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1、5 第二类第二类拉格朗日方程拉格朗日方程质点质点 i 的虚位移的虚位移将上式代入动力学普遍方程（将上式代入动力学普遍方程（3-15）式：）式：因因qk是独立的，所以是独立的，所以注意广义力可得注意广义力可得1.基本形式的拉格朗日方程基本形式的拉格朗日方程1上式应用起来很不方便。我们要作变换上式应用起来很不方便。我们要作变换上式中的第二项与广义力相对应，称为上式中的第二项与广义力相对应，称为广义惯性力。广义惯性力。注意到广义力可得注意到广义力可得拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：拉格朗日改造动力学普遍方程的第一步：就是把主动力的虚功改就是把主动力的虚功改造为广义力虚功。造为广义力虚功。拉格朗日
2、改造动力学普遍方程的第二步：拉格朗日改造动力学普遍方程的第二步：就是改造惯性虚功项，就是改造惯性虚功项，使之与系统的动能的变化联系起来。使之与系统的动能的变化联系起来。2 变换变换2.3.1.3可得可得由由为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。为理想完整系的拉格朗日方程，方程数等于质点系的自由度数。其中：其中：主主动动力的广力的广义义力，可以是力、力矩或其他力学量力，可以是力、力矩或其他力学量（不包含（不包含约约束反力）束反力）体系相体系相对惯对惯性系的性系的动动能能 广广义动义动量，可量，可为线动为线动量、角量、角动动量或其他物理量量或其他物理量 42.保守体系的拉格朗日方
3、程保守体系的拉格朗日方程 如果主如果主动动力都是保守力，即力都是保守力，即，则为则为广广义义力力 52.保守体系的拉格朗日方程保守体系的拉格朗日方程 将将Qk代入代入拉格朗日方程拉格朗日方程式，得式，得想一想：上式的成立、适用条件是什么？想一想：上式的成立、适用条件是什么？保守体系的拉格朗日方程为：保守体系的拉格朗日方程为：为拉格朗日函数为拉格朗日函数（动势）（动势），是表征体系约束运动状态和相互作用，是表征体系约束运动状态和相互作用等性质的特征函数。等性质的特征函数。势能势能V不包含广义速度，引入拉格朗日函数不包含广义速度，引入拉格朗日函数63.对拉格朗日方程的评价对拉格朗日方程的评价(1)
4、拉氏方程的特点（优点）：拉氏方程的特点（优点）：n 是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简是一个二阶微分方程组，方程个数与体系的自由度相同。形式简洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。洁、结构紧凑。而且无论选取什么参数作广义坐标，方程形式不变。u方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已方程中不出现约束反力，因而在建立体系的方程时，只需分析已知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越知的主动力，不必考虑未知的约束反力。体系越复杂，约束条件越多，自由度越少，方程个数也越少，问题也就越简单。多，自由度越少，方程个数也越少，问题也
5、就越简单。拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学拉氏方程是从能量的角度来描述动力学规律的，能量是整个物理学的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他的基本物理量而且是标量，因此拉氏方程为把力学规律推广到其他物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥物理学领域开辟了可能性，成为力学与其他物理学分支相联系的桥梁。梁。73.对拉格朗日方程的评价对拉格朗日方程的评价(2)拉氏方程的价值拉氏方程的价值 拉拉氏氏方方程程在在理理论论上上、方方法法上上、形形式式上上和和应应用用上上用用高高度度统统一一的的规规律律，描描述述了了力力学学系系统统的的动动力力学
