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1、第二章第二章 经典单方程计量经济学模型：经典单方程计量经济学模型：一元线性回归模型一元线性回归模型 回归分析概述回归分析概述 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 一元线性回归模型检验一元线性回归模型检验一元线性回归模型预测一元线性回归模型预测实例实例归纳归纳2.1 2.1 回归分析概述回归分析概述一、一、变量间的关系及回归分析的基本概念变量间的关系及回归分析的基本概念二、二、总体回归函数（总体回归函数（PRFPRF）三、三、随机扰动项随机扰动项四、四、样本回归函数（样本回归函数（SRFSRF）一、变量间的关系及回归分析的基本概念一、变量间的关系及回归分析的基本概念1.变量间的
2、关系变量间的关系（1）确定性关系确定性关系或或函数关系函数关系：研究的是确定现：研究的是确定现象象非随机变量非随机变量间的关系。间的关系。（2）统计依赖统计依赖或或相关关系相关关系：研究的是非确定现：研究的是非确定现象象随机变量间随机变量间的关系。的关系。对变量间对变量间统计依赖关系统计依赖关系的考察主要是通过的考察主要是通过相关分析相关分析(correlation analysis)或或回归分析回归分析(regression analysis)来来完成的。完成的。相关分析相关分析(correlation analysis)：主要研究变量间的：主要研究变量间的相相关形式及相关程度关形式及相关程
3、度的计算方法。的计算方法。相关系数相关系数回归分析回归分析(regression analysis)：研究一个变量（称为：研究一个变量（称为“被解释变量被解释变量”或或“应变量应变量”）对另一个或多个变量（称为）对另一个或多个变量（称为“解释变量解释变量”或或“自变量自变量”）的）的具体依赖关系具体依赖关系的计算方法的计算方法和理论。和理论。目的：目的：（1）根据自变量的取值，估计应变量的（总体）均值；）根据自变量的取值，估计应变量的（总体）均值；（2）检验（建立在经济理论基础上的）假设；）检验（建立在经济理论基础上的）假设；（3）根据样本外自变量的取值，预测应变量的均值。）根据样本外自变量的
4、取值，预测应变量的均值。如果存在相关关系的变量间存在因果关系，这时就可以通过如果存在相关关系的变量间存在因果关系，这时就可以通过回归分析来研究它们间的具体依赖关系。回归分析来研究它们间的具体依赖关系。谨记：谨记：回归分析研究的是一个回归分析研究的是一个被解释变量被解释变量对另一个或多个对另一个或多个解解释变量释变量的统计依赖关系，但回归分析本身并不代表二者之间的统计依赖关系，但回归分析本身并不代表二者之间一定存在因果关系，即它并不意味着一定存在因果关系，即它并不意味着解释变量解释变量是因，是因，被解释被解释变量变量是果。如果两者之间存在因果关系，则一定建立在某个是果。如果两者之间存在因果关系，
5、则一定建立在某个经济理论基础之上。经济理论基础之上。相关分析与回归分析的异同：相关分析与回归分析的异同：同：同：都研究变量间的统计依赖关系。都研究变量间的统计依赖关系。异：异：相关分析仅仅测度变量间的相关程度，但不关注相关分析仅仅测度变量间的相关程度，但不关注变量间是否存在因果关系，因此变量的变量间是否存在因果关系，因此变量的地位是对称地位是对称的的；回归分析分析考察的是具有因果联系的变量间；回归分析分析考察的是具有因果联系的变量间的统计依赖关系，因此对变量的处理方法存在的统计依赖关系，因此对变量的处理方法存在不对不对称性称性。相关分析只关心变量间的相关分析只关心变量间的联系程度联系程度，但不
6、关心变，但不关心变量间的依赖关系；回归分析更加关注变量间的量间的依赖关系；回归分析更加关注变量间的具体具体依赖关系依赖关系。相关分析中的变量相关分析中的变量都是随机变量都是随机变量，回归分析中的，回归分析中的被解释变量一定是随机变量被解释变量一定是随机变量，但往往假设，但往往假设解释变量解释变量是非随机变量是非随机变量。相关系数相关系数变量变量X和和Y的相关系数为：的相关系数为：其中，其中，为变量为变量X和和Y的协方差：的协方差：和和 分别为变量分别为变量X和变量和变量Y的方差：的方差：样本相关系数样本相关系数如果给出离散变量如果给出离散变量X与与Y的一组样本（的一组样本（Xi,Yi），则样本
