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1、第一章 随机事件第一节 样本空间和随机事件第二节 事件关系和运算第1页/共55页第一章 基本知识点1.概率论概率论就是研究随机现象的统计规律性的数学学科2.确定性现象与随机现象3.随机试验(1)试验在相同的条件下可重复进行(2)每次试验的结果具有多种可能性，而且在试验之前 可以确定试验的所有可能结果(3)每次试验前不能准确预言试验后会出现哪种结果 第2页/共55页 在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大 量的重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机 事件，简称事件 4.随机事件5.样本点6.样本空间随机试验中的每一个可能出现的试验结果称为这个试验的一个样本点，记作 全体样本点组成的集合称为这
2、个试验的样本空间，记作即第3页/共55页仅含一个样本点的随机事件称为基本事件 7.随机事件 含有多个样本点的随机事件称为复合事件 8.必然事件一次随机试验中，必然会发生的随机事件.9.不可能事件一次随机试验中，不可能会发生的随机事件.第4页/共55页给定一个随机试验，设为其样本空间，则：事件事件之间的关系集合集合之间的关系10.事件关系和运算事件的运算集合的运算概率论集合论随机事件A，B，.的子集A，B，.随机事件间的关系各种集合间的关系第5页/共55页概率论与集合论之间的关系概率论概率论集合论集合论样本空间全集必然事件全集不可能事件空集子事件子集并事件并集交事件交集差事件差集对立事件补集第6
3、页/共55页第二章 事件的概率第一节 概率的概念第二节 古典概型第三节 几何概型第四节 概率的公理化定义第7页/共55页第二章 基本知识点1.随机事件的频率 设随机事件A在n次随机试验中出现了r次，则称这n次试验中事件A出现的频率为：随机事件A在相同条件下重复多次时，事件 A 发生的频率在一个固定的数值p附近摆动，随着试验次数的增加更加明显.2.频率的稳定性第8页/共55页对任意事件A，在相同的条件下重复进行n 次试验，事件A 发生的频率随着试验次数的增大而稳定地在某个常数p附近摆动,那么称p为事件A的概率，记为事件A的频率3.概率的统计定义事件A的概率当试验次数足够大时近似地代替事件A的概率
4、准确的数值频率的稳定值概率事件A第9页/共55页(1)有限性：各个可能结果出现是等可能的.试验的可能结果只有有限个；(2)等可能性：4.古典概型：古典概型的基本特征：样本空间是个有限集基本事件的概率均相同第10页/共55页 5.概率的古典定义对于古典概型：(1)设所有可能的试验结果构成的样本空间为：(2)事件其中 为1,2,n中的r个不同的数则定义事件A的概率为：第11页/共55页6.几何概型古典概型中的有限性推广到无限性，而保留等可能性事件A“随机点落在中的子区域SA中”长度、面积或体积 1.基本特征：(1)有一个可度量的几何图形(2)试验E看成在中随机的一点第12页/共55页设随机试验的样
5、本空间为，若对任一事件A，有且只有一个实数P(A)与之对应，满足如下公理：(1)非负性：(2)规范性：(3)完全可加性：7.概率的公理化定义对任意一列两两互斥事件A1，A2，有：则称P(A)为事件A的概率第13页/共55页8.概率的性质 不可能事件的概率为零性质1性质2逆事件的概率性质3对任意有限个互斥事件A1，A2，An，有：互不相容事件概率的有限可加性性质4加法定理性质5 若 ，则：且差事件的概率第14页/共55页A性质6加法定理的推广形式第15页/共55页第三章 条件概率与事件的独立性第一节 条件概率第二节 全概率公式第三节 贝叶斯公式第四节 事件的独立性第五节 伯努利试验和二项概率第六
6、节 主观概率第16页/共55页第三章 基本知识点设A，B为同一随机试验中的两个随机事件,且 P(A)0，则称已知A发生条件下B发生的概率为B的条件概率，记为 1.条件概率的定义2.乘法定理第17页/共55页设A1，A2，.，An 构成一个完备事件组，且P(Ai)0(i1，2，.，n)，则对任一随机事件B，有:3.全概率公式第18页/共55页 设A1，A2，,An构成完备事件组，且每个 P(Ai)0，B为样本空间的任意事件且P(B)0,则有：4.贝叶斯公式P(BA)=P(B)5.事件独立的定义A与B相互独立的充要条件第19页/共55页如果事件A，B，C满足:(a)P(AB)=P(A)P(B)(b
