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1、第2课时 简单线性规划的应用 卓尼县柳林中学卓尼县柳林中学 方彦明方彦明简单线性规划问题及在实际问题中的应用简单线性规划问题及在实际问题中的应用一一.用量最省问题用量最省问题例例1 1 营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.075kg0.075kg的碳水化合物的碳水化合物,0.06kg,0.06kg的蛋白质的蛋白质,0.06kg,0.06kg的脂肪的脂肪.1kg.1kg食物食物A A含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.07kg,0.07kg蛋白质蛋白质,0.14kg,0.14kg脂肪脂肪,花费花费2828元元;而而
2、1kg1kg食物食物B B含有含有0.105kg0.105kg碳水化合物碳水化合物,0.14kg,0.14kg蛋白蛋白质质,0.07kg,0.07kg脂肪脂肪,花费花费2121元元.为了满足营养专家指出的日常饮为了满足营养专家指出的日常饮食要求食要求,同时使花费最低同时使花费最低,需要同时食用食物需要同时食用食物A A和食物和食物B B多少多少kg?kg?分析分析:将已知数据列成下表：将已知数据列成下表：0.070.070.140.140.1050.1050.140.140.070.070.1050.105B BA A脂肪脂肪/kg/kg蛋白质蛋白质/kg/kg碳水化合物碳水化合物/kg/kg
3、食物食物/kg/kg解解:设每天食用设每天食用xkgxkg食物食物A,A,ykgykg食物食物B,B,总成本为总成本为z.z.那么那么x,yx,y满足的约束条件是满足的约束条件是:目标函数为目标函数为z=28x+21y.作出二元一次不等式组作出二元一次不等式组所表示的平面区域，即所表示的平面区域，即可行域可行域.二元一次不等式组二元一次不等式组等价于等价于xyOyM由图知由图知,当直线当直线经过可行域上点经过可行域上点M M时时,截距截距最小最小,即即z z最小最小.解方程组解方程组得得M M的坐标为的坐标为所以所以zmin=28x+21y=16.答：每天食用食物答：每天食用食物A A约为约为
4、143g143g，食物，食物B B约约571g571g，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，能够满足日常饮食要求，又使花费最低，最低成本为最低成本为1616元元.例例2 2 要将两种大小不同的钢板截成要将两种大小不同的钢板截成A A、B B、C C三种规格三种规格,每张每张钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示钢板可同时截得三种规格的小钢板的块数如下表所示:A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板2 21 11 12 21 13 3 今需要今需要A A、B B、C C三种规格的成品分别三种规格的成品分别15,18,2715,18,27块，块，用
5、数学关系式和图形表示上述要求问各截这两种钢用数学关系式和图形表示上述要求问各截这两种钢板多少张可得所需板多少张可得所需A A、B B、C C三种规格成品，且使所用钢三种规格成品，且使所用钢板张数最少？板张数最少？规格类型规格类型钢板类型钢板类型分分析：析：列列表表A A规格规格B B规格规格C C规格规格第一种钢板第一种钢板第二种钢板第二种钢板2 21 11 12 21 13 3张数张数成品块数成品块数解：解：设需截第一种钢板设需截第一种钢板x x张，第二种钢板张，第二种钢板y y张，共需截张，共需截这两种钢板共这两种钢板共z z张，则张，则线性目标函数线性目标函数2x+y=15x+3y=27
6、x+2y=18xOy作出一组平行直线作出一组平行直线 z=z=x+yx+y，当直线经过可行域上的点，当直线经过可行域上的点M M时，时，z最小最小.作出可行域如图所示：作出可行域如图所示：由于由于 都不是整数，而此问题中的最优解都不是整数，而此问题中的最优解中，中，必须都是整数，所以点必须都是整数，所以点 不是最优解不是最优解.在可行域内打出网格线，在可行域内打出网格线，解方程组解方程组得得2x+y=15x+3y=27x+2y=18B(3,9)C(4,8)xOy经过整点经过整点B(3,9)B(3,9)和和C(4,8)C(4,8)，直线直线它们是最优解它们是最优解.答：要截得所需三种规格的钢板，
7、且使所截两种钢板答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板张数最小的方法有两种，第一种截法是第一种钢板3 3张，第二种钢板张，第二种钢板9 9张；第二种截法是截第一种钢板张；第二种截法是截第一种钢板4 4张，张，第二种钢板第二种钢板8 8张；这两种截法都至少要两种钢板张；这两种截法都至少要两种钢板1212张张.例例3 3 一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产一个化肥厂生产甲、乙两种混合肥料，生产1 1车皮车皮甲种肥料的主要原料是磷酸盐甲种肥料的主要原料是磷酸盐4t4t、硝酸盐、硝酸盐18t18t；生产；生产1 1车皮车皮乙种肥料的主要原料是磷酸
8、盐乙种肥料的主要原料是磷酸盐1t1t、硝酸盐、硝酸盐15t15t现在库存现在库存磷酸盐磷酸盐10t10t、硝酸盐、硝酸盐66t66t，在此基础上生产这两种混合肥料，在此基础上生产这两种混合肥料，列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域列出满足生产条件的数学关系式，并画出相应的平面区域若生产若生产1 1车皮甲种肥料，产生的利润为车皮甲种肥料，产生的利润为10 00010 000元；生产元；生产1 1车皮乙种肥料，产生的利润为车皮乙种肥料，产生的利润为5 0005 000元元.那么分别生产甲、那么分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利润？乙两种肥料各多少车皮，能够产生最大的利
9、润？二、效益最佳问题二、效益最佳问题解：解：设生产设生产x x车皮甲种肥料、车皮甲种肥料、y y车皮乙种肥料，车皮乙种肥料，能够产生利润为能够产生利润为z z万元，万元，则目标函数为则目标函数为分析：分析：列表列表4 418181 11515甲种肥料甲种肥料乙种肥料乙种肥料磷酸盐磷酸盐t t硝酸盐硝酸盐t t总吨数总吨数车皮数车皮数利润利润10 00010 000元元50005000元元yxO12345246810作出可行域，作出可行域，得到斜率为得到斜率为-2-2，在，在y y轴轴上的截距为上的截距为2z2z，随，随z z变变化的一族平行直线化的一族平行直线答：生产甲、乙两种肥料各答：生产甲、乙两种肥料各2 2车皮，能够产生最大利车皮，能够产生最大利润，最大利润为润，最大利润为3 3万元万元.1.1.设立所求的未知数；设立所求的未知数；2.2.列出约束条件；列出约束条件；3.3.建立目标函数；建立目标函数；4.4.作出可行域；作出可行域；5.5.运用图解法，求出最优解运用图解法，求出最优解;6.6.实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解实际问题需要整数解时，适当调整，确定最优解.一、简单的线性规划解决实际问题一般步骤：一、简单的线性规划解决实际问题一般步骤：