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1、 数学实际应用问题中的三种类型及其解法 教学目标：教学目标：难难点点：灵灵活活运运用用所所学学知知识识正正确确分分析析和和解解决决实实际际问题。问题。1.通通过过对对实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型的的讨讨论论和和解解法法探探讨讨，使使学学生生明明确确和和掌掌握握解解答答实实际际应应用用问问题题的的思思想想方方法法，进进一一步步巩巩固固函函数数等等有有关关的的数数学学知知识和方法。识和方法。2.通通过过学学习习，能能运运用用所所学学知知识识解解决决实实际际问问题题，提提高高分分析析问问题题、解解决决问问题题的的能能力力及及综综合合运运用用知知识识的能力。的能力。3.培培养养学学
2、生生理理论论联联系系实实际际，自自觉觉运运用用所所学学知知识解决实际问题的意识。识解决实际问题的意识。重点：重点：实际应用问题中的三种类型及其解法。实际应用问题中的三种类型及其解法。第1页/共22页 一、复习回顾 读题理解读题理解：读懂题意、理解实际背景，把：读懂题意、理解实际背景，把“问问题情景题情景”译为数学语言，找出问题的主要关系（目标译为数学语言，找出问题的主要关系（目标与条件的关系）；与条件的关系）；抽抽象象建建模模：把把问问题题的的主主要要关关系系近近似似化化、形形式式化化，抽象、归纳成数学问题（数学模型）；抽象、归纳成数学问题（数学模型）；求求解解模模型型：把把数数学学问问题题化
3、化归归为为常常规规问问题题，选选择择合适的数学方法求解（解出模型的数学结果）；合适的数学方法求解（解出模型的数学结果）；评评价价作作答答：对对结结果果进进行行验验证证或或评评估估，对对错错误误加加以以调调节节、修修正正，最最后后对对实实际际问问题题作作出出回回答答（解解释释或或预测）预测）.解应用问题的一般思路和方法步骤：解应用问题的一般思路和方法步骤：三三种种类类型型及及其其解解法法数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的 读题读题-建模建模-求解求解-评价评价第2页/共22页 二、学习新课 (一一)应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型、理理论论依依据据和和解题思路解题思路 类型类型()
4、()：有关有关“利润最大、产值最高、造价利润最大、产值最高、造价最低最低”等问等问题题.处理方法处理方法：主要是函数与方程的思想方法及函主要是函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法数与不等式的思想方法.类型类型()()：其理论依据有其理论依据有：数列、指数函数、方程、不等数列、指数函数、方程、不等式及近似计算等式及近似计算等.有关有关“利率、增长率及翻番利率、增长率及翻番”等问等问题题.处理方法：处理方法：主要是构造指数式方程或指数式不主要是构造指数式方程或指数式不等式等式.其理论依据是：其理论依据是：一次函数、二次函数、分式函一次函数、二次函数、分式函数、不等式及方程等数、不等式及方程
5、等.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第3页/共22页体问题选择类()或()的方法.类型类型():():变化过程中所遵从的某些特定关系变化过程中所遵从的某些特定关系.定义型问题，即给定事物发展定义型问题，即给定事物发展 其理论依据是其理论依据是:类类()()或类或类()()的综合的综合.处理方法：处理方法：除遵从题中规定关系外应视具除遵从题中规定关系外应视具数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法 象近年来的高考应用问题大多属于类型象近年来的高考应用问题大多属于类型().().第4页/共22页 （二）例与练 应应怎怎样样计计
6、划划才才能能使使每每亩亩地地都都能能种种上上作作物物（水水稻稻必必种种），所所有有劳劳力力都都有有工工作作且且作作物物预预计总产值达最高？（每个劳力只种一种作物）计总产值达最高？（每个劳力只种一种作物）例例1 12020个个劳劳动动力力种种5050亩亩地地，这这些些地地可可种种蔬蔬菜菜、棉棉花花、水水稻稻.这这些些作作物物每每亩亩地地所所需需劳劳力力和和预预计产值如下表：计产值如下表：作作作作 物物物物劳力劳力劳力劳力/亩亩亩亩产值产值产值产值/亩亩亩亩蔬蔬蔬蔬 菜菜菜菜1/21/21/21/20.60.60.60.6万元万元万元万元棉棉棉棉 花花花花1/31/31/31/30.50.50.5
7、0.5万元万元万元万元水水水水 稻稻稻稻1/41/41/41/40.30.30.30.3万元万元万元万元解答三类型数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第5页/共22页 题中显示“产值最高”的语句，属类型()，应从构造有关产值的函数关系入手.满足满足解：解：设种设种x x亩水稻亩水稻 (0 x50)(0 x50)，y y亩棉花亩棉花（0y500y0).如果机车匀速从甲站开往乙站，为使成本最省,应以怎样的速度运行？故机车以速度故机车以速度 但但题题中中显显示示“成成本最省本最省”的语句，应选择类型的语句，应选择类型()()的处理方法的处理方法.分析：分析：设机车
