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1、三组合三组合(Combination)(Combination)课时课时问题问题有有5 5本不同的书，本不同的书，(1)(1)取出取出3 3本送给甲乙丙三人，本送给甲乙丙三人，每人每人1 1本，共有多少种不同的送法？本，共有多少种不同的送法？(2)(2)取出取出2 2本送给甲人，共有多少种不同的送法？本送给甲人，共有多少种不同的送法？分析分析第一个问题，当我们确定了先给谁，后给谁后，第一个问题，当我们确定了先给谁，后给谁后，就可以发现这是一个讲究顺序的排列问题就可以发现这是一个讲究顺序的排列问题回忆回忆什么叫排列？排列数？什么叫排列？排列数？排列的本质：排列的本质：讲究顺序讲究顺序第二个问题，
2、当我们确定了给甲后，就可以发现第二个问题，当我们确定了给甲后，就可以发现这是一个不讲顺序的问题不能用排列来解决这是一个不讲顺序的问题不能用排列来解决2021/8/8 星期日1就第二问，我们来排出所有情况就第二问，我们来排出所有情况书书 甲甲 或或 共有共有1010种可能种可能从从 个个不同元素中取出不同元素中取出 个个元素，不管怎样的顺序并成一组，叫元素，不管怎样的顺序并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的做从个不同元素中取出个元素的一个一个组合组合定定义义三三2021/8/8 星期日2注意：注意：组合的定义中包括三个基本内容组合的定义中包括三个基本内容1.1.取出元素取出元素2.2.不管怎
3、样不管怎样的顺序并成一组的顺序并成一组“不管怎样顺序不管怎样顺序”就是与位置无就是与位置无关关3.3.一个组合一个组合即只要元素相同就是相同的组合即只要元素相同就是相同的组合或只有元素不同才是不同的组合或只有元素不同才是不同的组合定定义义四四从从 个个不同元素中取出不同元素中取出 个个元素的元素的所有组合所有组合的的个数个数，叫做从个，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，不同元素中取出个元素的组合数，用符号用符号 表示表示(Combination)(Combination)2021/8/8 星期日3注意：注意：(1)(1)注意该注意该定义与组合定义的联系与区别；定义与组合定义的联系与区别；(
4、2)(2)注意注意组合数与排列数的联系与区别；组合数与排列数的联系与区别；组合数公式推导组合数公式推导求从个不同元素中取出个元素的排列数求从个不同元素中取出个元素的排列数我们可以将这件事分为两步骤来解决我们可以将这件事分为两步骤来解决(1)(1)先先从个不同元素中取出个元素，从个不同元素中取出个元素，根据组合数定义，共有根据组合数定义，共有 种方法种方法(个组合个组合)；(2)(2)求每一个组合中个元素的全排列数求每一个组合中个元素的全排列数根据分步计数原理有根据分步计数原理有2021/8/8 星期日4例例1.1.下列问题是排列问题还是组合问题？下列问题是排列问题还是组合问题？(1)(1)从从
5、1,3,5,91,3,5,9中任取两数相除，可以得到中任取两数相除，可以得到多少个不同的商？多少个不同的商？(3)10(3)10人互相通信人互相通信一封，共通多少次信？一封，共通多少次信？(4)10(4)10人互相握手人互相握手一次，共握多少次手？一次，共握多少次手？(2)(2)从从1,3,5,91,3,5,9中任取两数相加，可以得到中任取两数相加，可以得到多少个不同的和？多少个不同的和？答案答案(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)2021/8/8 星期日5例例2.2.计算：计算：(1)(1)(2)(2)(3)(3)(4)(4)例例3.3.求证：求证：例例4.4.解方程：解方程：总
6、结：总结：组合定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组合定义简单地说，一是取出元素，二是并成一组，要注意它与排列的联系与区别，要熟记并运组，要注意它与排列的联系与区别，要熟记并运用公式，尤其是公式的逆用用公式，尤其是公式的逆用作业：作业：教材习题教材习题10.310.3之之1(1)(3),3,4,5,71(1)(3),3,4,5,72021/8/8 星期日6课时课时例例5 5例例6 6平面内平面内有无三点共线的有无三点共线的1010个点，以其中每个点，以其中每两点为端点的线段共有多少条？以其中每两点为端点的线段共有多少条？以其中每两点为端点的有向线段有多少条？两点为端点的有向线段有多少条？提醒