7、），则样本方差为：方差为：样本协方差为：样本协方差为：样本相关系数为：样本相关系数为：二、总体回归函数二、总体回归函数回归分析回归分析关心的是根据关心的是根据解释变量解释变量的已知或给定值，的已知或给定值，考察考察被解释变量被解释变量的总体均值，即当解释变量取某个的总体均值，即当解释变量取某个确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出确定值时，与之统计相关的被解释变量所有可能出现的对应值的平均值。现的对应值的平均值。例例2.1：一个假想的社区有100户家庭组成，要研究该社区每月家庭消费支出家庭消费支出Y与每月家庭可家庭可支配收入支配收入X的关系。即如果知道了家庭的月收入，能否预测该社区家庭的
8、平均月消费支出水平。为达到此目的，将该100户家庭划分为组内收入差不多的10组，以分析每一收入组的家庭消费支出。由于不确定因素的影响，对同一收入水平X，不同家庭的消费支出不完全相同；但由于调查的完备性，给定收入水平X的消费支出Y的分布是确定的，即以X的给定值为条件的Y的条件分布条件分布（Conditional distribution）是已知的，例如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，给定收入X的值Xi，可得消费支出Y的条件均值条件均值（conditional mean）或条件期望条件期望（conditional expectation）：E(Y|X=Xi)。该例中：E(Y|X=80
9、0)=605描出散点图发现：随着收入的增加，消费“平平均地说均地说”也在增加，且Y的条件均值均落在一根正斜率的直线上。这条直线称为总体回归总体回归线线。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消费支出Y（元）在给定解释变量在给定解释变量Xi条件下被解释变量条件下被解释变量Yi的期望的期望轨迹称为轨迹称为总体回归线总体回归线（population regression line），或更一般地称为），或更一般地称为总体回归曲线总体回归曲线（population regression curve）
10、。）。称为（双变量）总体回归函数总体回归函数（population regression function,PRF）。相应的函数：含义：含义：总体总体回归函数（回归函数（PRF）说明被解释变量）说明被解释变量Y的平均状态（总体条件期望）随解释变量的平均状态（总体条件期望）随解释变量X变化的规律。变化的规律。函数形式：函数形式：可以是线性或非线性的可以是线性或非线性的（对于回（对于回归系数来说）。归系数来说）。例例2.1中，中，将居民消费支出看成是其可支配收入将居民消费支出看成是其可支配收入的线性函数时的线性函数时:为一线性函数。线性函数。其中，0，1是未知参数，称为回归系数回归系数（regre
11、ssion coefficients）。线性回归模型的普遍性线性回归模型的普遍性在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂在实际经济活动中，经济变量的关系是复杂的，直接表现为线性关系的情况很少。但是，的，直接表现为线性关系的情况很少。但是，它们中的大部分又可以通过一些简单的数学它们中的大部分又可以通过一些简单的数学处理，使之化为数学上的线性关系。处理，使之化为数学上的线性关系。1直接置换法直接置换法2对数变换对数变换3级数展开级数展开 1直接置换法 例例如如，商商品品的的需需求求曲曲线线是是一一种种双双曲曲线线形形式式，商商品品需需求求量量与与商商品品价价格格之之间间的的关关系系表表现现为为非非线
12、性关系：线性关系：显然，可以用 和 的置换，将方程变成 再如，著名的拉弗曲线描述的税收 和税率 的关系是一种抛物线形式：可以用 进行置换，将方程变成2对数变换 例如，著名的Cobb-Dauglas生产函数将产出量Q与投入要素（）之间的关系描述为幂函数的形式：方程两边取对数后，即成为一个线性形式：再如，生产中成本C与产量 的关系有时呈现指数关系：方程两边取对数后，即成为一个线性形式：3级数展开 例如，著名的CES生产函数将产量Q与投入要素方程两边取对数后，得到将式中 在 处展开台劳级数，取关于L和K的线性项，即得到一个线性近似式。在泰勒公式中，取，得：这个级数称为麦克劳林级数。函数f（x）的麦克
