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1、 我们知道，在直角坐标系中，平分第一、我们知道，在直角坐标系中，平分第一、三象限的直线的方程是三象限的直线的方程是x-y=0，这就是说，如，这就是说，如果点果点 M（x0，y0）是这条直线上的任一点，它）是这条直线上的任一点，它到坐标轴的距离相等，到坐标轴的距离相等，即即 x0=y0，那么，那么，点点 M（x0，y0）是方程是方程 x-y=0的解的解.M(x0，y0)反过来，如果（反过来，如果（x0，y0）是方程）是方程x-y=0的解，即的解，即x0=y0，那么以这个解为坐标那么以这个解为坐标的点到坐标轴的距离相等的点到坐标轴的距离相等.M(x0，y0)一般的，在直角坐标系中，如果一般的，在直
2、角坐标系中，如果某曲线某曲线 C（看作点的集合或适合某种条看作点的集合或适合某种条件的点的轨迹）上的点与一个一元二次件的点的轨迹）上的点与一个一元二次方程方程 :f（x，y）=0的实数解建立如下的实数解建立如下的关系：的关系：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解;（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点上的点.那么，这个方程叫做那么，这个方程叫做曲线方程曲线方程；这条这条 曲线叫做曲线叫做方程的曲线方程的曲线.证明证明：与两条坐标轴的与两条坐标轴的距离的积是常数距离的积是常数k（k0）的点的轨迹方）的点的轨迹方程是程是xy
3、=k的解的解.MRO Q图图2.1-3例例1：证明证明：（1）如图如图2.1-3，设，设M（x0，y0）是轨迹上的任一点是轨迹上的任一点.因为点因为点M与与x轴的距离为轴的距离为|y0|，与与y轴的距离为轴的距离为|x0|，所以，所以|x0|y0|=k，即（即（x0，y0）是）是方程方程 x y=k的解的解.MRO Q如图如图2.1-3（2）设点设点M1的坐标（的坐标（x1，y1）是方程）是方程xy=k 的的解则解则x1y1=k 即即|x1|y1|=k，|x1|，|y1|正是点正是点M1到纵轴和横轴的距离，因此点到纵轴和横轴的距离，因此点M1到这两条直到这两条直线的距离的积是常数线的距离的积是
4、常数k，点，点M1是曲线上的点是曲线上的点.由（由（1）（）（2）可知）可知x y=k是与两条坐标的是与两条坐标的距离的积为常数距离的积为常数k（k0）的点的轨迹方程）的点的轨迹方程.已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是已知等腰三角形三个顶点的坐标分别是A（0，3），），B（-2，0），），C（2，0）.问问：中线中线AO（O为原点）所在直线的方程是为原点）所在直线的方程是 x=0吗？为什么？吗？为什么？例例2：解解：是，由图可知，等：是，由图可知，等腰三角形腰三角形ABC的边的边BC上上的中线的中线AO所在直线的方所在直线的方程是：程是：x=0ABCOxy 这里的这里的“曲线曲线”指的是三角形
5、指的是三角形ABC中中BC的中线所在的直线的中线所在的直线x=0是是这条曲线的方程这条曲线的方程.在理解什么是在理解什么是“曲线曲线”时，要注时，要注意曲线是满足条件的图形；在理解意曲线是满足条件的图形；在理解“方程方程”时，要注意方程包含对其中未时，要注意方程包含对其中未知数的限制知数的限制.比如本例题中，三角形比如本例题中，三角形ABC中中BC的中线的方程是的中线的方程是x=0（0y3）.注意！注意！课堂小结课堂小结（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点上的点 那么，这个方程叫做那
6、么，这个方程叫做曲线方程曲线方程；“曲线方程曲线方程”的概念的概念：（1）曲线上的点的坐标都是这个方程的解曲线上的点的坐标都是这个方程的解（2）以这个方程的解为坐标的点都是曲线以这个方程的解为坐标的点都是曲线 上的点上的点 那么，那么，这条曲线叫做这条曲线叫做方程的曲线方程的曲线.“方程的曲线方程的曲线”的概念的概念：高考链接高考链接2.（2006北京理）北京理）已知：曲线已知：曲线C上的任意一点上的任意一点P到点到点F（0，1）的距离比它到直线）的距离比它到直线m:y=4的距离的距离小小3.不经过坐标原点的直线与曲线不经过坐标原点的直线与曲线l相相交于两个不同点交于两个不同点A,B，且以，且
7、以AB为直径的为直径的原经过坐标原点原经过坐标原点O（1）求曲线方程）求曲线方程C的方程；的方程；（2）求证：直线）求证：直线l过顶点，并求出过顶点，并求出该顶点的坐标；该顶点的坐标；（3）三角形）三角形ABF的面积是否存在的面积是否存在最小值？若不存在请说明理由；最小值？若不存在请说明理由；（4）设曲线）设曲线C在点在点A、B处发热切处发热切线分别为线分别为l1，l2，证明，证明l1与与l2的焦点的焦点必定在定直线必定在定直线m：y=-4上上.解：解：（1）解法解法1：依题意，：依题意，可知，曲线可知，曲线C是是“平面内到平面内到顶点顶点F（0，1）的距离与到）的距离与到定直线定直线y=-1