6、学规规律律，为为解解决决体体系系的的动动力力学学问问题题提提供供了了统统一一的的程程序序化化的的方方法法，不不仅仅在在力力学学范范畴畴有有重重要要的的理理论论意意义义和和实实用用价价值值，而而且且为为研研究究近近代代物物理理学学提提供供了了必必要要的的物物理理思思想想和和数数学技巧。学技巧。8 应用拉氏方程解题的步骤：应用拉氏方程解题的步骤：1.判定质点系的自由度判定质点系的自由度k，选取适宜的广义坐标。必须注意：选取适宜的广义坐标。必须注意：不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。2.计算质点系的动能计算质点系的动能T，表示为广义速
7、度和广义坐标的函数。表示为广义速度和广义坐标的函数。3.计算广义力计算广义力 ，计算公式为：，计算公式为：或或 若主动力为有势力，也可将势能若主动力为有势力，也可将势能 V 表示为广义坐标的函数。表示为广义坐标的函数。4.建立拉氏方程并加以整理，得出建立拉氏方程并加以整理，得出k个二阶常微分方程。个二阶常微分方程。5.求出上述一组微分方程的积分。求出上述一组微分方程的积分。9 例例 物物块块C的的质质量量为为m1，A，B两两轮轮皆皆为为均均质质圆圆轮轮，半半径径R，质质量量为为m2，求系统的运动微分方程求系统的运动微分方程。解解：图图示示机机构构只只有有一一个个自自由由度度，所所受受约约束束皆
8、皆为为完完整整、理理想想、定定常常的的，以以物物块块平衡位置为原点，取平衡位置为原点，取x 为广义坐标。为广义坐标。系统势能系统势能：(以弹簧原长为弹性势能零点)10 系统动能系统动能：系统的拉格朗日函数（动势）系统的拉格朗日函数（动势）代入拉格朗日方程代入拉格朗日方程11 注意到注意到可得系统的运动微分方程可得系统的运动微分方程12已已知知：M1的的质质量量为为m1，M2的的质质量量为为m2，杆长为杆长为l。试建立此系统的运动微分方程。试建立此系统的运动微分方程。解：图示机构为两个自由度，取解：图示机构为两个自由度，取x1，为广义坐标，则有。为广义坐标，则有。系统动能系统动能：求导求导：13
9、系统势能系统势能：（选质点（选质点 M2 在最低位置为零势能位置）在最低位置为零势能位置）求导运算可得：求导运算可得：由拉格朗日方程由拉格朗日方程 得得14同理：同理：由拉格朗日方程由拉格朗日方程 得得15 例例 水水平平面面内内运运动动的的行行星星齿齿轮轮机机构构。均均质质杆杆OA：重重P，可可绕绕O点点转转动动；均均质质小小齿齿轮轮：重重Q，半半径径 r，沿沿半半径径为为R的的固固定定大大齿齿轮轮滚滚动动。系系统统初初始始静静止止，系系杆杆OA位位于于图图示示OA0位位置置。系系杆杆OA受受大小不变力偶大小不变力偶M作用后，求系杆作用后，求系杆OA的运动方程。的运动方程。解解：图图示示机机
10、构构只只有有一一个个自自由由度度，所所受受约约束束皆皆为为完完整整、理理想想、定定常常的的，可可取取OA杆转角杆转角 为广义坐标。为广义坐标。1617 代入拉氏方程：代入拉氏方程：积分，得：故：代入初始条件，t=0 时，得18 例例：与与刚刚度度为为k 的的弹弹簧簧相相连连的的滑滑块块A，质质量量为为m1,可可在在光光滑滑水水平面上滑动。滑块平面上滑动。滑块A上又连一单摆，摆长上又连一单摆，摆长l，摆锤质量为摆锤质量为m2。试列出该系统的运动微分方程。试列出该系统的运动微分方程。解解：将弹簧力计入主动力，则系统成为具有完整、理想约束的二自由度系统。保守系统。取x,为广义坐标，x 轴 原点位于弹
11、簧自然长度位置，逆时针转向为正。19 系统动能：系统动能：20 系统势能系统势能：(以弹簧原长为弹性势能零点，滑块A所在平面为重力势能零点)拉格朗日函数：拉格朗日函数：21 代入：并适当化简得：22 系统的运动微分方程。系统的运动微分方程。上式为系统在平衡位置上式为系统在平衡位置(x=0,=0)附近微幅运动的微分方程。附近微幅运动的微分方程。若若系系统统在在平平衡衡位位置置附附近近作作微微幅幅运运动动，此此时时 1o，cos 1，sin ，略去二阶以上无穷小量，则略去二阶以上无穷小量，则2324 变换变换 1.由由 两边对时间求导数可得两边对时间求导数可得 两边再对两边再对 求偏导即可得求偏导即可得 25 变换变换2.由由 对时间求微分可得对时间求微分可得 对对 求偏导可表示为求偏导可表示为 而而 若若 ri 的一二阶偏导数连续，比较上两式可得变换的一二阶偏导数连续，比较上两式可得变换2 26