13、劳林级数是x的幂级数，那么这种展开是唯一的，且必然与f（x）的麦克劳林级数一致。三、随机扰动项三、随机扰动项总体回归函数描述了所考察总体的家庭消费支出平均来说随可总体回归函数描述了所考察总体的家庭消费支出平均来说随可支配收入变化的规律。支配收入变化的规律。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。但对某一个别的家庭，其消费支出可能与该平均水平有偏差。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消费支出Y（元）i被称为观察值围绕它的期望值的被称为观察值围绕它的期望值的离差离差（devi
14、ation），是一个不），是一个不可观测的随机变量，又称为可观测的随机变量，又称为随机干扰项随机干扰项（stochastic disturbance）或）或随机误差项随机误差项（stochastic error）。）。因此，给定收入水平因此，给定收入水平Xi,个别家庭的支出可表示为两部分之和：个别家庭的支出可表示为两部分之和：（1）该收入水平下所有家庭的平均消费支出）该收入水平下所有家庭的平均消费支出E(Y|Xi)，称为，称为系系统性（统性（systematic）或或确定性（确定性（deterministic)部分；部分；（2）其他）其他随随机机或或非确定性非确定性（nonsystematic
15、)部分部分 i。设第设第i个家庭的偏差为：个家庭的偏差为：上式称为上式称为总体回归函数（总体回归函数（PRF）的随机设定的随机设定形式。表明被解释变量除了受解释变量的系形式。表明被解释变量除了受解释变量的系统性影响外，还受其他因素的随机性影响。统性影响外，还受其他因素的随机性影响。由于方程中引入了随机项，成为计量经济学由于方程中引入了随机项，成为计量经济学模型，因此也称为模型，因此也称为总体回归模型总体回归模型。随机误差项主要包括下列因素：随机误差项主要包括下列因素：回归模型中省略掉的变量回归模型中省略掉的变量忽略不重要变量忽略不重要变量变量无法量化变量无法量化变量数据无法获取变量数据无法获取
16、人们的随机行为人们的随机行为回归模型的设定误差回归模型的设定误差数据的测量误差数据的测量误差四、样本回归函数（四、样本回归函数（SRF）问题：问题：能从一次抽样中获得总体的近似的信息能从一次抽样中获得总体的近似的信息吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似吗？如果可以，如何从抽样中获得总体的近似信息？信息？例例2.2：在例在例2.1的总体中有如下一个样本，能的总体中有如下一个样本，能否从该样本估计总体回归函数否从该样本估计总体回归函数PRF？回答：能 该样本的散点图散点图（scatter diagram)：画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本画一条直线以尽好地拟合该散点图，由于样本取自总体
17、，可用该直线近似地代表总体回归线。取自总体，可用该直线近似地代表总体回归线。该直线称为该直线称为样本回归线样本回归线（sample regression lines）。）。记样本回归线的函数形式为：称为样本回归函数样本回归函数（sample regression function，SRF）。注意：这里将样本回归线看成总体回归线的近似替代则样本回归函数的随机形式样本回归函数的随机形式/样本回归模型：样本回归模型：同样地，样本回归函数也有如下的随机形式：由于方程中引入了随机项，成为计量经济模由于方程中引入了随机项，成为计量经济模型，因此也称为型，因此也称为样本回归模型样本回归模型（sample r
18、egression model）。回回归归分分析析的的主主要要目目的的：根据样本回归函数SRF，估计总体回归函数PRF。即，根据 估计注意：注意：这里PRF可能永远无法知道。2.2 2.2 一元线性回归模型的参数估计一元线性回归模型的参数估计 一、一、一元线性回归模型的基本假设一元线性回归模型的基本假设 二、二、参数的普通最小二乘估计（参数的普通最小二乘估计（OLSOLS）三、三、参数估计的最大或然法参数估计的最大或然法(ML)(ML)#例题例题四、四、最小二乘估计量的性质最小二乘估计量的性质 五、五、参数估计量的概率分布及随机干参数估计量的概率分布及随机干 扰项方差的估计扰项方差的估计 说说
