106页并称 为的标准差或
6、均方差。4.1.2 方差与标准差方差与标准差对随机变量，若E(-E)2存在，则称E(-E)2为的方差，记作D或Var，即定义定义第三十页，本课件共有106页由数学期望的性质，可导出计算方差的另一个公式：第三十一页，本课件共有106页1、对于离散型随机变量，若有分布律p(xi)，则2、对于连续型随机变量，若有分布密度(x)，则由方差的定义，有由方差的定义，有第三十二页，本课件共有106页例例1 B(n,p)，求D和 。解解第三十三页，本课件共有106页第三十四页，本课件共有106页 于是第三十五页，本课件共有106页例例2 设P()，试求D。解解第三十六页，本课件共有106页第三十七页，本课件共
7、有106页几何分布的方差几何分布的方差证明：证明：例例3第三十八页，本课件共有106页第三十九页，本课件共有106页例例4 证明事件在一次试验中发生次数的方差不超过1/4。证证 设表示事件在一次试验中发生的次数，即第四十页，本课件共有106页第四十一页，本课件共有106页 设随机变量服从a，b上的均匀分布，求D。例例5解：解：第四十二页，本课件共有106页例例6解：解：设随机变量服从正态分布N(a，2)，求D。第四十三页，本课件共有106页第四十四页，本课件共有106页设随机变量服从参数为a的指数分布，求D。例例7解：解：第四十五页，本课件共有106页分布名称分布名称数学期望数学期望方差方差二
8、项分布B(n,p)npnpq泊松分布P()正态分布N(a,2)a 2均匀分布Ua,b指数分布(参数为a)几何分布g(k;p)第四十六页，本课件共有106页方差的性质方差的性质证明：证明：（1）Dc=0 (c是常数是常数)（2）证明证明第四十七页，本课件共有106页（3）证明证明第四十八页，本课件共有106页（4）证明证明第四十九页，本课件共有106页第五十页，本课件共有106页性质4可以推广到如下情形。第五十一页，本课件共有106页（5）第五十二页，本课件共有106页在n次重复独立试验中，每次成功的概率为p。设i 表示第i次试验成功的次数，则i服从参数为p的（01）分布。求1+2+n 的方差。
9、例例8解：解：第五十三页，本课件共有106页4.1.3 随机变量的矩随机变量的矩定义定义设设为随机变量，为随机变量，c c为常数，为常数，k k为正整数，则为正整数，则n1)E(1)E(c)c)k k 称为称为关于关于c c点的点的k k阶矩。阶矩。n2 2）当）当c c0 0时时,a,ak k=E(=E(k k)称为称为的的k k阶原点矩阶原点矩;n3 3）当）当c=Ec=E时时,k k=E(=E(E)E)k k 称为称为的的k k阶中心阶中心矩。矩。第五十四页，本课件共有106页显然：显然：E是一阶原点矩是一阶原点矩D是是2阶中心矩。阶中心矩。第五十五页，本课件共有106页偏度系数偏度系数
10、用于衡量用于衡量的分布与正态分布的分布与正态分布(可以可以计算得偏度系数为计算得偏度系数为0)的偏离程度。的偏离程度。如偏度系数显著异于零，说明如偏度系数显著异于零，说明的分的分布与正态分布有较大的偏离程度。布与正态分布有较大的偏离程度。第五十六页，本课件共有106页峰度系数峰度系数用于衡量用于衡量的分布密度在均值附近的的分布密度在均值附近的陡峭程度陡峭程度,可以计算得正态分布的峰度系可以计算得正态分布的峰度系数为数为3。因此峰度系数越大，说明。因此峰度系数越大，说明的密的密度曲线在均值附近越陡峭。反之，越度曲线在均值附近越陡峭。反之，越平坦。大于平坦。大于3比正态分布更比正态分布更陡峭陡峭,
11、反之反之平坦于正态分布平坦于正态分布.第五十七页，本课件共有106页第五十八页，本课件共有106页N(0,N(0,2 2)，求，求E Ek。例例解解第五十九页，本课件共有106页4.2 随机向量的数字特征随机向量的数字特征 设二维连续型随机向量(,)的密度函数为(x,y),如果 绝对收敛，则f(,)的数学期望存在，且有 第六十页，本课件共有106页特别有特别有第六十一页，本课件共有106页例例12设(,)服从半圆域内的均匀分布，求、和3的数学期望。解：解：第六十二页，本课件共有106页第六十三页，本课件共有106页二维随机变量(,)，其协方差定义为4.2.1 二维随机向量的协方差二维随机向量的
12、协方差由定义由定义第六十四页，本课件共有106页证明证明第六十五页，本课件共有106页证明证明第六十六页，本课件共有106页定理定理1对二维随机变量(,)，(1)若,独立，则cov(,)0证明证明第六十七页，本课件共有106页第六十八页，本课件共有106页相关系数相关系数随机变量,的相关系数r(简记为r)r=0表示,不（线性）相关相关系数只是与间线性关系程度的一种量度。第六十九页，本课件共有106页相关系数的性质相关系数的性质对二维随机变量(,)，r为,的相关系数，则：（1）若,独立，则r=0.（2）1r1，当且仅当,间有严格线性关系时等号成立。定理定理2第七十页，本课件共有106页 设(,)
