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1、第2章 解线性方程组的直接法2.3 舍入误差对解的影响1 范数“范数”是对向量和矩阵的一种度量,实际上是二维和三维向量长度概念的一种推广数域:数的集合,对加法和乘法封闭线性空间:可简化为向量的集合,对向量的加法和数量乘法封闭,二维向量和三维向量都可以度量其大小和长度高维向量的长度能否定义呢?也称为向量空间定义1.一、向量和矩阵的范数-(1)-(2)-(3)显然并且由于-(4)例1.求下列向量的各种常用范数解:定义定义2:2:设设x xk k是是 R Rn n上的向量序列，上的向量序列，令令 x xk k=(x=(xk1k1,x,xk2k2,，x xknkn),k=1,2 k=1,2，.,又设又
2、设x x*（x x1 1*，x x2 2*，x xn n*)是是 R Rn n上的向量上的向量.如果如果limlim x xkiki=x=xi i对所有的对所有的i=1,2,i=1,2,，n n成立，成立，那么那么,称向量称向量x x*是向量序列是向量序列x xk k的极限的极限 ，若一个向量序列有极限若一个向量序列有极限,称这个向量序列是称这个向量序列是收敛的收敛的.定义2.例2.不难验证其满足定义2的4个条件称为Frobenius范数,简称F-范数而且可以验证tr为矩阵的迹-(5)-(6)类似向量的 2-范数例5:设设A A(a(aijij)M)M.定义定义证明证明：这样定义的非负实数不是
3、相容的矩阵范数这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.证明：设从而定义3.-(7)简称为从属范数或算子范数显然，由定义不难推出定义4.由(8)式,可知算子范数和其对应的向量范数是相容的-(8)-(9)根据向量的常用范数可以得到常用的矩阵算子范数-(10)-(11)-(12)例4.求矩阵A的各种常用范数解:由于特征方程为容易计算计算较复杂对矩阵元素的变化比较敏感不是从属范数较少使用使用最广泛性质较好定义5.而因此-(13)显然即所以定理2.-(14)定理1.定义6.即有-(15)2 舍入误差对解的影响-(16)-(17)-(18)所以又因为可得(16)和(17)两式相乘,得相对误差(18)式表明,由常数项产生的误差,最多可将解的相对误差放大 倍在上式能直接使用范数吗？-(19)如果假设则由定理1.,可知且(19)式化为-(20)-(21)-(22)定义7.-(23)显然即任意方阵的条件数必不小于1根据算子范数的不同也有不同的条件数:-(18)-(22)根据定义7的定义,(18)式和(22)式可表示为-(24)