19、 明明单方程计量经济学模型分为两大类：线性模型和非线性模型线性模型中，变量之间的关系呈线性关系非线性模型中，变量之间的关系呈非线性关系一元线性回归模型：只有一个解释变量i=1,2,nY为被解释变量，X为解释变量，0与1为待估待估参数参数，为随机干扰项随机干扰项回归分析的主要目的回归分析的主要目的是要通过样本回归函数（模型）SRF尽可能准确地估计总体回归函数（模型）PRF。估计方法估计方法有多种，其中最广泛使用的是普通最普通最小二乘法小二乘法（ordinary least squares,OLS）。为保证参数估计量具有良好的性质，通常对模型提出若干基本假设。实际这些假设与所采用的估计方法紧密相关
20、。一、线性回归模型的基本假设一、线性回归模型的基本假设 假设1.解释变量X是确定性变量，不是随机变量；假设2.随机误差项具有零均值、同方差和不序列相关性：E(i)=0 i=1,2,n Var(i)=2 i=1,2,n Cov(i,j)=0 ij i,j=1,2,n 设总体回归模型：设总体回归模型：假设3.随机误差项与解释变量X之间不相关：Cov(Xi,i)=0 i=1,2,n 假设4.服从零均值、同方差、零协方差的正态分布 iN(0,2)i=1,2,n1.如果假设1、2满足，则假设3也满足;2.如果假设4满足，则假设2也满足。注意：注意：以上假设也称为线性回归模型的经典假经典假设设或高斯（高斯
21、（Gauss）假设）假设，满足该假设的线性回归模型，也称为经典线性回归模型经典线性回归模型（Classical Linear Regression Model,CLRM）。另外另外，在进行模型回归时，还有两个暗含的假设：假设5.随着样本容量的无限增加，解释变量X的样本方差趋于一有限常数。即 假设6.回归模型是正确设定的 假设5旨在排除时间序列数据出现持续上升或下降的变量作为解释变量，因为这类数据不仅使大样本统计推断变得无效，而且往往产生所谓的伪回归问题伪回归问题（spurious regression problem）。假设6也被称为模型没有设定偏误设定偏误（specification err
22、or）二、参数的普通最小二乘估计（二、参数的普通最小二乘估计（OLSOLS）由于样本总体我们无法获得，而仅能获得从总体中随机抽由于样本总体我们无法获得，而仅能获得从总体中随机抽取的一组样本观测值。此时，我们寄希望于估计出如下的取的一组样本观测值。此时，我们寄希望于估计出如下的样本回归函数来代替总体回归函数：样本回归函数来代替总体回归函数：给定一组样本观测值（给定一组样本观测值（Xi,Yi）（）（i=1,2,n）要求样本回归函数尽可能好）要求样本回归函数尽可能好地拟合这组值。地拟合这组值。普通最小二乘法普通最小二乘法（Ordinary least squares,OLS）给出的判断标准是：二者）
23、给出的判断标准是：二者之差的平方和最小：之差的平方和最小：方程组（*）称为正规方程组正规方程组（normal equations）。记上述参数估计量可以写成：称为OLS估计量的离差形式离差形式（deviation form）。）。由于参数的估计结果是通过最小二乘法得到 的，故称为普通普通最小二乘估计量最小二乘估计量（ordinary least squares estimators）。顺便指出，记 则有 可得（*）式也称为样本回归函数样本回归函数的离差形式离差形式。（*）注意：注意：在计量经济学中，往往以小写字母表示对均值的离差。OLS估计量的一些重要性质：估计量的一些重要性质：（1）用）用O
24、LS法得出的样本回归线经过样本均值点，即：法得出的样本回归线经过样本均值点，即：（2）（样本）残差的均值总为）（样本）残差的均值总为0，即：，即：（3）对残差与解释变量的积求和，其值为）对残差与解释变量的积求和，其值为0，即：，即：（4）对残差与）对残差与 的积求和，其值为的积求和，其值为0，即：，即：（5）被解释变量的样本平均值等于其估计值的平均值，）被解释变量的样本平均值等于其估计值的平均值，即：即：三、参数估计的最大或然法三、参数估计的最大或然法(ML)最大或然法最大或然法(Maximum Likelihood,简称简称ML)，也称，也称最最大似然法大似然法，是不同于最小二乘法的另一种参