7、)P(AC)=P(A)P(C)(c)P(BC)=P(B)P(C)则称事件A，B，C两两独立.6.事件的独立性的推广(1)事件A，B，C两两独立：如果事件A，B，C满足:(a)P(AB)=P(A)P(B)(b)P(AC)=P(A)P(C)(c)P(BC)=P(B)P(C)(d)P(ABC)=P(A)P(B)P(C)则称事件A，B，C相互独立.(2)事件A，B，C相互独立：第20页/共55页在在n重独立重复试验中，若每次试验只有两种可重独立重复试验中，若每次试验只有两种可能的结果：能的结果：A及及 ，且，且A在每次试验中发生的概在每次试验中发生的概率为率为p，则称其为，则称其为n重贝努利试验重贝努
8、利试验，简称贝努利，简称贝努利试验试验.7.贝努利试验8.二项概率：设在一次试验中事件A发生的概率为 p(0p 0,则在条件Y=yj下X=xi的条件概率为：10.离散型随机变量的条件分布律:称这个分布为在给定的Y=yj条件下X的条件分布律.表格形式：概率第38页/共55页(2)设(X,Y)为二维离散型随机变量，其分布律已知.假设P(X=xi)0,则在条件X=xi下Y=yj的 条件概率为：称这个分布为在给定的X=xi条件下Y的条件分布律.表格形式：概率第39页/共55页(1)对于二维连续型随机变量(X,Y)，其分布已知.规定在给定的Y=y条件下X的条件分布为一个 连续型分布，它的条件密度函数为：
9、11.连续型随机变量的条件分布律:(2)对于二维连续型随机变量(X,Y)，其分布已知.规定在给定的X=x条件下Y的条件分布为一个 连续型分布，它的条件密度函数为：第40页/共55页第六章 随机变量的函数及其分布第一节 一维随机变量的函数及其分布第二节 二维随机变量的函数的分布第41页/共55页第六章 基本知识点若X为离散型随机变量,其分布律为则随机变量X的函数Y=g(X)的分布律为1.离散型随机变量的函数的分布概率概率第42页/共55页设X为连续型随机变量，其概率密度函数为f(x).y=g(x)是一个连续函数，则：(1)求随机变量Y=g(X)的分布函数 FY(y)为：(2)随机变量Y=g(X)
10、的概率密度函数 fY(y)为：2.连续型随机变量的函数的分布第43页/共55页3.二维离散型随机变量的函数的分布设(X,Y)是二维离散型随机变量，其联合分布律为 g(x,y)是一个二元函数，Z=g(X,Y)是二维随机变量(X,Y)的函数，则随机变量Z的分布律为：第44页/共55页4.二维连续型随机变量的函数的分布Z的分布密度函数为：(1)(X,Y)是二维随机变量Z的分布函数为：假设：(2)(X,Y)的联合分布函数为F(x,y)(3)Z=g(X,Y)是随机变量X,Y的二元函数第45页/共55页第七章 随机变量的数字特征第一节 数学期望第二节 方差和标准差第三节 协方差和相关系数第四节 切比雪夫不
11、等式及大数律第五节 中心极限定理第46页/共55页第七章 基本知识点设离散型随机变量的概率分布律为 1.离散型随机变量的数学期望则随机变量X的数学期望为：定义：即概率2.连续型随机变量的数学期望E(X)第47页/共55页3.二维随机变量的数学期望及边缘分布的数学期望(1)(X,Y)为二维离散型随机变量(2)(X,Y)为二维连续型随机变量第48页/共55页4.随机变量的函数的数学期望定理1：设Y=g(X)是随机变量X的函数，离散型连续型 概率密度为一维情形第49页/共55页定理2：联合概率密度为 设Z=g(X,Y)是随机变量 X,Y的函数，连续型离散型 二维情形第50页/共55页5.方差6.标准差(均方差)注：方差的计算方法(1)(2)常用的简便方法描述数据分散程度的指标第51页/共55页7.一维随机变量的方差设离散型随机变量X的概率分布为(1)离散型(2)连续型设连续型随机变量X的分布密度为 f(x)第52页/共55页0-1分布3.常见分布及其期望和方差方差D(X)数学期望E(X)常见分布二项分布泊松分布均匀分布正态分布指数分布第53页/共55页8.二维随机变量的方差9.随机变量X和Y的协方差的定义：第54页/共55页感谢您的观看。第55页/共55页