13、服从参数为1，2，1，2，r的二维正态分布，证明、的相关系数为r。由、独立的充要条件是r=0得：独立性与不相关性是等价的。例例1第七十一页，本课件共有106页第七十二页，本课件共有106页证明证明第七十三页，本课件共有106页若(,)是二维随机变量，则（1）E=E E+cov(,)（2）D(+)=D+D+2cov(,)定理定理3第七十四页，本课件共有106页例例2设二维随机向量（，）的联合密度为 试求数学期望E，E，方差D，D，协方差cov（，），相关系数r，并求D（53）。第七十五页，本课件共有106页解：解：第七十六页，本课件共有106页第七十七页，本课件共有106页补充：补充：第七十八页
14、，本课件共有106页已知1,2相互独立，均服从正态分布N(0,2),1a1b2，2a1b2，其中a，b是常数。（1）求1，2的相关系数;（2）问1，2是否相关，是否独立;（3）当1，2独立时，求(1，2)的联合密度函数。例例3第七十九页，本课件共有106页解：解：第八十页，本课件共有106页第八十一页，本课件共有106页（2）因为1，2都是正态分布随机变量，所以不相关与独立是等价的。故当|a|=|b|时，r=0，1,2相互独立，当|a|b|时，r0，1,2是不独立的。第八十二页，本课件共有106页(3)当1，2相互独立时，即a 2=b 2 时，1 N（0，2a22），即 第八十三页，本课件共有
15、106页第八十四页，本课件共有106页4.2.3 条件数学期望条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望离散型随机变量的条件数学期望为为在在(=b(=bj j)发生条件下的条件数学期望，简称发生条件下的条件数学期望，简称条件期望。条件期望。第八十五页，本课件共有106页连续型随机变量的条件数学期望连续型随机变量的条件数学期望为在(=y)发生条件下的条件数学期望，简称条件期望条件期望。第八十六页，本课件共有106页条件期望的性质条件期望的性质(1)(2)(3)特别地特别地第八十七页，本课件共有106页(4)第八十八页，本课件共有106页例例1 在求职过程中得到了三个公司的面试通知，为简在求职过程中
16、得到了三个公司的面试通知，为简化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位化计算，假定每个公司都有三类不同的空缺职位:一一般的、好的、极好的。其工资分别为般的、好的、极好的。其工资分别为2.5万元、万元、3万元、万元、4万元。估计能得到这些职位的概率分别为万元。估计能得到这些职位的概率分别为0.4，0.3，0.2，有，有0.1的概率将得不到任何职位，由于每家公司都要的概率将得不到任何职位，由于每家公司都要求在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，那么求在面试结束时表态接受或拒绝所提供的职位，那么应遵循什么策略来应答呢应遵循什么策略来应答呢?求职面试问题求职面试问题第八十九页，本课件共有106页解
17、：解：极端的情况当然容易处理，假设有一家公极端的情况当然容易处理，假设有一家公司聘任求职者担任极好的职位，当然就无需再司聘任求职者担任极好的职位，当然就无需再去下一家公司面试了。去下一家公司面试了。若一家公司不聘任，求职者必然要到下若一家公司不聘任，求职者必然要到下一家公司去面试的。对于其他情况，作任何一家公司去面试的。对于其他情况，作任何决定都是要冒风险的，有效的办法是决定都是要冒风险的，有效的办法是:采取使采取使期望收益最大的行动。期望收益最大的行动。第九十页，本课件共有106页结结 果果概率概率一般：一般：2.5万元万元0.4好的：好的：3万元万元0.3极好：极好：4万元万元0.2没有工
18、作：没有工作：0万元万元0.1将求职者的数据列成下表将求职者的数据列成下表:第九十一页，本课件共有106页 设去第设去第i个公司应聘的收益为个公司应聘的收益为i，(i=1,2,3）。当用）。当用期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，期望值准则对第一次面试作决策时就碰到了困难，因为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试因为假设第一次面试落聘，但有可能在以后的面试中会获得职位，因而这个结果（落聘）是带有不确中会获得职位，因而这个结果（落聘）是带有不确定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征定性的。这几乎是复杂决策问题的共同特征:在将来在将来的决策做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有的决策
19、做出之前，当前决策的结果是不能估算的，有一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，一种避开这个困难的方法，那就是先分析未来的决策，称这种方法为逆推解法。称这种方法为逆推解法。第九十二页，本课件共有106页 首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次首先考虑尚未接受职位而要去进行最后一次（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望（即第三次）面试，则可以确定公司提供工资的期望值为值为 E(3)=2.50.4+30.3+40.2+00.1=2.7(万元万元)知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决知道了第三次面试的期望值，就能倒推，以决定第二次面试应采取的行动。定第二次面试应采取的行动。第九十