25、数估计方法，是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大或然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。是从最大或然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。基本原理基本原理：对于对于最大或然法最大或然法，当从模型总体随机抽取，当从模型总体随机抽取n组样本观组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该测值后，最合理的参数估计量应该使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。组样本观测值的概率最大。换句话说：换句话说：“概率发生最大时概率发生最大时所对应的参数就是最合理的估计参数所对应的参数就是最合理的估计参数”。在满足基本假设条件下，对一元线性回归模型：随机抽取n组样本观测值（Xi,Yi
26、）（i=1,2,n）。那么Yi服从如下的正态分布：于是，Y的概率函数为（i=1,2,n）假如模型的参数估计量已经求得，为因为Yi是相互独立的，所以，所有样本观测值的联合概率，也即或然函数或然函数(likelihood function)(likelihood function)为：将该或然函数极大化，即可求得到模型参数的极大或然估计量。由于或然函数的极大化与或然函数的对数的极大化是等价的，所以，取对数或然函数如下：解得模型的参数估计量为：可见，在满足一系列基本假设的情况下，模型结构参数的最最大大或或然然估估计计量量与普普通通最最小小二二乘乘估估计计量量是相同的。例例2.2.1：在上述家庭可支配
27、收入可支配收入-消费支出消费支出例中，对于所抽出的一组样本数，参数估计的计算可通过下面的表2.2.1进行。因此，由该样本估计的回归方程为：172.1032150777.0156710-=-=-=XY 四、最小二乘估计量的性质四、最小二乘估计量的性质 当模型参数估计出后，需考虑参数估计值的精度，即是否能代表总体参数的真值，或者说需考察参数估计量的统计性质。一个用于考察总体的估计量，可从如下几个方面考察其优劣性：（1）线性性）线性性，即它是否是另一随机变量的线性函数；（2）无偏性）无偏性，即它的均值或期望值是否等于总体的真实值；（3）有效性）有效性，即它是否在所有线性无偏估计量中具有最小方差。这三
28、个准则也称作估计量的小样本性质。小样本性质。拥有这类性质的估计量称为最佳线性无偏估计最佳线性无偏估计量量（best liner unbiased estimator,BLUE）。（4）渐渐近近无无偏偏性性，即样本容量趋于无穷大时，是否它的均值序列趋于总体真值；（5）一一致致性性，即样本容量趋于无穷大时，它是否依概率收敛于总体的真值；（6）渐渐近近有有效效性性，即样本容量趋于无穷大时，是否它在所有的一致估计量中具有最小的渐近方差。当不满足小样本性质时，需进一步考察估计量的大样本大样本或或渐近性质渐近性质：高高斯斯马马尔尔可可夫夫定定理理(Gauss-Markov theorem)在在给给定定经经
29、典典线线性性回回归归的的假假定定下下，最最小小二二乘乘估估计计量量是是具具有有最最小小方方差差的的线线性性无无偏偏估估计计量。量。证：证：易知故同样地，容易得出？（2）证明最小方差性其中，ci=ki+di，di为不全为零的常数，。于是：则容易证明 普通最小二乘估计量普通最小二乘估计量（ordinary least Squares Estimators）称为最佳线性无偏估计量最佳线性无偏估计量（best linear unbiased estimator,BLUE）由于最小二乘估计量拥有一个由于最小二乘估计量拥有一个“好好”的估计量的估计量所应具备的小样本特性，它自然也拥有大样本特性所应具备的小
30、样本特性，它自然也拥有大样本特性。五、参数估计量的概率分布及随机干扰五、参数估计量的概率分布及随机干扰项方差的估计项方差的估计 2.随机误差项随机误差项 的方差的方差 2的估计的估计2又称为总体方差总体方差。由于随机项 i不可观测，只能从 i的估计残差ei出发，对总体方差进行估计。可以证明可以证明，2的最小二乘估计量最小二乘估计量为它是关于2的无偏估计量。在最大或然估计法最大或然估计法中，因此，2 2的的最最大大或或然然估估计计量量不不具具无无偏偏性，但却具有一致性性，但却具有一致性。2.3 2.3 一元线性回归模型的统计检验一元线性回归模型的统计检验 一、一、拟合优度检验拟合优度检验 二、二
