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1、应用空间向量解立体几何之应用空间向量解立体几何之用平面法向量求空间距离用平面法向量求空间距离甘泉中学甘泉中学 李正鹏李正鹏2021/8/11 星期三1课本课本P P33332021/8/11 星期三2ablABB1A1n2021/8/11 星期三3课本P42ala2021/8/11 星期三4方法指导：方法指导：怎样求平面法向量？怎样求平面法向量？一般根据平面法向量的定义推导出平面的法向量，进而就可以利用平面的法向量解决相关立体几何问题。推导平面法向量的方法如下：2021/8/11 星期三5例例1、在棱长为、在棱长为1的正方体的正方体 中，求平面中，求平面 的法向量。的法向量。ABCDxyA1B
2、1C1D1z图12021/8/11 星期三6BAaMNnab一、求异面直线的距离一、求异面直线的距离2021/8/11 星期三7nabAB方法指导:作直线a、b的方向向量a、b，求a、b的法向量n，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；在直线a、b上各取一点A、B，作向量AB；求向量AB在n上的射影d，则异面直线a、b间的距离为2021/8/11 星期三8例例2：已知正方体：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求，求异面直线异面直线DA1与与AC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1xyz2021/8/11 星期三9练习练习:如图如图,ASCDBxyz2021/8/11
3、星期三10例3、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求点B到平面GEF的距离。DABCGFE2021/8/11 星期三11anPAOMN方法指导：若点P为平面外一点，点A为平面内任一点，平面的法向量为n，则点P到平面的距离公式为二、求点到平面的距离二、求点到平面的距离2021/8/11 星期三12例例3、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz2021/
4、8/11 星期三13练习练习:SBCDAxyz2021/8/11 星期三14例4、已知正方形ABCD的边长为4，CG平面ABCD，CG=2,E、F分别是AB、AD的中点，求直线BD到平面GEF的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离三、求直线与平面间距离2021/8/11 星期三15小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量在平面定连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（向法向量上的射影（如果不知道判断方向，可取其射影的绝对如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值值）。）。点到直线的距离：
5、点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的距转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到平面的转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。2021/8/11 星期三16结论1anPAOMN2021/8/11 星期三17结论2BAaMNnab2021/8/11 星期三18例5、在边长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M、N、E、F分别是棱A1B1、A1D1、B1C1、C1D1的中点，求平面AMN与平面EFDB的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz四、求平面与平面间距离四、求平面与平面间距离2021/8/11 星期三192021/8/11 星期三20