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1、数学建模竞赛数学建模竞赛(jngsi)讲座清华大学姜讲座清华大学姜启源启源第一页，共28页。通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套通常加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，并且一般都有与之配套的的“油位计量管理系统油位计量管理系统”，采用流量计和油位计来测量进，采用流量计和油位计来测量进/出油量与罐内油位高度出油量与罐内油位高度等数据，通过预先等数据，通过预先(yxin)标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。许
2、多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。发生纵向倾斜和横向偏转等变化（以下称为变位），从而导致罐容表发生改变。按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图按照有关规定，需要定期对罐容表进行重新标定。图1是一种典型的储油罐尺是一种典型的储油罐尺寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图寸及形状示意图，其主体为圆柱体，两端为球冠体。图2是其罐体纵向倾斜变是其罐体纵向倾斜变位的示意图，图位的示意图，图3是罐体横向偏转变位的截面示意图。是罐体横
3、向偏转变位的截面示意图。题题 目目第1页/共28页第二页，共28页。油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口地平线2m6m1m1m3 m油位高度图图1 储油罐正面示意图储油罐正面示意图油位探针油位探针 地平线图图2 储油罐纵向倾斜变位后示意图储油罐纵向倾斜变位后示意图油油 浮子出 油管油位探测装置注油口检查口水平线第2页/共28页第三页，共28页。请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐请你们用数学建模方法研究解决储油罐的变位识别与罐容表标定的问题。容表标定的问题。（1）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图）为了掌握罐体变位后对罐容表的影响，利用如图4的小的小椭圆型储油罐（两端
4、平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位椭圆型储油罐（两端平头的椭圆柱体），分别对罐体无变位和倾斜角为和倾斜角为=4.10的纵向变位两种情况做了实验，实验数据的纵向变位两种情况做了实验，实验数据如附件如附件1所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影所示。请建立数学模型研究罐体变位后对罐容表的影响，并给出罐体变位后油位高度间隔为响，并给出罐体变位后油位高度间隔为1cm的罐容表标定值。的罐容表标定值。（2）对于图）对于图1所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐所示的实际储油罐，试建立罐体变位后标定罐容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参数（纵容表的数学模型，即罐内储油量与油位高度及变位参
5、数（纵向倾斜角度向倾斜角度(jiod)和横向偏转角度和横向偏转角度(jiod)）之间的一）之间的一般关系。请利用罐体变位后在进般关系。请利用罐体变位后在进/出油过程中的实际检测数据出油过程中的实际检测数据（附件（附件2），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给），根据你们所建立的数学模型确定变位参数，并给出罐体变位后油位高度间隔为出罐体变位后油位高度间隔为10cm的罐容表标定值。进一步的罐容表标定值。进一步利用附件利用附件2中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与中的实际检测数据来分析检验你们模型的正确性与方法的可靠性。方法的可靠性。第3页/共28页第四页，共28页。图图3 储油罐截面
6、示意图储油罐截面示意图（b）横向偏转倾斜后正截面图地平线垂直线油位探针（a）无偏转倾斜的正截面图油位探针油位探测装置3m(b)小椭圆油罐截面示意图 油油浮子出油管油位探针注油口水平线2.05mcm0.4m1.2m1.2m1.78m(a)小椭圆油罐正面示意图图图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图小椭圆型油罐形状及尺寸示意图第4页/共28页第五页，共28页。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明1150159.022010-08-20 10:32:18(1)罐体无变位进油，罐内油量初值262L；12100176.142010-08-20 10:33:18(2)C列进油量是每次加入50L油后的
7、累加值13150192.592010-08-20 10:34:18(3)D列是原罐内初始油量加入相应油量后油位高度值。流水号C进油量/LD油位高度/mm采集时间说明11747.86411.292010-08-19 15:10:2712797.86423.452010-08-19 15:11:2713847.86438.332010-08-19 15:12:3714897.86450.542010-08-19 15:13:27(1)罐体纵向倾斜变位进油，纵向倾斜角4.10,罐内油量初值215L；(2)C列进油量是每次加入50L油后的累加值，个别的有小数零头；(3)D列是原罐内油量加入相应油量后油
8、位高度值。附件附件(fjin)1 实验实验数据数据第5页/共28页第六页，共28页。流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:421)C列进油量,通常进油是一次性连续完成203068.4568.452620.67 60248.03 2010-08-01 08:23:412)D列出油量是加油机不同时段的出油量vi2040199.27199.272610.
