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1、1.4 全称量词与存在量词全称量词与存在量词1.4.1 全称量词全称量词1.4.2 存在量词存在量词2021/8/9 星期一11.4.1 全称量词全称量词 2021/8/9 星期一2P21 思考：下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)x3；(2)2x+1是整数；是整数；(3)对所有的对所有的xR，x3；(4)对任意一个对任意一个x Z，2x+1是整数。是整数。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题；语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。全称量词、全
2、称命题定义：全称量词、全称命题定义：短语短语“所有的所有的”“”“任意一个任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号用符号“”“”表示。表示。含有全称量词的命题，叫做全称命题。含有全称量词的命题，叫做全称命题。常见的全称量词还有常见的全称量词还有“一切一切”“每一个每一个”“任给任给”“所有的所有的”等等。2021/8/9 星期一3全称命题举例：全称命题举例：全称命题符号记法：全称命题符号记法：命题：对任意的nZ，2n+1是奇数；所有的正方形都是矩形。通常，将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量表示，变量x的取值范围用
3、的取值范围用M表示，那么，表示，那么，全称命题全称命题“对对M中任意一个中任意一个x，有，有p(x)成立成立”可用符号简记为：可用符号简记为：读作读作“对任意对任意x属于属于M，有，有p(x)成立成立”。2021/8/9 星期一4解：解：（1）假命题；）假命题；（2）真命题；）真命题；（3）假命题。）假命题。例例1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）所有的素数都是奇数；所有的素数都是奇数；（2）（3）对每一个无理数）对每一个无理数x，x2也是无理数。也是无理数。小小 结：结：需要对集合需要对集合M中每个元素中每个元素x，证明，证明p(x)成立成立只需在集合只需在集合M中找到
4、一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0)不成立即可不成立即可 （举反例）（举反例）2021/8/9 星期一5P23 P23 练习：练习：1 判断下列全称命题的真假：判断下列全称命题的真假：（1）每个指数函数都是单调函数；）每个指数函数都是单调函数；（2）任何实数都有算术平方根）任何实数都有算术平方根；（3）2021/8/9 星期一61.4.2 存在量词存在量词2021/8/9 星期一7P22 思考：下列语句是命题吗？下列语句是命题吗？(1)与与(3)，(2)与与(4)之间有什么关系？之间有什么关系？(1)2x+1=3；(2)x能被能被2和和3整除；整除；(3)存在一个存在一个x0R，使
5、，使2x+1=3；(4)至少有一个至少有一个x0Z，x能被能被2和和3整除。整除。语句语句(1)(2)(1)(2)不能判断真假，不是命题；不能判断真假，不是命题；语句语句(3)(4)(3)(4)可以判断真假，是命题。可以判断真假，是命题。存在量词、特称命题定义：存在量词、特称命题定义：短语短语“存在一个存在一个”“”“至少有一个至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量在逻辑中通常叫做存在量词，词，并用符号并用符号“”“”表示。表示。含有存在量词的命题，叫做特称命题。含有存在量词的命题，叫做特称命题。常见的存在量词还有常见的存在量词还有“有些有些”“有一个有一个”“对某个对某个”“有的有的”等等。20
6、21/8/9 星期一8特称命题举例：特称命题举例：特称命题符号记法：特称命题符号记法：命题：有的平行四边形是菱形；命题：有的平行四边形是菱形；有一个素数不是奇数。有一个素数不是奇数。通常，将含有变量通常，将含有变量x的语句用的语句用p(x),q(x),r(x),表示，变量表示，变量x的取值范围用的取值范围用M表示，那么，表示，那么，特称命题特称命题“存在存在M中的一个中的一个x0，使，使p(x0)成立成立”可用符号简记为：可用符号简记为：读作读作“存在一个存在一个x0属于属于M，使，使p(x0)成立成立”。2021/8/9 星期一9解：解：（1）假命题；）假命题；（2）假命题；）假命题；（3）
7、真命题。）真命题。例例2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假：（1）有一个实数）有一个实数x0，使，使x02+2x0+3=0；（2）存在两个相交平面垂直于同一条直线；）存在两个相交平面垂直于同一条直线；（3）有些整数只有两个正因数。）有些整数只有两个正因数。小小 结：结：需要证明集合需要证明集合M中，使中，使p(x)成立的元素成立的元素x不存在。不存在。只需在集合只需在集合M中找到一个元素中找到一个元素x0，使得，使得p(x0)成立即可成立即可 （举例证明）（举例证明）2021/8/9 星期一10P22 P22 练练 习：习：2 判断下列特称命题的真假：判断下列特称命题的真假：（1
8、）（2）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；）至少有一个整数，它既不是合数，也不是素数；（3）2021/8/9 星期一11问题与思考1、是不是全称命题都含全称量词？、是不是全称命题都含全称量词？（当然不是）（当然不是）2、是不是特称命题都含存在量词？、是不是特称命题都含存在量词？（一般情况下，特称命题都较明显地含（一般情况下，特称命题都较明显地含有存有存 在量词。）在量词。）2021/8/9 星期一12练习1、课本、课本P26A组第组第1题。题。2、课本、课本P26A组第组第2题。题。2021/8/9 星期一13练习 （2）存在这样的实数它的平方等于它本身。）存在这样的实数它的平方等于它
9、本身。（3）任一个实数乘以）任一个实数乘以-1都等于它的相反数；都等于它的相反数；（4）存在实数）存在实数x，x3x2；3、用用符符号号“”与与“”表表达达下下列列命命题题：（1）实实数数都都能能写写成成小小数数形形式式；2021/8/9 星期一14小结：2 2、全称命题的符号记法。、全称命题的符号记法。1、全称量词、全称命题的定义。、全称量词、全称命题的定义。3、判断全称命题真假性的方法。、判断全称命题真假性的方法。4、存在量词、特称命题的定义。、存在量词、特称命题的定义。5、特称命题的符号记法。、特称命题的符号记法。6、判断特称命题真假性的方法。、判断特称命题真假性的方法。2021/8/9
10、 星期一15同一全称命题、特称命题，由于自然语言的不同，可能有不同的表述方法：命题命题 全称命题全称命题特称命题特称命题所有的所有的xM，p(x)成立成立对一切对一切xM，p(x)成立成立对每一个对每一个xM，p(x)成成 立立任选一个任选一个xM，p(x)成成 立立凡凡xM，都有，都有p(x)成立成立存在存在x0M，使，使p(x)成成立立至少有一个至少有一个x0M，使使 p(x)成立成立对有些对有些x0M，使，使p(x)成成 立立对某个对某个x0M，使，使p(x)成成 立立有一个有一个x0M，使，使p(x)成成 立立表表述述方方法法2021/8/9 星期一16作业1、P28第第5题。题。2、设、设a、b、c均为非零实数，求证：方均为非零实数，求证：方程程 ax2+2bx+c=0，bx2+2cx+a=0，cx2+2ax+b=0中至少有一个有实数根。中至少有一个有实数根。2021/8/9 星期一17