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1、基本要求（一）平行问题（一）平行问题 1 1熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；熟悉线、面平行，面、面平行的几何条件；2 2熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。熟练掌握线、面平行，面、面平行的投影特性及作图方法。（二）相交问题（二）相交问题 1 1熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚熟练掌握特殊位置线、面相交（其中直线或平面的投影具有积聚性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。性）交点的求法和作两个面的交线（其中一平面的投影具有积聚性）。2 2熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方法；掌握一般位置面、熟练掌握一般位置线、面相交求交点的方
2、法；掌握一般位置面、面相交求交线的作图方法。面相交求交线的作图方法。3 3掌握利用重影点判别投影可见性的方法。掌握利用重影点判别投影可见性的方法。（三）垂直问题（三）垂直问题 掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。掌握线面垂直、面面垂直的投影特性及作图方法。（四）点、线、面综合题（四）点、线、面综合题 1 1熟练掌握点、线、面的基本作图方法；熟练掌握点、线、面的基本作图方法；2 2能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题能对一般画法几何综合题进行空间分析，了解综合题的一般解题步骤和方法。步骤和方法。第1页/共82页 直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行直线与平面平行
3、 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行4.1 平行问题第2页/共82页3第3页/共82页fgfg结论：直线结论：直线ABAB不平行于定平面不平行于定平面 例例11 试判断直线试判断直线AB是否平行于定平面是否平行于定平面第4页/共82页5第5页/共82页6第6页/共82页baaffb 例例44 试过点试过点K作水平线作水平线AB平行于平行于CDE平面平面第7页/共82页直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行直线与特殊位置平面平行 当平面为投影面的垂直面时，只要平面有积聚性的投影和直线的同面投影平行，或直线也为该投影面的垂线，则直线与平面必定平行。第8页/共82页
4、 两平面平行两平面平行两平面平行两平面平行 若一个平面内的相交二直线与另一个平面内的相交二直线对应平行，则此两平面平行。这是两平面平行的作图依据。判别两已知平面是否相互平行；过一点作一平面与已知平面平行；已知两平面平行，完成其中一平面的所缺投影。几何条件：几何条件：两平面平行的作图问题有：两平面平行的作图问题有：第9页/共82页10第10页/共82页 若两投影面垂直面相互平行，则它们具有若两投影面垂直面相互平行，则它们具有积聚性的那组投影必相互平行。积聚性的那组投影必相互平行。两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行两特殊位置平面平行 第11页/共82页12第12页/共82页13
5、第13页/共82页例2 试判断两平面是否平行mnmnrrss结论：两平面平行结论：两平面平行第14页/共82页emnmnfefsrsrkk 例例33 已知定平面由平行两直线已知定平面由平行两直线AB和和CD给定。试给定。试过过 点点K作一平面平行于已知平面作一平面平行于已知平面。第15页/共82页例4 试判断两平面是否平行。结论：因为结论：因为PH平行平行SH，所以两平面平行，所以两平面平行第16页/共82页 直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交直线与平面相交 两平面相交两平面相交两平面相交两平面相交4.2 相交问题第17页/共82页18第18页/共82页19第19页/共82页特殊位置线
6、面相交直线与特殊位置平面相交判断直线的可见性特殊位置直线与一般位置平面相交第20页/共82页1.直线与特殊位置平面相交由于由于特殊位置特殊位置平面的某个投影有积聚性平面的某个投影有积聚性，交点可直接求出。交点可直接求出。bbaaccmmnnk k第21页/共82页2.判断直线的可见性特殊位置线面相交，根据平面的积聚性投影，能直接判别直线的可见性。kbbaaccmmnnk 第22页/共82页23第23页/共82页24第24页/共82页()k21k21例例2 2 求铅垂线求铅垂线求铅垂线求铅垂线EFEF与一般位置平面与一般位置平面与一般位置平面与一般位置平面ABCABC的交点并判别的交点并判别的交