9、29 60065.11 2010-08-01 08:38:143)E列显示油高是进/出油vi后对应的罐内油位显示高度hi；205070.0570.052606.61 59999.69 2010-08-01 08:53:084)F列显示油量容积是进/出油vi后,罐内油位5020显示高度为hi时的罐容表显示储油量i。50360.8160.81469.74 6086.74 51124511242486.21 57704.79 2010-08-08 11:43:402010-08-08 12:52:52一次性补充进油附件附件(fjin)2 检检测数据测数据第6页/共28页第七页，共28页。来自于加油站
10、设备研究与生产企业来自于加油站设备研究与生产企业(qy)的一个实际课的一个实际课题题.（2）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何）根据实际检测数据，正确识别罐体是如何(rh)变变位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方位的，具体变了多少？同时要给出罐容表的修正标定方法和结果，属于法和结果，属于“反问题反问题”。题目题目(tm)背背景景问题分析问题分析问题由两部分组成：问题由两部分组成：（1）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知）为了观察检验罐体变位对罐容表的影响，在已知变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数变位参数的情况下，检测出油位高度和油量的对应数值，建模分析罐容表的
11、变化规律，并给出修正的罐容值，建模分析罐容表的变化规律，并给出修正的罐容表，属于表，属于“正问题正问题”。第7页/共28页第八页，共28页。问题（问题（1）的通常）的通常(tngchng)做法做法 根据附件根据附件(fjin)1 的实验数据画出罐体不变位的实验数据画出罐体不变位（=0）和罐体变位（）和罐体变位（=4.10）时油位高度）时油位高度h和储油量和储油量V的曲线的曲线.实验数据表实验数据表明，在同样明，在同样的油位高度的油位高度h下，罐体下，罐体变位变位(bin wi)时储油时储油量量V减少减少.第8页/共28页第九页，共28页。zx0z=HabS(H)z=H下的面积下的面积(min
12、j)油位高度油位高度(god)h时坐时坐标标y处处z=H 油位高度油位高度h时坐标时坐标y处的截面处的截面(jimin)面积面积 罐体变位罐体变位时油位高度时油位高度h和储油量和储油量(体积体积)V的数学模型的数学模型化重积分为定积分化重积分为定积分zyxhyH0L1L油位计油位计L2V(h,)z=H第9页/共28页第十页，共28页。高度高度(god)h与储油量与储油量V的模型的模型D3D2D1yh10L1L2h2y1y2油位计第10页/共28页第十一页，共28页。高度高度(god)h与储油量与储油量V的模型的模型 V(h,)h/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/Lh/cmV/L1070.1
13、340965.66702232.501003450.7220281.86501371.88802661.421103776.6430595.25601798.52903072.431204012.74=4.10的罐容表的罐容表(部分部分(b fen)按照按照(nzho)模型讨论变位对罐容表的模型讨论变位对罐容表的影响影响与实验数据表示与实验数据表示的影响一致的影响一致.变位后储油量变位后储油量平均约小平均约小200L.第11页/共28页第十二页，共28页。模型模型(mxng)结果与实验数据的比结果与实验数据的比较较=4.10=0模型结果与实验数据基本吻合模型结果与实验数据基本吻合(wnh)，而
14、在同样的油，而在同样的油位高度位高度h下，储油量下，储油量v的实验数据均比模型结果小的实验数据均比模型结果小.可以有各种可以有各种(zhn)解释解释.是否要修正、怎样修正模型？是否要修正、怎样修正模型？第12页/共28页第十三页，共28页。问题问题(wnt)（2）的通常做）的通常做法法1.罐体变位罐体变位(bin wi),时油位高度时油位高度h和储油量和储油量V的数的数学模型学模型hD1D2D3整体整体(zhngt)考考虑虑hVxy0z 写出左右球面、圆柱面及油位高度写出左右球面、圆柱面及油位高度h的的油平面方程油平面方程.将罐体分为将罐体分为3个区域：个区域：D1,D2,D3 在在3个区域中