20、三页，本课件共有106页 若提供极好的职位，肯定接受。若提供极好的职位，肯定接受。若没有职位肯定去进行第三次面试。若没有职位肯定去进行第三次面试。若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作若提供一般的工作，那么就须在接受这一工作(期望期望值值2.5万元）和不接受而去碰第三次面试的运气（期万元）和不接受而去碰第三次面试的运气（期望值望值2.7万元）这两者间做出选择，由于后者具有较万元）这两者间做出选择，由于后者具有较大的期望值，故这就是应采取的行动。大的期望值，故这就是应采取的行动。若提供一个好职位，那么其期望值较高（若提供一个好职位，那么其期望值较高（3万元）万元），故应接受这一工作且放弃第三次
21、面试。，故应接受这一工作且放弃第三次面试。现在考虑第二次面试：现在考虑第二次面试：第九十四页，本课件共有106页 综上所述，第二次面试的决策应是综上所述，第二次面试的决策应是:接受好的或接受好的或极好的职位，拒绝一般的职位。极好的职位，拒绝一般的职位。第二次面试的期望值可用下列数据求出第二次面试的期望值可用下列数据求出:第九十五页，本课件共有106页第二次面试结果第二次面试结果工作期望值工作期望值概率概率一般：进行第一般：进行第3次面试次面试2.7万元万元0.4好的：接受好的：接受3万元万元0.3极好：接受极好：接受4万元万元0.2没有工作：进行第没有工作：进行第3次面试次面试2.7万元万元0
22、.1E(2)=0.4E(2|2.5)+0.33+0.24+0.1E(2|0)=0.42.7+0.33+0.24+0.12.7 =3.05（万元）（万元）第九十六页，本课件共有106页第九十七页，本课件共有106页 现在考虑第一次面试：现在考虑第一次面试：如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期如果提供一般职位，所面临的选择是接受（期望工资为望工资为2.5万元）或拒绝（进行下一次面试，期望工万元）或拒绝（进行下一次面试，期望工资为资为3.05万元），后者期望值较高。故应采取拒绝一般万元），后者期望值较高。故应采取拒绝一般的工作，的工作，对于好的职位，因其期望工资对于好的职位，因其期望工资3万元低
23、于下一次万元低于下一次面试的期望工资面试的期望工资3.05万元。故也应放弃好的职位。万元。故也应放弃好的职位。第九十八页，本课件共有106页 因此，第一次面试时应采取的行动是因此，第一次面试时应采取的行动是:只接受极好的只接受极好的职位，否则就进行下一次面试。职位，否则就进行下一次面试。由此得到：由此得到：这个面试问题的总的应对策略是这个面试问题的总的应对策略是:第一次面试只第一次面试只接受极好的职位，否则进行第二次面试接受极好的职位，否则进行第二次面试;第二次面试第二次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试可接受好的或极好的职位，否则进行第三次面试;第三第三次面试则接受能提供的任何职
24、位。次面试则接受能提供的任何职位。第九十九页，本课件共有106页第一次面试结果第一次面试结果工作期望值工作期望值概率概率一般：进行第二次面试一般：进行第二次面试3.05万元万元0.4好的：进行第二次面试好的：进行第二次面试3.05万元万元0.3极好：接受极好：接受4万元万元0.2没有工作：进行第二次面试没有工作：进行第二次面试3.05万元万元0.1与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出与这个策略相应的期望值，可用下列数据求出:第一百页，本课件共有106页E(1)=0.4E(1|2.5)+0.3E(1|3)+0.24 +0.1E(1|0)=0.43.05+0.33.05+0.24+0.13.0
25、5 =3.24（万元）（万元）由此可看出，在求职时，收到三份面试通知由此可看出，在求职时，收到三份面试通知与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业与只收到一份面试通知相比较，不仅提高了就业的机会，而且也提高了工资的期望值。的机会，而且也提高了工资的期望值。第一百零一页，本课件共有106页例例2解解P83第一百零二页，本课件共有106页第一百零三页，本课件共有106页二维随机向量函数的数学期望二维随机向量函数的数学期望1、离散型随机向量函数的数学期望、离散型随机向量函数的数学期望 设二维离散型随机向量(,)的分布律为 第一百零四页，本课件共有106页特别有特别有第一百零五页，本课件共有106页作业：作业：3、5、9、11、14、17、22、23第一百零六页，本课件共有106页