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1、物理光学物理光学(w l un xu)傅立叶变换傅立叶变换第一页，共34页。2 2一、傅立叶级数以及一、傅立叶级数以及(yj)频谱的频谱的概念概念1傅立叶级数的定义(dngy)2频谱的概念 内容内容(nirng)第1页/共34页第二页，共34页。3 31傅立叶级数(j sh)的定义设f(x)是周期为T0的周期函数，满足狄里赫利条件，即：(1)、在区间(-T0/2,T0/2)分段连续；(2)、只存在有限(yuxin)个极值点；(3)、只存在有限(yuxin)个第一类间断点；(4)、绝对可积，即：则f(x)可以展开(zhn ki)为傅立叶级数：(1)称为傅立叶系数傅立叶系数(2)(3)(4)第2页
2、/共34页第三页，共34页。4 4令：则有：(5)(6)(7)可用cn来统一(tngy)表示，称cn为复数形式的傅立叶系数。(8)于是 f(x)的傅立叶级数可以(ky)用复数形式表示为：亦可简称(jinchng)为傅立叶系数。第3页/共34页第四页，共34页。5 5傅立叶系数(xsh)cn：(9)函数(hnsh)f(x)的周期T0的倒数，称作f(x)的基频，表示为：f0=1/T0；而fn=n/T0=nf0，称作f(x)的谐频，亦可简称为频率。如果f(x)代表时间函数，则fn代表时间频率(pnl)；如果f(x)代表空间函数，则fn代表空间频率(pnl)。表明：周期函数f(x)可以分解分解为一系列
3、频率为fn，复振幅为cn的谐波；反之，若将各个谐波线性叠加叠加，则可以精确的综合出原函数f(x)。(8)第4页/共34页第五页，共34页。6 62频谱的概念(ginin)一个(y)周期变化的 物理量在x域(时间域或空间域)内用f(x)来表示：(9)(8)而在fn域(时间(shjin)频率域或空间频率域)内用cn来表示：由于cn表示频率为fn的谐波成分的复振幅，所以cn按fn的分布图形称为f(x)的频谱频谱。因为一般cn是复数，所以cn的模值|cn|随fn的分布图叫做f(x)的振幅频谱，而cn的幅角随fn的分布图叫做f(x)的位相频谱。可见这两种表示是等效的。第5页/共34页第六页，共34页。7
4、 70l-ll2lxf(x)锯齿波将一个系统的输入函数f(x)展开(zhn ki)为傅立叶级数，在频率域中分析各个谐波的变化，然后综合出系统的输出函数，这种处理方法称为频谱分析方法。为了认识复杂的光学(gungxu)现象以及进行光信息处理，可采用频谱分析的方法。fnf5f4f3f2f1Ocn锯齿波的振幅频谱第6页/共34页第七页，共34页。8 8二、一维傅立叶变换二、一维傅立叶变换二、一维傅立叶变换二、一维傅立叶变换(binhun)(binhun)的定义及其的定义及其的定义及其的定义及其运算举例运算举例运算举例运算举例内容内容(nirng)1 1一维傅立叶变换的定义一维傅立叶变换的定义(dng
5、y)(dngy)2 2一维傅立叶变换的举例一维傅立叶变换的举例第7页/共34页第八页，共34页。9 9傅立叶变换和傅立叶逆变换常常用运算符号(fho)表示：F()=Ff(x)(12)f(x)=F-1F()(13)设f(x)是定义在实数域x上的一维函数，若f(x)满足狄里赫利条件，即f(x)分段连续，在任意有限区间内只存在有限个极值点和有限个第一类间断点，并且在区间(-，)上绝对可积，则下述积分(jfn)变换成立：(10)(11)称作傅立叶变换的核，它表示一个(y)频率为的谐波成分。表明：一个物理量既可以在域x中用函数f(x)来表示，也可以通过傅立叶变换，在频率域内用函数F()来描述。1一维傅立
6、叶变换的定义：称作函数f(x)的傅立叶变换傅立叶变换称作傅立叶逆变换傅立叶逆变换第8页/共34页第九页，共34页。10102一维傅立叶变换(binhun)的举例 例1)、求矩形(jxng)函数f(x)=rect(ax)的傅立叶变换。在物理光学中，习惯在物理光学中，习惯(xgun)将将F()的主瓣宽度定义为矩形函数的频带宽度，由图的主瓣宽度定义为矩形函数的频带宽度，由图2可见，可见，rect(ax)的频带宽度为的频带宽度为2a。解：图2 矩形函数及其频谱图-3a-2a-aa2aO3a第9页/共34页第十页，共34页。1111例2)、sinc函数的傅立叶变换首先(shuxin)：于是(ysh)根据