8、的距离相等的点的距离相等的点的轨迹的轨迹”，所以它是以，所以它是以F（0，1）为焦点，以直线）为焦点，以直线y=-1为为准线的抛物线准线的抛物线.所以曲线所以曲线C的方程式的方程式x2=4y.（1）解法解法2：设点设点P的坐标为（的坐标为（x，y），依题意指），依题意指点点P必定在直线必定在直线m的上方，的上方，即即y-4于是于是|PF|=|y+4|-3=y+1，所，所以以 整理得整理得x2=4y所以曲线所以曲线C的方程是的方程是x2=4y.它是以它是以F（0，1）为焦点，）为焦点，以直线以直线y=-1为准线的抛物线为准线的抛物线.（2）直线）直线l的斜率显然存在，的斜率显然存在，又直线又直线
9、l不经过坐标原点，故可不经过坐标原点，故可设直线设直线l的方程为的方程为 y=kx+b（b0），并设），并设A（x1，y1），），B（x2，y2）由由 ，消去，消去y，整理，整理得得 x2-4kx-4b=0 x1+x2=4k x1x2=-4b 若以若以AB为直径的圆过坐标为直径的圆过坐标原点原点O则则x1x2+y1y2=0，即即 将将带入带入，得得解的解的b=4或或b=0（舍去）（舍去）所以所以x1x2=-16，直线直线l的方程为的方程为y=kx+4，显然，直线显然，直线l过定点过定点M（0，4）（3）由弦长公式得）由弦长公式得把把带入上式，得带入上式，得设点设点F（0，1）到直线）到直线l：
10、kx-y+4=0的距离为的距离为d，则，则 当当k=0时，时，SAFB有有最小值，是最小值，是12 AFB的面积存在最的面积存在最小值，最小值是小值，最小值是12.（4）曲线）曲线C的方程可化为的方程可化为则则 ，所以所以l1的方程为：的方程为：l2的方程为：的方程为：解解联立方程组，得联立方程组，得所以所以l1与与l2的焦点为的焦点为 M（2k，-4）它恒定在直线它恒定在直线m：y=-4上上.课堂练习课堂练习1.下面各对方程中表示的曲线相同的下面各对方程中表示的曲线相同的一对是（一对是（）.（A）y2=x与与y=x（B）y=x与与 y/x=1（C）y=x与与y2=x2（D）y=lgx2与与y
11、=2lgxC 2.如果命题如果命题“坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)0的点都在曲线的点都在曲线c上上”是不正确的，那是不正确的，那么下列命题正确的是（么下列命题正确的是（）.A.坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)0的点都的点都 不在曲线不在曲线c上上 B.坐标满足方程坐标满足方程f(x,y)0的点有的点有 些在曲线些在曲线c上，有些不在曲线上，有些不在曲线c上上 C.曲线曲线c上的点不都满足方程上的点不都满足方程f(x,y)0 D.一定有不在曲线一定有不在曲线c上的点，其坐标满足上的点，其坐标满足 方程方程f(x,y)0 D填空题：填空题：1.已知已知ABC的面积为的面积为4，A、B两点
12、的两点的坐标分别是（坐标分别是（2，0）、（）、（2，0），），则顶点则顶点C的轨迹方程是的轨迹方程是 _.y=2和和 y=2 2.m=2是直线是直线(2m)xmy+3=0和和直线直线 xmy3=0互相垂直的互相垂直的_ .充分而不必要的条件充分而不必要的条件1.若直线若直线 l1：x+y+a=0，l2：x+ay+1=0，l3：ax+y+1=0能围成三角形能围成三角形,求求a的取值范围的取值范围.解答题解答题解：解：由由l1、l2相交，需要相交，需要1a-110，得到，得到a 1，此时，解方程组，此时，解方程组可解得可解得 .即即l1，l2的交点为（的交点为（-1-a，1），），由由l1、l3
13、相交，需相交，需11-aa0,a1,又又(-1-a,1)不不l3a(-1-a)+1+10,得得a1且且a-2,综上，综上，aR且且a1且且a-2,能保证三交点能保证三交点(-1-a,1),(1,-1-a)、(-1-a,-1+a+a2)互不重合，所互不重合，所以所求以所求a的范围为的范围为a(-,-2)(-2,-1)(-1,1)(1,+).解解：如：如图图，设围设围成四成四边边形形为为OABC，因因OABC有外接有外接圆圆，且，且AOC90，故故ABC90.两条直两条直线线x+3y-7=0,kx y 2=0互互相垂直，相垂直，(-)k=-1，即，即k=3.2.已知直线已知直线x+3y-7=0，k
14、x-y-2=0和和x轴、轴、y轴围成轴围成四边形有外接圆，求四边形有外接圆，求k.教材习题答案教材习题答案1.已知等腰三角形的三个顶点坐标分已知等腰三角形的三个顶点坐标分别是（别是（0，3）（）（-2，0）（）（2，0）.中中线线AO（O为原点）所在直线方程是为原点）所在直线方程是x=0吗？为什么？吗？为什么？解：解：是，容易求出等腰三角形是，容易求出等腰三角形ABC的的变变BC上的中线上的中线AO所在的直线是所在的直线是x=0.2.已知方程已知方程ax2+by2=2的曲线经过的曲线经过A(0,)和点和点B(0,0)求求a，b的值的值.解：解：a=，b=与本节内容相关的课后习题：与本节内容相关的课后习题：A组的第组的第1题：题：点点A(1,-2),B(2,-3),C(3,10)是否在方程是否在方程 x2-xy+2y+1=0表示的曲线上？为什么？表示的曲线上？为什么？解：解：点点A(1,-2),C(3,10)在该曲线上，而在该曲线上，而B(2,-3)不在该曲线上不在该曲线上.