15、分别写出体积的重积分，个区域中分别写出体积的重积分，并化为（对并化为（对z的）定积分的）定积分.第13页/共28页第十四页，共28页。将罐体分为将罐体分为(fn wi)圆柱体和球缺，圆柱体按照问题圆柱体和球缺，圆柱体按照问题（1）考虑）考虑z=H下的面积下的面积(min j)zx0rhhz=H截面截面(jimin)面积面积S(y,h,)圆柱体体积圆柱体体积V1(h,)0 xzyD1D2D3h第14页/共28页第十五页，共28页。将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分将罐体分为圆柱体和球缺，球缺部分(b fen)单独单独考虑考虑 精确精确(jngqu)计算球缺部分计算球缺部分体积体积V2 将倾斜角将倾
16、斜角的油平面近似为的油平面近似为水平面（水平面（=0）计算球缺部）计算球缺部分分(b fen)体积体积V2.直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，直接将罐体的球缺部分按照体积不变条件折合成圆柱，一起计算一起计算.用各种方法得到罐体体积用各种方法得到罐体体积V(h,),一般是积分表达式一般是积分表达式,给定给定,可以数值计算可以数值计算油位高度油位高度h时的储油量时的储油量V.第15页/共28页第十六页，共28页。问题（问题（2）的通常）的通常(tngchng)做法做法2.根据根据(gnj)储油量的数学模型储油量的数学模型V(h,)和实测数据和实测数据（附件（附件2）辨识罐体变位参数）
17、辨识罐体变位参数,流水号C进油量/LD出油量/LE显示油高/mm显示油量容积/L采集时间备注说明201060.0060.002632.23 60448.88 2010-08-01 08:00:49 开始采集（i=0=0）2020149.09149.092624.30 60311.43 2010-08-01 08:15:42 i=1=1hiViuiVi=Vi(hi,0,0)不能用！不能用！应该应该(ynggi)用数据用数据ui,hi与模型与模型V(h,)辨识参数辨识参数,确定确定,应应使使储油量的改变储油量的改变Vi 与与出油量出油量ui 相吻合！相吻合！第16页/共28页第十七页，共28页。辨
18、识辨识(bin sh)准则准则确定确定(qudng),使使Q最小最小 搜索法：按照搜索法：按照,的可能范围划分的可能范围划分(hu fn)区间，逐步区间，逐步搜索搜索.直接利用直接利用MATLAB的非线性曲线拟合程序的非线性曲线拟合程序 lsqcurvefit辨识方法辨识方法辨识结果辨识结果ui,hi取进油前的取进油前的300组数据组数据第17页/共28页第十八页，共28页。h/cm20406080100V/L1065.803702.657371.3811756.6116664.62h/cm120140160180200V/L21941.1827450.7733066.9938667.2744
19、128.48h/cm220240260280300V/L49322.4454109.9358329.2761768.9064026.17=2.110,=4.310的修正的修正(xizhng)罐容罐容表表(部分部分)罐体变位罐体变位(bin wi)后显示储油量后显示储油量与实际储油量的比与实际储油量的比较较第18页/共28页第十九页，共28页。模型及结果模型及结果(ji gu)检验检验 取进油后的取进油后的300组数据组数据(shj)检验辨识结检验辨识结果果,的灵敏性检验的灵敏性检验(jinyn)的灵敏度的灵敏度的灵敏度的灵敏度纵向倾斜角纵向倾斜角比比横向偏转角横向偏转角 对罐容量的影响显著得多
20、！对罐容量的影响显著得多！第19页/共28页第二十页，共28页。一种一种(y zhn)建立模型建立模型V(h,)的新的新方法方法xy0zhhYZX0绕绕x轴转动轴转动(zhun dng)绕绕z轴转动轴转动(zhun dng)T2T1=T1T2?第20页/共28页第二十一页，共28页。hYZX0VVxy0zhLdh-r油浮子油浮子(f zi)坐标坐标(0,h-r,L/2-d)过油浮子的油平面过油浮子的油平面(pngmin)方程方程坐标坐标(zubio)变换变换第21页/共28页第二十二页，共28页。xy0zhrsRV油位高度油位高度h的储的储油油(ch yu)区区域为域为D油位高度油位高度(go