31、、变量的显著性检验变量的显著性检验 三、三、参数的置信区间参数的置信区间 说说 明明回归分析是要通过样本所估计的参数来代替总体的真实参数，或者说是用样本回归线代替总体回归线。尽管从统计性质上已知，如果有足够多的重复 抽样，参数的估计值的期望（均值）就等于其总体的参数真值，但在一次抽样中，估计值不一定就等于该真值。那么，在一次抽样中，参数的估计值与真值的差异有多大，是否显著，这就需要进一步进行统计检验统计检验。主要包括拟合优度检验拟合优度检验、变量的显著性检验显著性检验及参数的区间估计区间估计。一、拟合优度检验一、拟合优度检验 拟合优度检验拟合优度检验：对样本回归直线与样本观测值之间拟合程度的检
32、验。度量拟合优度的指标：判定系数判定系数（可决系数可决系数）R2 2 问题问题：采用普通最小二乘估计方法，已经保证了模型最好地拟合了样本观测值，为什么还要检验拟合程度？圆圈圆圈Y代表被解释变量代表被解释变量Y的变异，圆圈的变异，圆圈X代表解释变量代表解释变量X的变异。的变异。两圆的重叠部分代表两圆的重叠部分代表Y的变异可由的变异可由X的变异来解释的程的变异来解释的程度。重叠程度越大，度。重叠程度越大，Y的变异被的变异被X解释得越多。解释得越多。YXYX(a)(b)1 1、总离差平方和的分解、总离差平方和的分解 已知由一组样本观测值（Xi,Yi），i=1,2,n得到如下样本回归直线 如果Yi=i
33、 即实际观测值落在样本回归“线”上，则拟合最好拟合最好。可认为，“离差”全部来自回归线，而与“残差”无关。对于所有样本点，则需考虑这些点与样本均值离差的平方和,可以证明：TSS=ESS+RSS记总体平方和总体平方和（Total Sum of Squares）回归平方和回归平方和（Explained Sum of Squares）残差平方和残差平方和（Residual Sum of Squares）Y的观测值围绕其均值的总离差的观测值围绕其均值的总离差(total variation)可分解为两部分：一部分来自回可分解为两部分：一部分来自回归线归线(ESS)，另一部分则来自随机势力，另一部分则来
34、自随机势力(RSS)。在给定样本中，TSS不变，如果实际观测点离样本回归线越近，则ESS在TSS中占的比重越大，因此拟合优度：回归平方和拟合优度：回归平方和ESS占占Y的总离差的总离差TSS的比例的比例2、可决系数、可决系数R2 2统计量统计量 称 R2 为（样本）（样本）可决系数可决系数/判定系数判定系数（coefficient of determination)。可决系数可决系数的取值范围取值范围：0，1 R2 2越接近越接近1 1，说明实际观测点离样本线越近，说明实际观测点离样本线越近，拟合优度越高拟合优度越高。在例2.1.1的收入消费支出收入消费支出例中，注：可决系数注：可决系数是一个
35、非负的统计量。它也是随着抽样的不同而不同。为此，对可决系数的统计可靠性也应进行检验，这将在第3章中进行。二、变量的显著性检验二、变量的显著性检验 回归分析回归分析是要判断是要判断解释变量解释变量X是否是是否是被解释变量被解释变量Y的的一个显著性的影响因素。一个显著性的影响因素。在在一元线性模型一元线性模型中，就是要判断中，就是要判断X是否对是否对Y具有显著的具有显著的线性性影响。这就需要进行线性性影响。这就需要进行变量的显著性检验。变量的显著性检验。变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的变量的显著性检验所应用的方法是数理统计学中的假假设检验设检验。分位数分位数假设检验假设检验正态分布与正
36、态分布与t分布分布变量的显著性检验变量的显著性检验1.分位数分位数 2.假设检验假设检验 所谓假设检验假设检验，就是事先对总体参数或总体分布形式作出一个假设，然后利用样本信息来判断原假设是否合理，即判断样本信息与原假设是否有显著差异，从而决定是否接受或否定原假设。假设检验采用的逻辑推理方法是反证法假设检验采用的逻辑推理方法是反证法 先假定原假设正确，然后根据样本信息，观察由此假设而导致的结果是否合理，从而判断是否接受原假设。判断结果合理与否，是基于判断结果合理与否，是基于“小概率事件不易小概率事件不易发生发生”这一原理的这一原理的假设检验假设检验双尾检验与单尾检验双尾检验与单尾检验3.正态分布
