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1、3.3.1 简单的线性规划问题简单的线性规划问题第一课时第一课时2021/8/9 星期一1复习：复习：（1）二元一次不等式）二元一次不等式Ax+By+C0在平面直角坐标系在平面直角坐标系 表示什么图形表示什么图形?（2）怎样画二元一次不等式）怎样画二元一次不等式(组组)所表示的区域所表示的区域?直线直线Ax+By+C=0的某一侧所有点组成的平面区域的某一侧所有点组成的平面区域直线定界，特殊点定域直线定界，特殊点定域注：注：1.检查直线是检查直线是虚线虚线还是还是实线实线 2.一般的，如果一般的，如果C0,可取可取(0,0);如果如果C0,可取可取(1,0)或或(0,1).2021/8/9 星期
2、一2分析：列表分析：列表 A配件配件 B配件配件耗耗时(h)甲种甲种产品品乙种乙种产品品401042例例1.某工厂用某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用一件甲产品使用 4 个个A配件耗时配件耗时 1h，每生产一件乙产品使，每生产一件乙产品使用用4个个B配件耗时配件耗时2h，该厂每天最多可从配件厂获得，该厂每天最多可从配件厂获得16个个A配件和配件和12个个B配件，按每天工作配件，按每天工作8 h计算计算，（1）该厂所有可能的日生产安排是什么？）该厂所有可能的日生产安排是什么？实际问题实际问题解：解：设甲、乙两种产品分别生产设甲、乙两种
3、产品分别生产x、y件，由已知条件可得件，由已知条件可得二元一次不等式组二元一次不等式组(x，y Z)2021/8/9 星期一3xyO484226x=4y=3x+2y=8 将上述不等式组表将上述不等式组表示成平面上的区域，示成平面上的区域，图中的阴影部分中的图中的阴影部分中的整点整点(坐标为整数坐标为整数)就就代表所有可能的日生代表所有可能的日生产安排。产安排。(x，y Z)实际问题实际问题该厂所有可能的日生产安排是什么？该厂所有可能的日生产安排是什么？（2）若生产一件甲产）若生产一件甲产品获利品获利2万元，生产一万元，生产一件乙产品获利件乙产品获利3万元，万元，采用那种生产安排利采用那种生产安
4、排利润最大？润最大？2021/8/9 星期一4(2)若生产一件甲产品获利若生产一件甲产品获利2万元，生产一件乙产品获利万元，生产一件乙产品获利3万元，采用那万元，采用那种生产安排利润最大？种生产安排利润最大？实际问题实际问题xyO484226x=4y=3x+2y=8(x，y Z)设工厂的利润为设工厂的利润为z，则，则z=2x+3y这是斜率为这是斜率为 ,在在y轴上的截距为轴上的截距为 的一组平行直线，的一组平行直线，如图可知，当直线如图可知，当直线 经过图中阴影区域中经过图中阴影区域中的点的点M时，纵截距时，纵截距 最大，即最大，即z最大最大 解方程组解方程组 x+2y=8 x=4 得得x=4
5、，y=2 M点的坐标为点的坐标为(4，2)zmax=24+32=14 即利润最大为即利润最大为14万元万元线性约束条件线性约束条件线性目标函数线性目标函数最优解最优解 求线性目标函数求线性目标函数在线性约束条件在线性约束条件下的最大值或最下的最大值或最小值问题称为小值问题称为线线性规划问题性规划问题。可行域可行域可行解可行解M2021/8/9 星期一5例例3.3.营养学家指出营养学家指出,成人良好的日常饮食应该至少提供成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06kg,0.06kg的蛋白质的蛋白质,0.06kg,0.06kg的脂肪的脂肪.1kg.1
6、kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.07 kg,0.07 kg的蛋白质的蛋白质,0.14kg,0.14kg的脂肪的脂肪,花费花费2828元元;而而1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.14 kg,0.14 kg的蛋白质的蛋白质,0.07kg0.07kg的脂肪的脂肪,花费花费2121元元.为了满足营养学家指出的日常饮食要为了满足营养学家指出的日常饮食要求求,同时使同时使花费花费最低最低,需要同时食用需要同时食用食物食物A A和食物和食物B B多少多少kgkg?分析分析:将已知数据列成下表将已知数据列成下