21、d)h时时的储油量的储油量V定义定义(dngy)示示性函数性函数第22页/共28页第二十三页，共28页。利用利用MATLAB的三重积分的三重积分(jfn)程序计算储程序计算储油量油量triplequad(x,y,z)(-x*cos(a)*sin(b)+y*cos(a)*cos(b)+z*sin(a)=cos(a)*cos(b)*(h-r)+sin(a)*(L/2-d).*(x.2+y.2=-s-sqrt(R2-x.2-y.2).*(z=s+sqrt(R2-x.2-y.2),-r,r,-r,r,-(s+R),s+R)triplequad(function,x1,x2,y1,y2,z1,z2)被积
22、函数被积函数(hnsh)function 在长方体中的三在长方体中的三重积分重积分:用于用于function 是示性函数是示性函数(hnsh)I(x,y,z)的情况的情况:计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响计算时间较长；计算精度受积分域大小的影响.在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角在上述坐标旋转下罐体纵向倾斜角为负为负(正负无关正负无关).第23页/共28页第二十四页，共28页。1）罐体变位后储油量的计算（重积分）：）罐体变位后储油量的计算（重积分）：两端两端(lin dun)有油和一端有油区域的划分；有油和一端有油区域的划分；积分限的确定；积分限的确定；积分顺序的选择。积分顺序的选择。对学
23、生对学生(xu sheng)论文论文缺陷的评述缺陷的评述2）用所谓）用所谓“等效等效(dn xio)高度高度”：得出不变位时高度与：得出不变位时高度与体积的关系体积的关系V(h)；变位后根据；变位后根据(主主)截面面积不变得到等效截面面积不变得到等效(dn xio)高度与原高度的关系高度与原高度的关系h=f(h)；将它代入原式；将它代入原式V(h)得到变位后高度与体积的关系得到变位后高度与体积的关系V(h)。第24页/共28页第二十五页，共28页。3）辨识变位参数所用的数据）辨识变位参数所用的数据(shj)和准则不对：用和准则不对：用附件附件2中的中的“显示油量显示油量”与模型在与模型在“显示
24、油高显示油高”下的计算下的计算油量作拟合。油量作拟合。如果模型正确如果模型正确(zhngqu)，用这种错误方法得到，用这种错误方法得到的变位参数应该是的变位参数应该是=0,=0。反映对该问题反映对该问题(wnt)的理解根本错误的理解根本错误4）含混地叙述：）含混地叙述：“用数据和最小二乘得到用数据和最小二乘得到=,=”“显示油量显示油量”是罐体未变位时的计量值是罐体未变位时的计量值.第25页/共28页第二十六页，共28页。5）对问题（）对问题（1）用实验数据修正模型投入）用实验数据修正模型投入(tur)的精的精力过多（解释误差、用多项式拟合误差、用比例系数修力过多（解释误差、用多项式拟合误差、
25、用比例系数修正模型等）正模型等）.6）对问题（）对问题（1）的要求）的要求“罐体变位罐体变位(bin wi)后对罐容表后对罐容表的影响的影响”未作讨论未作讨论.7）对问题（）对问题（2）的参数辨识不做检验）的参数辨识不做检验(jinyn)和灵敏和灵敏性分析性分析。8）问题（）问题（1）,（2）未按要求给出罐容表）未按要求给出罐容表.9）从文献中引用工程算法、近似公式的问题）从文献中引用工程算法、近似公式的问题.10）用随机模拟）用随机模拟(Monte-Carlo)方法计算重积分的问题方法计算重积分的问题.第26页/共28页第二十七页，共28页。题目题目(tm)的的启示启示 微积分在工程微积分在工程(gngchng)实际问题中是实际问题中是有用的！有用的！熟练地使用软件熟练地使用软件(run jin)对有效、快速地求解模型对有效、快速地求解模型是重要的！是重要的！仔细审题，准确、完整地理解题目的含义和要求是做好论仔细审题，准确、完整地理解题目的含义和要求是做好论文的首要的和关键的一步！文的首要的和关键的一步！第27页/共28页第二十八页，共28页。