7、定义，函数f(x)的傅立叶变换为：解：有：因为(yn wi)cos(x)/x是奇函数，sin(x)/x是偶函数，所以有：第10页/共34页第十一页，共34页。12121/20-1/21/211/20-1/21/2第11页/共34页第十二页，共34页。1313例3)、负指数函数(zh sh hn sh)的傅立叶变换负指数函数(zh sh hn sh)的定义为：则它的傅立叶变换(binhun)为：易见，F()是复函数(hnsh)。它的振幅为：Ox|F()|f(x)argF()相位为：第12页/共34页第十三页，共34页。1414例4)、高斯函数(hnsh)的f(x)=exp(-x2)傅立叶变换 P
8、ossion积分(jfn)：可见，高斯函数具有(jyu)自傅立叶变换的性质。解：xf(x)第13页/共34页第十四页，共34页。1515三、广义三、广义(gungy)傅立傅立叶变换叶变换1广义傅立叶变换(binhun)的定义 2广义傅立叶变换(binhun)举例 内容内容(nirng)第14页/共34页第十五页，共34页。16161广义傅立叶变换的定义(dngy)设f(x)是一个满足狄里赫利条件的函数，而gN(x)是存在傅立叶变换的普通函数的序列，即有：FgN(x)=GN()(N为整数)(14)如果f(x)可以表示为gN(x)的极限，即：(15)并且，当N时，GN()的极限(jxin)存在，则
9、可将f(x)的广义傅立叶变换定义为：F()=Ff(x)=FgN(x)=GN()(16)显然，公式(15)、(16)既给出了f(x)广义傅立叶变换的定义，又给出了计算f(x)的广义傅立叶变换的方法(fngf)和步骤。第15页/共34页第十六页，共34页。1717例1)、(x)函数(hnsh)和常数1的傅立叶变换(x)函数(hnsh)的傅立叶变换为：常数(chngsh)1的逆傅立叶变换为：常数1的傅立叶变换为：常数1和(x)函数构成了一个傅立叶变换对傅立叶变换对：(17)(18)2广义傅立叶变换举例(x)函数的逆傅立叶变换为：解：第16页/共34页第十七页，共34页。1818例2)、sin(x)，
10、cos(x)的傅立叶变换(binhun)。Fsin(x)=Fcos(x)=解：0-1/21/2()1/20-1/2()第17页/共34页第十八页，共34页。1919有的文献将sin(x)的频谱图称为奇脉冲对，将cos(x)的频谱称为偶脉冲对，而且采用(ciyng)了符号表示，如下：(19)(20)于是(ysh)有：Fsin(x)=j()(21)Fcos(x)=()(22)0-1/21/2()1/20-1/2()第18页/共34页第十九页，共34页。2020例3)、符号(fho)函数sgn(x)的傅立叶变换 n=1，2，为整数(zhngsh)。sgn(x)不满足绝对可积的条件，为此选取不满足绝对
11、可积的条件，为此选取(xunq)适当的函数序列：适当的函数序列：解：很显然第19页/共34页第二十页，共34页。2121首先，我们求出fn(x)的傅立叶变换(binhun)，根据定义有：根据广义(gungy)傅立叶变换的定义有：Fsgn(x)第20页/共34页第二十一页，共34页。2222四、二维傅立叶变换四、二维傅立叶变换(binhun)(binhun)1直角坐标(zh jio zu bio)系中的二维傅立叶变换 2极坐标系中的二维傅立叶变换 内容内容(nirng)第21页/共34页第二十二页，共34页。23231直角坐标系中的二维傅立叶变换1)、定义 设f(x，y)是定义在(x，y)平面(
12、pngmin)上的符合条件的二维空间函数，则有：称F(，)为f(x，y)的空间(kngjin)频谱。称为(chn wi)二维傅立叶变换的核。逆傅立叶变换为：显然，这个 核具有可分离变量的性质：第22页/共34页第二十三页，共34页。2424 2)、可分离变量函数的二维傅立叶变换(binhun)具有可分离变量性质的二元函数：f(x，y)=f1(x)f2(y)其二维傅立叶变换(binhun)可以表示成两个一维傅立叶变换(binhun)的乘积：可见，可分离(fnl)变量二元函数的傅立叶变换也是可分离(fnl)变量的二元函数。3)、举例(j l)第23页/共34页第二十四页，共34页。25252极坐标
