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1、第一篇第一篇 力学力学第第 一一 章章 质质 点点 运运 动动 学学 教学基本要求教学基本要求 一一 掌握掌握位置矢量、位移、加速度等描述质点位置矢量、位移、加速度等描述质点运动及运动变化的物理量运动及运动变化的物理量.理解理解这些物理量的矢量这些物理量的矢量性、瞬时性和相对性性、瞬时性和相对性.二二 理理解解运运动动方方程程的的物物理理意意义义及及作作用用.掌掌握握运运用用运运动动方方程程确确定定质质点点的的位位置置、位位移移、速速度度和和加加速速度度的的方方法法，以以及及已已知知质质点点运运动动的的加加速速度度和和初初始始条条件求速度、运动方程的方法件求速度、运动方程的方法.三三 能能计计
2、算算质质点点在在平平面面内内运运动动时时的的速速度度和和加加速速度度，以以及及质质点点作作圆圆周周运运动动时时的的角角速速度度、角角加加速速度度、切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度.四四 理理解解不不同同参参考考系系中中速速度度和和加加速速度度的的变变换换,并会用它求简单的质点相对运动问题并会用它求简单的质点相对运动问题.1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系 质点质点1.2 质点运动的描述质点运动的描述1.3 质点运动学的基本问题质点运动学的基本问题1.4 不同参考系中速度和加速度的变换关系不同参考系中速度和加速度的变换关系1.1 参考系和坐标系参考系和坐标系 质点质点研究力学要明确
3、两个基本思想：研究力学要明确两个基本思想：一、一、一、一、物体运动是绝对的物体运动是绝对的物体运动是绝对的物体运动是绝对的,但运动的描写是相对的。但运动的描写是相对的。但运动的描写是相对的。但运动的描写是相对的。1.1.参考系参考系:描写物体运动选择的标准物描写物体运动选择的标准物.2.2.参照物参照物:用来描述物体运动而选作参考的物体或物用来描述物体运动而选作参考的物体或物体系。体系。3.运动的相对性运动的相对性:选取的参考系不同，对物体运动情选取的参考系不同，对物体运动情况的描述不同，这就是运动描述的相对性况的描述不同，这就是运动描述的相对性.4.4.坐标系坐标系:在选定的参考物上建立固定
4、的坐标系，可在选定的参考物上建立固定的坐标系，可精确描写物体运动精确描写物体运动.常用坐标系：常用坐标系：直角坐标系（直角坐标系（x,y,z）；）；球坐标系（球坐标系（r,）柱坐标系柱坐标系（,z）；自然坐标系自然坐标系(s)(1)(1)运动学中参考系可任选运动学中参考系可任选。(2)(2)参照物选定后，坐标系可任选。参照物选定后，坐标系可任选。说明说明质点：质点：如果我如果我们研究某一物体的运动，而可以忽略们研究某一物体的运动，而可以忽略其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的其大小和形状对物体运动的影响，若不涉及物体的转动和形变，我们就可以把物体当作是一个具有质转动和形变，我们就可以把
5、物体当作是一个具有质量的点（即质点）来处理。量的点（即质点）来处理。质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模质点是经过科学抽象而形成的理想化的物理模型。目的是为了突出研究对象的主要性质型。目的是为了突出研究对象的主要性质,暂不考暂不考虑一些次要的因素虑一些次要的因素。质点是有质量而无形状和大小的几何点。质点是有质量而无形状和大小的几何点。二、二、建立理想化的模型建立理想化的模型建立理想化的模型建立理想化的模型1.2 质质 点点 运运 动动 的的 描描 述述 对运动的描述有多种方式对运动的描述有多种方式.常用的有列表法、图线法和解析法常用的有列表法、图线法和解析法.列表法就是以表格形式列出有关物
6、理量之间的对应列表法就是以表格形式列出有关物理量之间的对应 变化关系变化关系.一、一、描述质点运动的一般方法描述质点运动的一般方法图线法就是把某些相关物理量的对图线法就是把某些相关物理量的对应关系在给定的坐标系中画成曲线，应关系在给定的坐标系中画成曲线，直观形象地表示质点的运动。直观形象地表示质点的运动。解析法就是用函数形式表示质点运动的方法。解析法就是用函数形式表示质点运动的方法。t/s 0 1 2 3 4 5 6 x/m 0 4.9 19.6 44.1 78.4 122.5 176.4 二、位置矢量二、位置矢量 运动学方程运动学方程*确定质点确定质点P某一时刻在某一时刻在坐标系里的位置的物