7、提醒 必须先考虑好有无顺序，再动手解题必须先考虑好有无顺序，再动手解题一口袋内装有大小一口袋内装有大小相同的相同的7 7个白球和个白球和1 1个黑球个黑球(1)(1)从口袋内取出从口袋内取出3 3个球个球,共有多少种不同取法？共有多少种不同取法？(2)(2)从口袋内取出从口袋内取出3 3个球个球,使其中含有使其中含有1 1个黑球，个黑球，共有多少种不同取法？共有多少种不同取法？(3)(3)从口袋内取出从口袋内取出3 3个球个球,使其不含黑球，共有使其不含黑球，共有多少种不同取法？多少种不同取法？2021/8/8 星期日7例例7 7在在100100件产品中有件产品中有9898件合格品件合格品,2
8、,2件次品现件次品现从中任意抽取从中任意抽取3 3件，求：件，求：(1)(1)共有多少共有多少种不同的抽法？种不同的抽法？(2)(2)抽出的抽出的3 3件中恰好有件中恰好有1 1件是次品的抽法？件是次品的抽法？(3)(3)抽出的抽出的3 3件中至少有件中至少有1 1件是次品的抽法？件是次品的抽法？(4)(4)抽出的抽出的3 3件中至多有件中至多有1 1件是次品的抽法？件是次品的抽法？或或例例8 8某乒乓某乒乓球队有球队有9 9名队员，其中名队员，其中2 2名种子选手，名种子选手，现要选现要选5 5名队员参加比赛，种子选手有且只名队员参加比赛，种子选手有且只有有1 1人在内，共有多少种不同的选法
9、？人在内，共有多少种不同的选法？2021/8/8 星期日8练习：练习：提醒：提醒：判断是排列还是组合：判断是排列还是组合：思考好可用公式及方法；思考好可用公式及方法；明确解题思路及步骤明确解题思路及步骤有序有序还是还是无序无序(1)(1)“一人巧做众人食，五味调和百味香一人巧做众人食，五味调和百味香”计算：由酸，甜，苦，辣，咸五味，一计算：由酸，甜，苦，辣，咸五味，一共可以调制出多少种不同的味道？共可以调制出多少种不同的味道？(2)(2)甲、乙、丙、丁四个公司承包七项工甲、乙、丙、丁四个公司承包七项工程，其中甲、乙公司分别承包三项、两项程，其中甲、乙公司分别承包三项、两项,丙、丁公司各承包一项
10、，共有多少种不同丙、丁公司各承包一项，共有多少种不同的承包方案？的承包方案？2021/8/8 星期日9作业：作业：数学之友数学之友T10.5T10.5B B组第四组第四题不做题不做2021/8/8 星期日10引例引例计算：计算：(1)(1)(2)(2)有没有简便方法进行计算？有没有简便方法进行计算？从从四个元素每次取出三个的组合为四个元素每次取出三个的组合为取出取出剩下剩下发现规律？发现规律？性质性质1 1与每次取出一个的组合数一样与每次取出一个的组合数一样为使为使也成立，也成立，规定规定问问题题一一问问题题二二从个元素中，每次取出个元素，从个元素中，每次取出个元素，有多少是不含有元素的？有多
11、少是不含有元素的？在这些组合里，有多少是含有元素的？在这些组合里，有多少是含有元素的？课时课时完成引例完成引例(1)(1)2021/8/8 星期日11总数总数不不含含a a1 1数数含含a a1 1数数性质性质2 2计算计算解方程解方程例例1111计算计算注意：注意：例例9 9例例1010例例1212完成引例完成引例(2)(2)注意：注意：讨论讨论2021/8/8 星期日12练习：练习：作业：作业：数学之友数学之友T10.6 T10.7T10.6 T10.7立体几何题立体几何题不做不做在在1,2,3,991,2,3,99这这9999个自然数中，每次取个自然数中，每次取出不同的两个数相乘，使它们
12、的积是出不同的两个数相乘，使它们的积是7 7的的倍数，问这样的取法共有多少种？倍数，问这样的取法共有多少种？分析：分析：在中，能被在中，能被7 7整除的数有整除的数有个，个，余下的余下的8585个均不能被个均不能被7 7整除，整除，所以共有所以共有所以可分为两步完成：所以可分为两步完成：一一是从是从1414个中任取两个个中任取两个二是二是从从1414个中任取个中任取1 1个，从个，从8585个中任取一个个中任取一个2021/8/8 星期日13例例1313学校准备把学校准备把1212个三好学生的名额分给高二个三好学生的名额分给高二1010个班个班,每班至少每班至少1 1个名额有多少种不同个名额有