13、系中的二维傅立叶变换(binhun)坐标(zubio)平面(x，y)(r，)频率(pnl)平面1)、定义坐标变换公式为：令 二维傅立叶变换和傅立叶逆变换可以表示为：第24页/共34页第二十五页，共34页。26262)、圆对称(duchn)函数的傅立叶变换当二元函数(hnsh)具有圆对称性时，2)于是(ysh)类似地，傅立叶逆变换为：上述两式表示的圆对称函数的傅立叶变换又称为傅立叶傅立叶贝塞尔变换贝塞尔变换，也称为零阶汉克尔变换零阶汉克尔变换。也具有圆对称性具有圆对称性第25页/共34页第二十六页，共34页。27273)、举例(j l)令表示(biosh)半径为的圆孔函数。其傅立叶变换(binh
14、un)为：1)回到直角坐标系中这一结果将在讨论圆孔的夫琅和费衍射及光学系统分辨本领时得到应用。第26页/共34页第二十七页，共34页。2828五、傅立叶变换五、傅立叶变换(binhun)(binhun)的性质的性质 主要(zhyo)有八条性质1线性设F f(x)=F()，F g(x)=G()，a，b为任意(rny)常数，则：F af(x)+bg(x)=aF()+bG()2对称性 若F f(x)=F()，则F F(x)=f(-)3迭次傅立叶变换若F f(x)=F()，则F F()=f(-x)第27页/共34页第二十八页，共34页。29294缩放性F f(ax)=若F f(x)=F()，a为不等于
15、零的常数(chngsh)，则有：5平移性若F f(x)=F()，x0为任意(rny)实常数，则有：F f(xx0)=exp(j2x0)F()6相移性若F f(x)=F()，0为任意(rny)实常数，则有：F exp(j20 x)f(x)=F(0)第28页/共34页第二十九页，共34页。30307面积对应(duyng)公式8复共轭函数(hnsh)的傅立叶变换 若F f(x)=F()，则有：F f*(x)=F*(-)，F f*(-x)=F*()若F f(x)=F()，则有：F(0)等于f(x)曲线下的面积；f(0)则等于F()的曲线下的面积。两个(lin)面积相等。对于二维傅立叶变换，面积当换成体
16、积。第29页/共34页第三十页，共34页。3131六、傅立叶变换六、傅立叶变换(binhun)(binhun)相关理论相关理论 1导数定理2巴塞瓦定理3卷积及其有关(yugun)知识4相关及其有关(yugun)知识第30页/共34页第三十一页，共34页。32321导数(do sh)定理若F f(x)=F()，且 存在，于是有：F f(x)=j2F()设F f(x)=F()，且积分 和 都收敛，则有巴塞瓦定理：成立。2巴塞瓦定理(dngl)巴塞瓦定理的物理意义为：在傅立叶变换的情况下，信号(xnho)的能量是守恒的，所以巴塞瓦定理也称为能量积分定理。第31页/共34页第三十二页，共34页。333
17、3若F f(x)=F()，F g(x)=G()，且积分(jfn)：和都收敛(shulin)，成立(chngl)。类似地有广义巴塞瓦定理：则：第32页/共34页第三十三页，共34页。3434总 结一、傅立叶级数以及一、傅立叶级数以及一、傅立叶级数以及一、傅立叶级数以及(yj)(yj)频谱的概念频谱的概念频谱的概念频谱的概念 二、一维傅立叶变换的定义及其运算举二、一维傅立叶变换的定义及其运算举二、一维傅立叶变换的定义及其运算举二、一维傅立叶变换的定义及其运算举三、广义傅立叶变换三、广义傅立叶变换三、广义傅立叶变换三、广义傅立叶变换四、二维傅立叶变换四、二维傅立叶变换四、二维傅立叶变换四、二维傅立叶变换 五、傅立叶变换的性质五、傅立叶变换的性质五、傅立叶变换的性质五、傅立叶变换的性质 六、傅立叶变换相关理论六、傅立叶变换相关理论六、傅立叶变换相关理论六、傅立叶变换相关理论 作 业：P80，2.6，2.8，2.9(2)，2.11(2)预 告：下节内容(nirng)：Maxwell方程组和波动方程第33页/共34页第三十四页，共34页。