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1、正弦定理2021/8/9 星期一1ABC3C2C1C思考1：三角形中角A的大小与它的对边BC的长度是否存在关系?你能否得到这个边、你能否得到这个边、角的正弦的准确量化角的正弦的准确量化表示呢？表示呢？2021/8/9 星期一2在RtABC中,各角与其对边的关系:不难得到:CBAabc思考：思考：上述关系式对一般三角形依然成立吗上述关系式对一般三角形依然成立吗?2021/8/9 星期一3所以CD=asinB=bsinA,即同理可得DCabAB图1过点C作CDAB于D,此时有若三角形是锐角三角形,如图1,探究一2021/8/9 星期一4且仿上可得D若三角形是钝角三角形,以上等式仍然成立吗?此时也有
2、交BC延长线于D,过点A作ADBC，CAcbB图2探探究究二二2021/8/9 星期一5思考思考2：是否可以用向量方法证明正弦定理是否可以用向量方法证明正弦定理?BcaCADb利用向量的数量积，产生边的长与内角的三角函数的关系来证明.j2021/8/9 星期一6证明：证明：过A作单位向量 垂直于 asinC=c sinA.同理，过点C作与 垂直的单位向量 ，可得BCA则两边同乘以单位向量2021/8/9 星期一7正弦定理:在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等.即?思考:这个比值会是什么呢?2021/8/9 星期一8探究：探究：OC/cbaCBA作外接圆O,过B作直径BC/,连AC/,2
3、021/8/9 星期一9剖析定理、加深理解 已知两角和一边，求其他角和边.已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角.思考：思考：利用正弦定理可以解决哪些问题？利用正弦定理可以解决哪些问题？正弦定理解三角形：解三角形：已知三角形的几个元素求其他元素的过程已知三角形的几个元素求其他元素的过程2021/8/9 星期一10例题讲解例题讲解已知两角和任意边，求其他两边和一角已知两角和任意边，求其他两边和一角解：解：2021/8/9 星期一11例题讲解例题讲解已知两边和其中一边的对角已知两边和其中一边的对角,求其他边和角求其他边和角解：解：2021/8/9 星期一12变式一：变式一：
4、在ABC中，已知a=20cm，b=cm，A=600，解三角形（角度精确到10,边长精确到1cm）.2021/8/9 星期一13变式二：变式二：2021/8/9 星期一14一般地，已知两一般地，已知两边和其中一和其中一边的的对角解三角形，角解三角形，有两解、一解、无解三种情况有两解、一解、无解三种情况.已知已知a，b，A，解三角形，解三角形（大边对大角）（大边对大角）2021/8/9 星期一15已知已知a，b，A，解三角形，解三角形当当A为钝角或直角时：为钝角或直角时：AABCBC无解有一解2021/8/9 星期一16已知已知a，b，A，解三角形，解三角形当当A为锐角时：为锐角时：ABC只有一解无解一解两解2021/8/9 星期一17思考：思考：如果已知如果已知a，b及角及角A，如何表示三角，如何表示三角形的面积形的面积?ABCacbD2021/8/9 星期一18练习：在ABC中，A=60,b=1,面积为2021/8/9 星期一19课堂小结（1）三角形常用公式：（2）正弦定理应用范围：已知两角和任意边，求其他两边和一角 已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角。(注意解的情况)正弦定理：2R2021/8/9 星期一20