13、多少种不同的分配方案？的分配方案？分析分析因为每班至少一个名额因为每班至少一个名额所以只需要考虑多的两个名额的分配方案即可所以只需要考虑多的两个名额的分配方案即可若两个班分到两个名额，有种方案若两个班分到两个名额，有种方案若一个班分到三个名额，有种方案若一个班分到三个名额，有种方案所以，总方案有种所以，总方案有种例例1414设有五张分别属于五人的座位，现五人任设有五张分别属于五人的座位，现五人任意坐座位，则，恰有两人坐到自己座位的意坐座位，则，恰有两人坐到自己座位的所有坐法有多少种？所有坐法有多少种？2021/8/8 星期日14分析分析恰有两人坐自己的座位的两人的选出恰有两人坐自己的座位的两人
14、的选出等价于等价于从五人当中选出两人的组合从五人当中选出两人的组合所以有所以有种不同的方法种不同的方法此问题可以分三个步骤完成此问题可以分三个步骤完成第一第一第二第二 其他每个人都不能坐自己的座位其他每个人都不能坐自己的座位即，只能从其他两人的座位中选出一个坐即，只能从其他两人的座位中选出一个坐所以有对第一个人有所以有对第一个人有种不同的方法种不同的方法此时，剩下的两人均只有唯一的坐法此时，剩下的两人均只有唯一的坐法第三第三所以有所以有种不同的方法种不同的方法所以共有所以共有种不同的方法种不同的方法2021/8/8 星期日15例例1414从从1,3,5,7,91,3,5,7,9中任取两个数字，
15、从中任取两个数字，从2,4,6,82,4,6,8中任取两个数字则中任取两个数字则(1)(1)能组成多少个没有能组成多少个没有重复数字的四位数？重复数字的四位数？(2)(2)能组成多少个没有能组成多少个没有重复数字的四位偶数？重复数字的四位偶数？分析分析(1)(1)观察题目，不仅要从两组中分别取出数观察题目，不仅要从两组中分别取出数而且还要组成四位数而且还要组成四位数 可不可以先不考虑顺序？可不可以先不考虑顺序？答案是肯定的答案是肯定的 即先取出，然后再考虑顺序即先取出，然后再考虑顺序或或插空法插空法(2)(2)观察题目，与第一问不同的是偶数这一个限观察题目，与第一问不同的是偶数这一个限制条件即
16、未尾只能是偶数制条件即未尾只能是偶数同同(1)(1)的方法可以解决问题的方法可以解决问题2021/8/8 星期日16即先取数后再考虑顺序，为即先取数后再考虑顺序，为用插空法去思考，用插空法去思考，就应该先考虑取出偶数即就应该先考虑取出偶数即变式变式1 1若若5 5个全取，个全取，4 4个全取，可组成多少个无重个全取，可组成多少个无重复数字的复数字的9 9位数？位数？思考思考与与9 9个数全部取出排列有没有区别？个数全部取出排列有没有区别？没有没有变式变式2 2若将备选的四个偶数改为若将备选的四个偶数改为0,2,4,6,0,2,4,6,则问题则问题(1)(1)怎么解决？怎么解决？不含不含0 0含
17、含0 02021/8/8 星期日17问题问题(2)(2)呢？呢？不含不含0 0含含0 02021/8/8 星期日18练习：练习：.有有5 5双双不同型号的鞋子，不同型号的鞋子，从中任取从中任取4 4只，共有只，共有多少种不同的取法？所取的多少种不同的取法？所取的4 4只中没有只中没有2 2只是同只是同号的取法有多少种？所取的号的取法有多少种？所取的4 4只中有一双是同号只中有一双是同号的取法有多少种？的取法有多少种？.有有1111个工人，其中个工人，其中5 5人只会做钳工活人只会做钳工活,4,4人只人只会做车工活，还有会做车工活，还有2 2人两种活都会做人两种活都会做.现在从这现在从这1111
18、人中选出人中选出4 4人当钳工，人当钳工，4 4人当车工，一共有多人当车工，一共有多少种不同的选法？少种不同的选法？.平面内有平面内有1010个点，其中有三点共线，个点，其中有三点共线，其余无三点共线，以其中任意两点为端点，一其余无三点共线，以其中任意两点为端点，一共可以构成多少条不同的线段？共可以构成多少条不同的线段？课时课时42021/8/8 星期日19分析：分析：(1(1)(3(3)均不在均不在一人在为钳一人在为钳一人在为车一人在为车一一人人在在二二人人在在2 2人为钳人为钳2 2人为车人为车1 1人钳人钳1人车人车(2(2)2021/8/8 星期日202021/8/8 星期日212021/8/8 星期日22