8、以速度设机车以速度V V匀速运行成本最省，甲、匀速运行成本最省，甲、乙两站相距乙两站相距S S千米，千米，解：解：则机车匀速从甲站到乙站所则机车匀速从甲站到乙站所需时间为需时间为 t=S/Vt=S/V，总成本设为总成本设为y y元，则有元，则有y=(a+KVy=(a+KV2 2)t )t =(a+KV=(a+KV2 2)(S/V)(S/V)=SKV+(a/V)=SKV+(a/V)当且仅当当且仅当KV=a/VKV=a/V，即即时，时，y y有最小值，有最小值，千米千米/小时匀速运行时，小时匀速运行时，成本最省成本最省.题目结构属类型题目结构属类型().().三类型复习数数学学实实际际应应用用问问
9、题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法复习1第9页/共22页 练习：1 1一一商商人人购购进进某某种种商商品品400400个个，进进货货原原价价为为每每个个8080元元，若若按按9090元元一一个个售售出出时时，可可全全部部卖卖出出.已已知知这这种种商商品品每每个个涨涨价价1 1元元，其其销销售售数数就就减减少少2020个个，问他的售价应为多少时所获得的利润最大？问他的售价应为多少时所获得的利润最大？2 2某某工工厂厂在在今今年年年年初初向向银银行行贷贷款款a a万万元元，年年利利率率为为r r；从从今今年年年年末末开开始始，每每年年末末向向银银行行偿偿还还一一定定的的金金额额，预预计计
10、五五年年内内还还清清，问问该该厂厂每每年年末末平平均均偿偿还的金额应是多少？还的金额应是多少？3 3某某人人进进一一批批货货，进进货货时时已已按按原原价价a a扣扣去去了了25%25%，现现他他希希望望对对货货物物定定一一个个新新价价，以以便便按按新新价价让让利利20%20%后后，仍仍可可获获得得实实际际售售价价25%25%的的纯纯利利，试试写写出出他经营这种货物件数他经营这种货物件数x x与让利总额与让利总额y y间的函数关系间的函数关系.练习1练习2练习3小结数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第10页/共22页 1分析：题中显示“利润最大”的语句，属类
11、型().应从构造有关利润的函数关系入手.（利润=售额-成本）答：售价为答：售价为9595元时获利最大，其最大值为元时获利最大，其最大值为45004500元元.此此时时销销售售量量为为400-20 x400-20 x，则，则 y=(90+x)(400-20 x)-(400-20 x)y=(90+x)(400-20 x)-(400-20 x).8080解：解：设售价为设售价为90+x90+x元时利润为元时利润为y y，=20(20-x)(10+x)=20-(x-5)=20(20-x)(10+x)=20-(x-5)2 2+225+225，由二次函数的性质知，由二次函数的性质知，当当x=5x=5时，时
12、，y ymaxmax=4500=4500（元）（元）.练习小结数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第11页/共22页 2分析：题中显示“利率”的语句，属类型()，应从构造指数式方程或不等式入手.解解：设设平平均均每每年年末末应应向向银银行行偿偿还还x x万万元元，则每年尚欠银行款依次为：则每年尚欠银行款依次为：第第1 1年：年：a+ar-x=a(1+r)-xa+ar-x=a(1+r)-x，第第2 2年：年：a(1+r)-x+a(1+r)-xr-xa(1+r)-x+a(1+r)-xr-x =a(1+r)=a(1+r)2 2-x(1+r)-x-x(1+r)-x，
13、第第5 5年：年：a(1+r)a(1+r)5 5-x(1+r)-x(1+r)4 4+(1+r)+(1+r)3 3+(1+r)+1.+(1+r)+1.根据题意，第根据题意，第5 5年欠款应等于零，年欠款应等于零，即即a(1+r)a(1+r)5 5-x(1+r)-x(1+r)4 4+(1+r)+(1+r)3 3+(1+r)+1=0,+(1+r)+1=0,亦即答：平均每年末向银行偿还的金额是答：平均每年末向银行偿还的金额是万元万元.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法练习第12页/共22页 注：本题也可从两方面去计算本利.即整存整取a万元，五年本利有M万元，零存整
14、取x万元，四年本利有N万元，若五年内还清，则有关系：N+xM.N+xM.练习小结数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第13页/共22页 3分析：题目结构属类型().题中虽显示“让利”等语句，但最终还是以“利润大”为目的，故应选择类型()的处理方法.解决此题的关键是弄清让利、纯利等的含义，弄清原价、进价、新价之间的关系，特别是要求出新价与原价之间的关系式，还要注意函数的定义域.解：解：设新价为设新价为b b，则售价为则售价为 b(1-20%),b(1-20%),进价进价为为 a(1-a(1-25%),25%),由题意得：由题意得：b(1-20%)-a(1-25