37、与正态分布与t分布分布 4、变量的显著性检验、变量的显著性检验 计量经济学中计量经济学中，主要是针对变量的参数真值是，主要是针对变量的参数真值是否为零来进行显著性检验的。否为零来进行显著性检验的。检验步骤：检验步骤：（1）对总体参数提出假设 H0：1=0，H1：10（2）以原假设H0构造t统计量，并由样本计算其值（3）给定显著性水平（通常取0.01，0.05或0.1），查t分布表得临界值t/2(n-2)(4)比较，判断比较，判断 若若|t|t /2(n-2)，则在（，则在（1-）的置信度下）的置信度下拒拒绝绝H0，接受，接受H1，认为变量认为变量 X是显著的；是显著的；若若|t|t /2(n-
38、2)，则在（，则在（1-）的置信度下）的置信度下接受接受H0，拒绝，拒绝H1，认为变量，认为变量 X是显著的；是显著的；对于一元线性回归方程中的对于一元线性回归方程中的 0 0，可构造如，可构造如下下t统计量进行显著性检验：统计量进行显著性检验：在上述收入消费支出例中，首先计算2的估计值 t统计量的计算结果分别为：给定显著性水平=0.05，查t分布表得临界值 t 0.05/2(8)=2.306|t1|2.306，说明家庭可支配收入在95%的置信度下显著，即是消费支出的主要解释变量；|t2|2.306,表明在95%的置信度下，无法拒绝截距项为零的假设。假设检验可以通过一次抽样的结果检验总体参数可
39、能的假设值的范围（如是否为零），但它并没有指出在一次抽样中样本参数值到底离总体参数的真值有多“近”。三、参数的置信区间三、参数的置信区间 要判断样本参数的估计值在多大程度上可以“近似”地替代总体参数的真值，往往需要通过构造一个以样本参数的估计值为中心的“区间”，来考察它以多大的可能性（概率）包含着真实的参数值。这种方法就是参数检验的置信区置信区间估计间估计。如果存在这样一个区间，称之为置置信信区区间间（confidence interval）；1-称为置置信信系系数数（置置信信度度）（confidence coefficient），称为显显著著性性水水平平（level of significa
40、nce）；置信区间的端点称为置置信信限限（confidence limit）或临界值临界值（critical values）。一元线性模型中一元线性模型中，i(i=1，2）的置信区间的置信区间:在变量的显著性检验中已经知道：意味着，如果给定置信度（1-），从分布表中查得自由度为(n-2)的临界值，那么t值处在(-t/2,t/2)的概率是(1-)。表示为：即于是得到:(1-)的置信度下,i的置信区间是 在上述收入收入-消费支出消费支出例中，如果给定=0.01，查表得：由于于是，1、0的置信区间分别为：（0.6345,0.9195)（-433.32,226.98）由于置信区间一定程度地给出了样本参
41、数估计值与由于置信区间一定程度地给出了样本参数估计值与总体参数真值的总体参数真值的“接近接近”程度，因此置信区间越小越程度，因此置信区间越小越好。好。置信区间：置信区间：要缩小置信区间，需 （1）增大样本容量）增大样本容量n，因为在同样的置信水平下，n越大，t分布表中的临界值越小；同时，增大样本容量，还可使样本参数估计量的标准差减小；（2）提高模型的拟合优度）提高模型的拟合优度，因为样本参数估计量的标准差与残差平方和呈正比，模型拟合优度越高，残差平方和应越小。2.4 2.4 一元线性回归分析的应用：预一元线性回归分析的应用：预测问题测问题 对于一元线性回归模型：对于一元线性回归模型：给定样本以
42、外的解释变量的观测值给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释，可以得到被解释变量的预测值变量的预测值 0 0 ，可以此作为其，可以此作为其条件均值条件均值E(Y|X=X0)或或个别值个别值Y0的一个近似估计。的一个近似估计。严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因不是预测值。原因:（1 1）参数估计量不确定；）参数估计量不确定；（2 2）随机项的影响）随机项的影响说说 明明2.4 2.4 一元线性回归分析的应用：预一元线性回归分析的应用：预测问题测问题 一、一、0 0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)或个值或个值