7、理量称坐标系里的位置的物理量称位置矢量位置矢量,简称位矢简称位矢 。式中式中 、分别为分别为x、y、z 方向的单位矢量。方向的单位矢量。x=x(t)x=x(t)y=y(t)y=y(t)z=z(t)z=z(t)位矢位矢 的方向余弦的方向余弦P位矢位矢 的值为：的值为：例例1.1 一质点沿半径为r的圆形轨道匀速运动，角速度为。试分 别写出用直角坐标、位矢表示的质点运动学方程，并写出在直角坐标系中质点的轨迹方程。解解 以圆心O为原点，建立直角坐标系OXY，如图1-5所示。取质点经过X轴上A点的时刻为计时起始时刻，即t=0。设t时刻质点位于P，P点的直角坐标为x,y，质点作匀速圆周运动，AOP=t，用
8、直角坐标表示的质点运动学方程为x=r costy=r sint从圆心O向P点作位矢，用位矢表示的质点运动学方程为 从直角坐标系中质点运动学方程消去t即可得到质点的轨迹方程 x2+y 2=r2 r=x i+y j=r cost i+r sint jBABA 经过时间间隔经过时间间隔 后后,质点位置矢量发生变化质点位置矢量发生变化,由始点由始点 A 指向终点指向终点 B 的的有向线段有向线段 AB 称为点称为点 A 到到 B 的的位移矢量位移矢量 .位移矢量也简称位移矢量也简称位移位移.三、位移三、位移 描写质点位置变化的物理量。描写质点位置变化的物理量。位移的大小为位移的大小为BA所以位移所以位
9、移 若质点在若质点在三维三维空间中运动，空间中运动，则在直角坐标系则在直角坐标系 中其位中其位移为移为又又位移的物理意义位移的物理意义 A)确切反映物体在空确切反映物体在空间位置的变化间位置的变化,与路径无关，与路径无关，只决定于质点的始末位置只决定于质点的始末位置.B）反映反映了运动的矢量了运动的矢量性和叠加性性和叠加性.注意注意位矢长度的变化位矢长度的变化四、速度四、速度描写物体运动快慢和方向的物理量。描写物体运动快慢和方向的物理量。1、平均速度、平均速度 在在 时间内时间内,质点从点质点从点A 运动到点运动到点 B,其位移为其位移为BA 物体的物体的位移位移与发生这段与发生这段位移所用的
10、时间之比。位移所用的时间之比。时间内时间内,质点的平均速度质点的平均速度2 瞬时速度瞬时速度当质点做曲线运动时当质点做曲线运动时,质点在某一点的速度方向质点在某一点的速度方向就是沿该点曲线的切线方向就是沿该点曲线的切线方向.当当 时平均速度的极限值叫做瞬时速度时平均速度的极限值叫做瞬时速度,简称速度，即质点位矢对时间的变化率。简称速度，即质点位矢对时间的变化率。若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动,在直角坐标系中，速度在直角坐标系中，速度矢量可以表示为矢量可以表示为:若质点在若质点在三维三维空间中运动空间中运动,其速度为其速度为平均速率平均速率瞬时速率瞬时速率3 瞬时速率瞬时速率速度速
11、度 的大小称为速率。的大小称为速率。例例1.2 质点作平面曲线运动，运动学方程为x=2t,y=8-t2,求（1）轨迹方程，并画出轨迹曲线，（2）质点在t1=1s到t2=3s内的r,r和 ,（3）3s末的速度v和速率v。解解 （1）从运动学方程消去参量t，得轨迹方程(2)质点的位矢为 r=2ti+(8-t2)j将t=1s和t=3s代入上式得 r1=2i+7j r3=6i-1j1到3s内质点的位移为r=r3-r1=4i-8j1到3s内质点位矢大小的增量为 r=r3-r1=-1.20m 1到3s内质点的平均速度为v=2i-4j1到3s内质点的平均速度的大小为|=4.47m/s(3)质点的速度为 v=
12、2i-2tj将t=3s代入得 v3=2i-6j1 平均加速度平均加速度B与与 同方向同方向。反映速度变化快慢的物理量。反映速度变化快慢的物理量。单位时间内的速度增单位时间内的速度增量即平均加速度量即平均加速度A五、加速度五、加速度2（瞬时）加速度（瞬时）加速度加速度大小加速度大小O问问 吗？吗？讨论讨论因为因为所以所以而而例例 匀速率圆周运动匀速率圆周运动所以所以例例1.3 已已知知一一质质点点沿沿椭椭圆圆轨轨道道运运动动，其其运运动动学学方方程程为为r=a costi+b sintj，求求质质点点的的加加速速度度，并并证证明明加加速速度度的的方方向向始始终终指向椭圆中心。指向椭圆中心。解解
13、按已知x=a cost、y=b sint,质点的加速度a沿沿坐坐标标轴轴x、y的投影为 ax=-2a cost ay=-2b sint a =axi+ayj j =-2(a cost i+b sint j)=-2r 加速度a与位矢与位矢r方向始终相反，即加速度方向始终指向椭圆中心。方向始终相反，即加速度方向始终指向椭圆中心。六、法向加速度和切向加速度六、法向加速度和切向加速度 在在直直角角坐坐标标系系中中，加加速速度度公公式式无无法法看看出出哪哪一一部部分分是是由由速速度度大大小小变变化化产产生生的的加加速速度度，哪哪一一部部分分是是由由速速度度方方向向变变化化产产生生的的加加速速度度，所所以