7、点并判别的交点并判别 其可见性。其可见性。其可见性。其可见性。第25页/共82页一般位置平面与特殊位置 平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题，由于特殊位置平面的某个投影有积聚性，交线可直接求出。1.求交线 2.判断平面的可见性第26页/共82页1.求交线MmnlacbPPHABCFKNLkfnlmmlnbaccabfkfk第27页/共82页2.2.判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性第28页/共82页2.2.判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性判断平面的可见性第29页/共82页30第30页/共82页31第31页/共82页32第32页/
8、共82页直线与一般位置平面相交以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图判别可见性 示意图第33页/共82页1 2 QV21kk步骤：步骤：1过过EF作正垂平作正垂平面面Q。2求求Q平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的交点的交点K。示意图以正垂面为辅助平面求直线以正垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面的交点平面的交点第34页/共82页ABCQ过过EF作作正垂面正垂面QEF以正垂面为辅助平面求线面交点 示意图第35页/共82页2PH1 步骤：步骤：1过过EF作铅垂平作铅垂平面面P。2求求P平面与平面与ABC的交线的交线。3求交线求交线与与EF的
9、交点的交点K。kk2 示意图以铅垂面为辅助平面求直线以铅垂面为辅助平面求直线EF与与ABC平面的交点平面的交点1第36页/共82页过EF作铅垂面P以铅垂面为辅助平面求线面交点 示意图FCABPEFKE第37页/共82页fee直线EF与平面 ABC相交，判别可见性。利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性1243（）kk(3)4示意图示意图()21第38页/共82页两一般位置平面相交 求两平面交线的问题可以看作是求两个共有点的问题,因而可利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的交线。两一般位置平面相交求交线两一般位置平面相交求交线判别可见性判别可见性第39页/共82页
10、两一般位置平面相两一般位置平面相交，求交线步骤：交，求交线步骤：1用求直线与平用求直线与平面交点的方法，作面交点的方法，作出两平面的两个共出两平面的两个共有点有点K、E。llnmmnPVQV1221kkee2连接两个共有连接两个共有点，画出交线点，画出交线KE。示意图示意图例例4 4求两平面的交线求两平面的交线第40页/共82页两一般位置平面相交求交线的方法 示意图 利用求一般位置线面交利用求一般位置线面交点的方法找出交线上的两个点的方法找出交线上的两个点，将其连线即为两平面的点，将其连线即为两平面的交线。交线。MBCAFKNL第41页/共82页利利用用重重影影点点判判别别可可见见性性两平面相
11、交，判别可见性两平面相交，判别可见性3 4 ()3 4 21()1 2 第42页/共82页综合性问题解法试过试过K点作一直线平行于已知平面点作一直线平行于已知平面ABC，并与，并与直线直线EF相交相交。综合性问题解法 综合性问题解法 综合性问题解法 例例5 5第43页/共82页 过已知点K作平面P平行于 ABC；直线EF与平面P交于H；连接KH，KH即为所求。FPEKH分析第44页/共82页mnhhnmPV11221过点过点K作平面作平面KMN/ABC平面。平面。2求直线求直线EF与平面与平面KMN的交点的交点H。3连接连接KH，KH即即为所求。为所求。作图作图第45页/共82页 直线与平面垂
12、直直线与平面垂直直线与平面垂直直线与平面垂直 两平面互相垂直两平面互相垂直两平面互相垂直两平面互相垂直4.3 垂直问题第46页/共82页直线与平面垂直VHPAKLDCBE几何条件：几何条件：若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面若一直线垂直于一平面，则必垂直于属于该平面 的一切直线。的一切直线。第47页/共82页定理定理1 1：若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属若一直线垂直于一平面、则直线的水平投影必垂直于属 于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直于该平面的水平线的水平投影；直线的正面投影必垂直 于属于该平面的正平线的正面投影。于属于该平面的正平线的正面投影。VPA