43、Y0的的一个无偏估计一个无偏估计二、二、总体条件均值与个值预测值的置信总体条件均值与个值预测值的置信区间区间 对于一元线性回归模型 给定样本以外的解释变量的观测值X0，可以得到被解释变量的预测值 0 0，可以此作为其条件均条件均值值E(Y|X=X0)或个别值个别值Y0的一个近似估计。严格地说，这只是被解释变量的预测值的估计值，而不是预测值。原因:（1）参数估计量不确定；（2）随机项的影响说说 明明 一、一、0 0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)或个值或个值Y0的的一个无偏估计一个无偏估计对总体回归函数总体回归函数E(Y|X=X)=0+1X，X=X0时 E(Y|X=X0)=0+1X0于是可
44、可见见，0是条件均值是条件均值E(Y|X=X0)的无偏估计。的无偏估计。对总体回归模型总体回归模型Y=0+1X+，当X=X0时于是 二、总体条件均值与个值预测值的置信二、总体条件均值与个值预测值的置信区间区间 1、总体均值预测值的置信区间、总体均值预测值的置信区间 由于 于是可以证明可以证明 因此 故 于是，在1-的置信度下，总体均值总体均值E(Y|X0)的置的置信区间为信区间为 其中2、总体个值预测值的预测区间、总体个值预测值的预测区间 由 Y0=0+1X0+知:于是 式中:从而在1-的置信度下，Y0的置信区间的置信区间为 在上述收入收入消费支出消费支出例中，得到的样本回归函数为:则在 X0
45、=1000处，0=103.172+0.7771000=673.84 而 因此，总体均值总体均值E(Y|X=1000)的95%的置信区间为：673.84-2.30661.05 E(Y|X=1000)673.84+2.30661.05或 （533.05,814.62）同样地，对于Y在X=1000的个体值个体值，其95%的置信区间为：673.84-2.30661.05Yx=1000 673.84+2.30661.05或 (372.03,975.65)总体回归函数的置信带（域）置信带（域）（confidence band）个体的置信带（域）置信带（域）对于Y的总体均值E(Y|X)与个体值的预测区间（置
46、信区间）:（1）样本容量n越大，预测精度越高，反之预测精度越低；（2）样本容量一定时，置信带的宽度当在X均值处最小，其附近进行预测（插值预测）精度越大；X越远离其均值，置信带越宽，预测可信度下降。2.5 2.5 实例：时间序列问题实例：时间序列问题 一、一、中国居民人均消费模型中国居民人均消费模型 二、二、时间序列问题时间序列问题 一、中国居民人均消费模型一、中国居民人均消费模型 例例2.5.1 考察中国居民收入与消费支出的关系。GDPP：人均国内生产总值人均国内生产总值（1990年不变价）CONSP：人人均均居居民民消消费费（以居民消费价格指数（1990=100）缩减）。1.建立模型建立模型
47、 拟建立如下一元回归模型 采用Eviews软件软件进行回归分析的结果见下表 该两组数据是19782000年的时间序列数据时间序列数据（time series data）；前述收收入入消消费费支支出出例例中的数据是截截面面数数据据（cross-sectional data）。一般可写出如下回归分析结果：(13.51)(53.47)R2=0.9927 F=2859.23DW=0.5503 R2=0.9927T值：C：13.51，GDPP：53.47 临界值:t0.05/2(21)=2.08斜率项：00.38621，符合绝对收入假说 2.模型检验模型检验 3.预测预测 2001年：GDPP=4033
48、.1（元）（1990年不变价）点估计：CONSP2001=201.107+0.38624033.1 =1758.7（元）2001年实测实测的CONSP（1990年价）:1782.2元，相对误差相对误差:-1.32%。2001年人均居民消费的预测区间预测区间 人均GDP的样本均值样本均值与样本方差样本方差：E(GDPP)=1823.5 Var(GDPP)=982.042=964410.4 在95%的置信度下，E(CONSP2001)的预测的预测区间区间为：=1758.740.13或：（1718.6,1798.8）同样地，在95%的置信度下，CONSP2001的的预测区间预测区间为：=1758.786.57或 （1672.1,1845.3）一元线性回归模型的主要计算公一元线性回归模型的主要计算公式式