7、表0.070.140.1050.140.070.105BA脂肪脂肪/kg蛋白质蛋白质/kg碳水化合物碳水化合物/kg食物食物/kg解解:设每天食用设每天食用xkg食物食物A,ykg食物食物B,总成本为总成本为z元元.那么那么x,y满足的约束条件是满足的约束条件是:目标函数为目标函数为z=28x+21y2021/8/9 星期一6二元一次不等式组二元一次不等式组等价于等价于作出二元一次不等式组作出二元一次不等式组所所表示的平面区域，即可行域表示的平面区域，即可行域.这是斜率为这是斜率为 、在、在y轴上的截距为轴上的截距为 的一组平行直线的一组平行直线.xyo2021/8/9 星期一7由图知由图知,
8、当直线当直线经过可行域上点经过可行域上点M时时,截距截距最小最小,即即z最小最小.解方程组解方程组得得M的坐标为的坐标为所以所以zmin=28x+21y=16.答：每天食用食物答：每天食用食物A约为约为143g，食物，食物B约约571g，能够满足日常，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为饮食要求，又使花费最低，最低成本为16元元.xyoM线性目标函数的最线性目标函数的最大（小）值一般在大（小）值一般在可行域的顶点处取可行域的顶点处取得，也可能在边界得，也可能在边界处取得处取得.2021/8/9 星期一8解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（3）移：在线性目标函数所表示的一组平
9、行线中，）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；或最小的直线；（4）求：通过解方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解；（5）答：作出答案。）答：作出答案。（1）列：设出未知数）列：设出未知数,列出约束条件列出约束条件,确定目标函数；确定目标函数；（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；2021/8/9 星期一9351ABxyo(1.5,2.5)(-2,-1)Z max=17Z min=-11求求z=3x+5y的最大值和最小值的最大值和最小值
10、,使使x、y满足约束条件满足约束条件C3x+5y=0练习练习2021/8/9 星期一10351ABxyo(1.5,2.5)(-2,-1)C3x+5y=0变式变式1.若求若求z=x-2y的最大值和最小值呢？的最大值和最小值呢？-z/2最小时，最小时，z最大最大 -z/2最大时，最大时，z最小最小故过点故过点C时，时，z最大，最大，过点过点B时，时，z最小最小.zmax=3zmin=-3.5三、练习三、练习变式变式2.使使z=x-y取得最小值的最优解有几个取得最小值的最优解有几个?注：注：目标函数的最优解有时是唯一的，有时是不唯一的，目标函数的最优解有时是唯一的，有时是不唯一的，甚至是无穷多个。甚
11、至是无穷多个。2021/8/9 星期一11解线性规划问题的步骤：解线性规划问题的步骤：（3）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，）移：在线性目标函数所表示的一组平行线中，利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大利用平移的方法找出与可行域有公共点且纵截距最大或最小的直线；或最小的直线；（4）求：通过解方程组求出最优解；）求：通过解方程组求出最优解；（5）答：作出答案。）答：作出答案。（1）列：设出未知数）列：设出未知数,列出约束条件列出约束条件,确定目标函数；确定目标函数；（2）画：画出线性约束条件所表示的可行域；）画：画出线性约束条件所表示的可行域；注：注：1.线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶线性目标函数的最大（小）值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得。点处取得，也可能在边界处取得。2.求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义所表示的几何意义 在在 y 轴上的截距或其相反数。轴上的截距或其相反数。小结小结2021/8/9 星期一12作业作业习题习题3.3 A组组 42021/8/9 星期一13