13、KLDCBEHaadcbdcbeeknknXO第48页/共82页定理定理2 2：若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线若一直线垂直于属于平面的水平线的水平投影；直线（逆）（逆）的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则的正面投影垂直于属于平面的正平线的正面投影、则 直线必垂直于该平面。直线必垂直于该平面。acacnnkfdbdbfkVPAKLDCBEHXO第49页/共82页acacnnmfdbdbfm例6 平面由 BDF给定，试过定点M作平面的垂线。第50页/共82页hhhhhhkkSVkkPVkkQH例7 试过定点K作特殊位置平面的法线。第51页/共82页efemnmncaadb
14、cdbfXO例8 平面由两平行线AB、CD给定，试判断直线MN 是否垂直于定平面。第52页/共82页几何条件：几何条件：若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所若一直线垂直于一定平面，则包含这条直线的所 有平面都垂直于该平面。有平面都垂直于该平面。PAB两平面垂直第53页/共82页 反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的反之，两平面相互垂直，则由属于第一个平面的任意一点向第二个平面作的垂线必属于第一个平面。垂线必属于第一个平面。AB两平面垂直两平面垂直两平面不垂直两平面不垂直AB第54页/共82页ghacachkkfdbdbfgXO例例9 9平面由平面由 BDF给
15、定，试过定点给定，试过定点K作已知平面的垂作已知平面的垂面面第55页/共82页ghachackkbbgffdd结论：结论：两平面不垂直两平面不垂直XO例例1010 试判断试判断 ABC与相交两直线与相交两直线KG和和KH所给定的所给定的平面平面 是否垂直。是否垂直。第56页/共82页 空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题空间几何元素定位问题 空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题空间几何元素度量问题4.4 综合问题分析及解法 综合问题解题举例综合问题解题举例综合问题解题举例综合问题解题举例第57页/共82页求解综合问题主要包括：求解综合问题主要包括
16、：平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个平行、相交、及垂直等问题侧重于探求每一个单个问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合问题的投影特性、作图原理与方法。而实际问题是综合性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。性的，涉及多项内容，需要多种作图方法才能解决。综合问题解题的一般步骤：综合问题解题的一般步骤：1.分析题意分析题意 2.明确所求结果，找出解题方法明确所求结果，找出解题方法 3.拟定解题步骤拟定解题步骤空间几何元素的空间几何元素的定位问题定位问题（交点、交线）（交点、交线）空间几何元素的空间几何元素的度量问题度量问题（如距离、角度）。（如距离、角度）。第58页/共8
17、2页空间几何元素定位问题cghefdcefghdXO例例例111111 已知三条直线已知三条直线已知三条直线CDCDCD、EFEFEF和和和GHGHGH，求作一直线，求作一直线，求作一直线ABABAB与与与 CDCDCD平行，并且与平行，并且与平行，并且与EFEFEF、GHGHGH均相交。均相交。均相交。第59页/共82页分析 所求得直线所求得直线AB一定在平行于一定在平行于CD的平面上，并且与交叉直线的平面上，并且与交叉直线EF、GH相交。相交。ABCDHGEF第60页/共82页作图过程kkcghefdcefghdXOPV11 2 2aabb第61页/共82页例例例例例例1212121212
18、12 试过定点试过定点试过定点试过定点试过定点试过定点A A A作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线作直线与已知直线EFEFEF正交。正交。正交。正交。正交。正交。第62页/共82页EQ分析分析分析分析FAK 过已知点过已知点过已知点过已知点A A作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线作平面垂直于已知直线EFEF，并交于点，并交于点，并交于点，并交于点K K，连接，连接，连接，连接AKAK，AKAK即为所求。即为所求。即为所求。即为所求。第63页/共82页作图作图作图作图2 11 22 1a efaf e 1 2PVkk第64页