15、%)b(1-20%)-a(1-25%)=b(1-20%)=b(1-20%)25%,25%,b=5a/4b=5a/4，y=b y=b 20%20%x=ax/4,x=ax/4,(xN)(xN).练习数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第14页/共22页 三、归纳小结 今今天天我我们们主主要要归归纳纳和和讨讨论论了了数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及它它们们的的处处理理思思想想和和方方法法，并并通通过过例例题题和和练练习习进进行行了了解解题题思思路路和和方方法法的的探探索实践。索实践。有有关关“利利润润最最大大、产产值值最最高高、造造价价
16、最最低低”等等问问题题，主主要要是是利利用用函函数数与与方方程程的的思思想想方方法法及及函函数数与与不不等等式式的的思思想想方方法法解解决决；有有关关“利利率率、增增长长率率及及翻翻番番”等等问问题题，主主要要是是利利用用构构造造指指数数式式方方程程或或指指数数式式不不等等式式解解决决；对对于于定定义义型型问问题题，处处理理方方法法除除遵遵从从题题中中规规定定关关系系外外，应应视视具具体体问问题选择类题选择类()()或或()()的方法解决的方法解决.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法练习第15页/共22页 四、布置作业求这种商品的日销售额的最大值求这种商品
17、的日销售额的最大值?1.1.某商品在最近某商品在最近100100天内的价格天内的价格f f(t t)与时间与时间t t的函数关系式是的函数关系式是,销售量销售量g(t)g(t)与时间与时间t t的的函数关系是函数关系是 2.2.某某工工厂厂现现有有职职工工2a2a人人(140(1402a2a280)280)，且且a a为为偶偶数数，每每人人每每年年可可创创利利b b万万元元，据据评评估估在在生生产产条条件件不不变变的的条条件件下下，每每裁裁员员1 1人人，则则留留岗岗职职工工每每人人每每年年多多创创利利1%1%，但但每每年年需需付付下下岗岗职职工工0.4b0.4b万万元元的的生生活活费费，并并
18、且且该该厂厂正正常常运运转转所所需需人人数数不不得得小小于于现现有有职职工工的的3/4,3/4,为为获获得得最最大大的的经经济济效效益益，该该厂厂应应裁裁员多少人员多少人?数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第16页/共22页 3.某工厂生产某产品x 吨所需费用P元，而 卖 出x 吨 的 价 格 为 每 吨Q元，已 知P=1000+5x2+(X2/10)，Q=a+(x/b),若 生 产出的产品能全部卖掉，且当产量为10吨时利润最大，此时每吨价格为40元，求实数a、b的值.参考答案：参考答案：1.1.808.5 808.5 2.2.a-70 a-70人人.3.
19、3.a=45 a=45，b=-30.b=-30.数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第17页/共22页 五、板书设计 课题：课题：一、复习一、复习 (二二)例与练例与练 解应用问题的一般解应用问题的一般 例例1 1 练习：练习：1 1 思路和方法思路和方法 2 2 3 3 二、新课二、新课 例例2 2(一一)应用问题中的应用问题中的 三、小结三、小结 三种类型、理论依三种类型、理论依 据和解题思路据和解题思路 例例3 3 四、作业四、作业数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第18页/共22页 应用问题中的三种类型和解题思路
20、 类型()：有关“利润最大、产值最高、造价最低”等问题.处理方法：主要是函数与方程的思想方法及函数与不等式的思想方法.类型()：有关“利率、增长率及翻番”等问题.处理方法：主要是构造指数式方程或指数式不等式.类型()：定义型问题，即给定事物发展变化过程中所遵从的某些特定关系.处理方法：除遵从题中规定关系外应视具体问题选择类()或()的方法.例1例2例3数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第19页/共22页 若a0，b0，则 ,，当且仅当，当且仅当a=ba=b时，时，“=”成立成立.例3即即定理：数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其
21、解解法法第20页/共22页又又KV+(a/V)=KV+(a/V)=当且仅当当且仅当，即，即即即 KV+(a/V)KV+(a/V)有最小值有最小值 ，此时，此时，y y有最小值有最小值 .故机车以速度故机车以速度成本最省成本最省.千米千米/小时匀速运行时，小时匀速运行时，时，时，例3成本成本y=(a+KVy=(a+KV2 2)t)t=(a+KV=(a+KV2 2)(S/V)(S/V)=SKV+(a/V).=SKV+(a/V).分析：分析：应从构造有关成本的函数关系入手应从构造有关成本的函数关系入手.“=”成立，成立，数数学学实实际际应应用用问问题题中中的的三三种种类类型型及及其其解解法法第21页/共22页感谢您的观看。第22页/共22页