14、以引引入入自自然然坐坐标标系系来描写。来描写。自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的，有两个坐标轴，标轴，切向坐标切向坐标和和法向坐标法向坐标。切向坐标切向坐标 沿运动轨迹沿运动轨迹的切线方向；的切线方向；法向坐标法向坐标 n 沿运动轨迹沿运动轨迹的法线方向。的法线方向。物体沿平面作曲线运动，速度变化为物体沿平面作曲线运动，速度变化为 ，建立自然，建立自然坐标系。坐标系。将将分解为分解为和和 其中其中切线方向的单位矢量；切线方向的单位矢量；法线方向的单位矢量。法线方向的单位矢量。（1）为速度增量在切线方向的分量；为速度增量在切线方向的分量；为速度增量
15、在法线方向的分量；为速度增量在法线方向的分量；ABvAvBvA将（将（1）式两边同除）式两边同除后取极限，后取极限，即即其中：其中：由于速度大小变化产生的加速度；由于速度大小变化产生的加速度；由于速度方向变化产生的加速度。由于速度方向变化产生的加速度。有有可以证明：可以证明：大小大小 方向方向 六、圆周运动的角量表示六、圆周运动的角量表示 角量与线量的关系角量与线量的关系1 1 平面极坐标平面极坐标 A 设一质点在设一质点在 平面内平面内运动，某时刻它位于点运动，某时刻它位于点 A.矢矢径径 与与 轴之间的夹角轴之间的夹角为为 .于是质点在点于是质点在点 A 的位的位置可由置可由 来确定来确定
16、.以以 为坐标的参考系为为坐标的参考系为平面极坐标系平面极坐标系.它与直角坐标系之间的变换关系为它与直角坐标系之间的变换关系为角速度角速度角位置角位置角加速度角加速度AB2 2 角位置和角位移角位置和角位移角位移角位移3 3 角速度和角加速度角速度和角加速度OPr4 4 位移与角位移与角位移的关系位移的关系OPr5 速度与角速度的关系速度与角速度的关系大小大小方向方向(标量式标量式)6 切向加切向加速度与角加速度的关系速度与角加速度的关系由由7 法向加法向加速度与角速度的关系速度与角速度的关系将将 代入代入例例1.5 1.5 如图1-17所示，半径R=0.25m的飞轮，绕O轴转动。已知轮缘上一
17、点P的运动学方程为=t2-2t(SI)。求t=2s时P点的速度和加速度。解解 飞轮转动时P点作半径为R的圆周运动，其角速度和角加速度分别为t=2s时，P点的速度为v=R=R(2t-2)=0.25(22-2)=0.5 m/s速度方向沿P点的切线，指向如图所示。P点的切向加速度为法向加速度为加速度为1.3 质点运动基本问题质点运动基本问题求导求导求导求导积分积分积分积分 一一 由质点的运动方程可以求得质点在任一由质点的运动方程可以求得质点在任一时刻的位矢、速度和加速度；时刻的位矢、速度和加速度；二二 已知质点的加速度以及初始速度和初始已知质点的加速度以及初始速度和初始位置位置,可求质点速度及其运动
18、方程可求质点速度及其运动方程.质点运动学的问题可以分为两类质点运动学的问题可以分为两类:例例1.6 1.6 河中有一小船，在高为h的岸上用绞车以恒定的速率v0收缆绳使船靠岸，如图1-18所示，求当船与岸的水平距离为x时，船的速度与加速度。解解 选船为研究对象，并看作质点。以岸为参考系，以绞车为原点建立直角坐标系OXY,如图1-18所示，则船的位矢为r=xi+(-h)j由速度定义得由图可知 x=，即得vx=，按题意 由此得船速vx=-v0 =-v0 ，v=vxi=-v0 i上式中的负号表示船的速度v沿沿X轴的负方向。按加速度的定义得 ax=v0 负号表示加速度a的方向与的方向与X轴的正方向相反。
19、由于a与与v同向，所以小船是加速靠岸的。同向，所以小船是加速靠岸的。本例中，虽然题目没有明确给出船的运动学方程，但可根据题设的条件找出船的位置和其他有关变量的关系，建立运动学方程，用微分法可进而求出船的速度和加速度。例例1.7 1.7 已已知知物物体体作作抛抛体体运运动动，初初速速度度为为v0，发射角为，不计空气阻力，物体只在竖直方向上有重力加速度g。求抛体在任一时刻的速度、抛体的运动学方程和轨迹方程。解解 把物体看作质点，选地面参考系在含v0 竖竖直直平平面面内内建建立立平面直角坐标系OXY，已知已知消去方程中的参数消去方程中的参数 得轨迹方程得轨迹方程时时在本例中我们看到，已知质点的加速度和初始条件，用积分法可以求得质点的速度和运动学方程；还可以看到，由运动方程出发，可以了解质点运动的各方面情况，如本例中的运动轨迹。1.4 不同参考系中速度不同参考系中速度和加速度的变换关系和加速度的变换关系*位移关系位移关系P质点在相对作匀速质点在相对作匀速直线运动的两个坐直线运动的两个坐标系中的位移：标系中的位移：S 系系 系系 伽利略速度变换伽利略速度变换速度变换速度变换伽利略速度变换伽利略速度变换绝对速度绝对速度相对速度相对速度牵连速度牵连速度加速度关系加速度关系