19、/共82页空间几何元素度量问题度量问题是解决距离和角度的度量问题，主要基础是根据 直角投影定理作平面的垂线或直线的垂面，并求 其实长或实形。1.1.距离的度量距离的度量点到点之间的距离点到点之间的距离.求二点之间线段的实长（直角三 角形法）。点到直线之间的距离点到直线之间的距离.过点作平面垂直于直线，求出垂 足，再求出点与垂足之间的线段 实长。点到平面之间的距离点到平面之间的距离.过点作平面的垂线，求出垂足，.再求出点与垂足之间的线段实长。第65页/共82页直线与直线平行之间的距离直线与直线平行之间的距离直线与交叉直线之间的距离直线与交叉直线之间的距离直线与平面平行之间的距离直线与平面平行之间
20、的距离平面与平面平行之间的距离平面与平面平行之间的距离过一直线上任一点作另一直线的垂线，余下方法同点到直线的距离。包含一直线作一平面平行于另一直线，在另一直线上任取一点，过点作平面的垂线，求出垂足，再求出点与垂足之间的线段实长。过直线上任一点作平面的垂线。方法同点到平面的距离。过一平面上任一点作另一平面的垂线。余下方法同点到平面的距离。第66页/共82页PQPPDBPPBPKAKALCKLLABKLABKCDELF第67页/共82页例例1313 求点求点C到直线到直线AB的距离。的距离。cabcabXO第68页/共82页分析分析PABCK 过过C点作直线点作直线AB的垂线的垂线CK一定在过一定
21、在过C点并且与点并且与AB垂直的平面垂直的平面P内，过内，过C点点作一平面与直线作一平面与直线AB垂直，求出该平面与垂直，求出该平面与AB的交点的交点K，最后求出垂线，最后求出垂线CK的实长的实长即为所求。即为所求。第69页/共82页作图过程作图过程cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离PV第70页/共82页例例1414 求两平行直线求两平行直线AB 和和CD的距的距离。离。cabcabXOeded1212kk所求距离所求距离PVdd第71页/共82页例例1515 求点到求点到ABC平面的距离。平面的距离。作出垂线后，用辅助平面法求出垂线与平面的交点（即垂足），再用直角三角形法求
22、出线段的实长即可。hfeb mbacach所求距离所求距离 MK实长实长kkXOefm第72页/共82页ccababXOdd例例例例例例161616161616 求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线求交叉两直线ABABAB和和和和和和CDCDCD的公垂线。的公垂线。的公垂线。的公垂线。的公垂线。的公垂线。第73页/共82页分析LKABDCGHEFP 过一条直线过一条直线CDCD作平面作平面P P平行于另一条直线平行于另一条直线ABAB，在过点，在过点A A作平面作平面P P的垂线的垂线AHAH，求出，求出垂足点垂足点E E；在平面；在平面P P上过点上过点E E作直线作
23、直线EFEFABAB与直线与直线CDCD交于点交于点K K；过点；过点K K作直线作直线KL KL AHAH交交ABAB于于L L点，点，KLKL即为所求的公垂线。即为所求的公垂线。第74页/共82页作图过程gg1122h3434eef kklflccababXOddhPH第75页/共82页2.2.角度的度量角度的度量两相交直线间的夹角两相交直线间的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角第76页/共82页PABCEF任作一直线分别与两相交直线相交，构成三角形，求三角形的实形（分别求出三边的实长），夹角即可求得。两相交直线间的夹角两相交直线间的夹角两相交直线间的夹角两相
24、交直线间的夹角第77页/共82页PCAB直线和它在平面上的投影所夹的锐角，称为直线与面的夹角。过直线上任一点作平面的垂线，求出直线与垂线的夹角（方法同两相交直线的夹角）的余角，余角即为所求。此法又称余角法。直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角直线与平面的夹角 第78页/共82页PQ 两平面间的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角两平面间的夹角就是两平面二面角的平面角。在空间任取一点，分别作二平面的垂线，求出二垂线间的夹角(方法同两相交直线间的夹角)的补角，补角即为所求。此法又称补角法。BCA第79页/共82页例例例例例例171717171717 求直线与求直线与求直线与平面的夹角平面的夹角平面的夹角 作的余角，即为所求直线与平面的夹角。fXObe ebacac ddfdfef第80页/共82页本 章 结 束第81页/共82页82感谢您的观看。第82页/共82页