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1、应用空间向量解立体几何之应用空间向量解立体几何之用平面法向量求空间距离用平面法向量求空间距离2021/8/9 星期一1BAaMNnab一、求异面直线的距离一、求异面直线的距离方法指导方法指导:作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此异面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为方法指导方法指导:作直线作直线a、b的的方向向量方向向量a、b，求，求a、b的法的法向量向量n，即此异
2、面直线，即此异面直线a、b的公垂线的方向向量；的公垂线的方向向量；在直线在直线a、b上各取一点上各取一点A、B，作向量，作向量AB；求向量求向量AB在在n上的射影上的射影d，则异面直线，则异面直线a、b间的距间的距离为离为2021/8/9 星期一2例例2：已知正方体：已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为的棱长为1，求异面直线求异面直线DA1与与AC的距离。的距离。ABDCA1B1C1D1xyz2021/8/9 星期一3练习练习:如图如图,ASCDBxyz2021/8/9 星期一4例例3、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCD，CG=2,=2,E、F分别是
3、分别是AB、AD的的中点，求点中点，求点B B到平面到平面GEF的距离。的距离。DABCGFE2021/8/9 星期一5如图点如图点P为平面外一点，点为平面外一点，点A为平面内的任为平面内的任一点，平面的法向量为一点，平面的法向量为n,过点过点P作平面作平面 的垂的垂线线PO，记，记PA和平面和平面 所成的角为所成的角为，则点，则点P到平面的距离到平面的距离n APO 二、求点到平面的距离二、求点到平面的距离2021/8/9 星期一6例例3、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求点
4、的中点，求点B B到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz2021/8/9 星期一7练习练习:SBCDAxyz2021/8/9 星期一8例例4、已知正方形、已知正方形ABCD的边长为的边长为4，CG平面平面ABCDABCD，CG=2,ECG=2,E、F F分别是分别是ABAB、ADAD的中点，求直线的中点，求直线BDBD到平面到平面GEFGEF的距离。的距离。DABCGFExyz三、求直线与平面间距离三、求直线与平面间距离2021/8/9 星期一9例例5、在边长为、在边长为1的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，M、N、E、F分别是棱分别是棱A1B1、A1D1、
5、B1C1、C1D1的中点，求平的中点，求平面面AMN与平面与平面EFDB的距离。的距离。ABCDA1B1C1D1MNEFxyz四、求平行平面与平面间距离四、求平行平面与平面间距离2021/8/9 星期一10小结：小结：1 1、怎样利用向量求距离？、怎样利用向量求距离？点到平面的距离：点到平面的距离：连结该点与平面上任意一点的向量连结该点与平面上任意一点的向量在平面定向法向量上的射影（在平面定向法向量上的射影（如果不知道判断方向，如果不知道判断方向，可取其射影的绝对值可取其射影的绝对值）。）。点到直线的距离：点到直线的距离：求出垂线段的向量的模。求出垂线段的向量的模。直线到平面的距离：直线到平面的距离：可以转化为点到平面的距离。可以转化为点到平面的距离。平行平面间的距离：平行平面间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。平面的距离。异面直线间的距离：异面直线间的距离：转化为直线到平面的距离、点到转化为直线到平面的距离、点到平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或平面的距离。也可运用闭合曲线求公垂线向量的模或共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。共线向量定理和公垂线段定义求出公垂线段向量的模。2021/8/9 星期一11结论1anPAOMN2021/8/9 星期一12结论2BAaMNnab2021/8/9 星期一13