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1、19.1.1变量与函数变量与函数 如如果果在在一一个个变变化化过过程程中中，有有两两个个变变量量x x和和y y，对对于于x x的的每每一一个个值值，y y都都有有唯唯一一的的值值与与之之对对应应，我我们们就就说说x x是是自自变变量量，y y是是因变量因变量，此时也称，此时也称y y是是x x的的函数函数 函数关系的三种表示方法函数关系的三种表示方法:解析法、列表法、图象法解析法、列表法、图象法 在某一变化过程中在某一变化过程中,可以取不同数可以取不同数值的量值的量,叫做叫做变量变量.还有一种量，它的还有一种量，它的取值始终保持不变，称之为取值始终保持不变，称之为常量常量.下面各题中分别有几
2、个变量？你能将其中某个变量看成是下面各题中分别有几个变量？你能将其中某个变量看成是另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请写出它们的关另一个变量的函数吗？为什么？如果能，请写出它们的关系式。系式。（1 1）每一个同学购一本代数书，书的单价为）每一个同学购一本代数书，书的单价为2 2元，则元，则 x x 个同学共个同学共付付 y y 元。元。（2 2）计划购买）计划购买5050元的乒乓球，则所购的总数元的乒乓球，则所购的总数y y（个）与单价（个）与单价x x （元）的关系。元）的关系。（3 3）一个铜球在）一个铜球在0 0 的体积为的体积为1000cm1000cm3 3，加热后温度每增加加热后温
3、度每增加11，体积增加体积增加0.051cm0.051cm3 3，t t 时球的体积为时球的体积为 V V cm cm3 3。解解:y:y是是x x的函数的函数.其关系式为其关系式为:y=2x:y=2x 解解:y:y是是x x的函数的函数,其关系式为其关系式为:解解:v:v是是 t t 的函数的函数,其关系式为其关系式为:v=0.051t+1000:v=0.051t+1000复习练习复习练习填写如图所示的加法表，然后把所有填填写如图所示的加法表，然后把所有填有有1010的格子涂黑，看看你能发现什么的格子涂黑，看看你能发现什么?如果把这些涂黑的格如果把这些涂黑的格子横向的加数用子横向的加数用x
4、x表示，表示，纵向的加数用纵向的加数用y y 表示，表示，试写出试写出y y与与x x 的函数关的函数关系式系式 解解 如图如图,能发现涂黑的格子成一条直线能发现涂黑的格子成一条直线函数关系式：函数关系式：y y1010 x x 试试写写出出等等腰腰三三角角形形中中顶顶角角的的度度数数y y与与底底角角的的度度数数x x之间的函数关系式之间的函数关系式 y yx如如图图，等等腰腰直直角角ABCABC的的直直角角边边长长与与正正方方形形MNPQMNPQ的的边边长长均均为为10 10 cmcm，ACAC与与MNMN在在同同一一直直线线上上，开开始始时时A A点点与与M M点点重重合合，让让ABCA
5、BC向向右右运运动动，最最后后A A点点与与N N点点重重合合试试写写出出重重叠叠部部分分面面积积ycmycm2 2与与MAMA长长度度x cmx cm之间的函数关系式之间的函数关系式 x xx xY Y探索探索1 xy在用解析式表示函数在用解析式表示函数时，自变量的取值往时，自变量的取值往往有一定的范围，这往有一定的范围，这个范围叫做个范围叫做自变量的自变量的取值范围取值范围 1.在在上上面面所所出出现现的的各各个个函函数数中中，自自变变量量的的取取值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。值有限制吗？如果有，写出它的取值范围。(x(x取取1 1到到9 9的的自然数自然数)x xx xY Y这些
6、涂黑的格子横向的这些涂黑的格子横向的加数用加数用x x表示，纵向的表示，纵向的加数用加数用y y 表示，表示，y y 与与x x 的函数关系式是：的函数关系式是：函数关系式：函数关系式：y y1010 x x 2.2.在在上上面面问问题题（1 1）中中，当当涂涂黑黑的的格格子子横横向向的的加加数数为为3 3时时，纵纵向向的的加加数数是是多多少少？当当纵纵向向的加数为的加数为6 6时，横向的加数是多少？时，横向的加数是多少？我们把我们把7 7叫做这个函叫做这个函数当数当x=3x=3时的时的函数值函数值 当当x=3x=3时，时，y=7y=7例例1 1 求下列函数中自变量求下列函数中自变量x x的取
7、值范围：的取值范围：（1 1）y y3 3x x1 1（2 2）y y2 2x x2 27 7（3 3）y y=（4 4）y y （1 1）（4 4）解：解：任意实数任意实数 （2 2）任意实数任意实数 （5 5）x-2x-2x2x2（3 3）任意实数任意实数 2.2.分式：分式：3.3.二次根式：二次根式：1.1.整式：整式：怎样求自变量的取值范围怎样求自变量的取值范围取全体实数取全体实数取使分母不为取使分母不为0 0的值的值取使取使“被开方数被开方数0 0”的值的值4.4.三次根式：三次根式：取全体实数取全体实数求出下列函数中自变量的取值范围求出下列函数中自变量的取值范围（1 1）y=2y
8、=2x x（2）（3）解解:自变量自变量x x的取值范围的取值范围:x:x为任何实数为任何实数解解:由由n-10n-10得得n1n1自变量自变量n n的取值范围的取值范围n1n1解解:由由x+20 x+20得得xx22自变量自变量x x的取值范围的取值范围xx2 2中自变量中自变量x x的取值范围是的取值范围是 。函数函数y=y=函数函数y=y=中自变量中自变量x x的取值范围是的取值范围是 。x10 x10例例2 2、求下列函数的自变量、求下列函数的自变量x x的取值范围。的取值范围。解解（1 1）x x可以取全体实数可以取全体实数（2 2）x+20 x+205-x05-x0-2x5-2x5
9、x1x1且且xx1 1（3 3）1-x01-x0 x+1x+10 01-x01-x0 x+1x+10 0 x1x1且且xx1 1解解X+1X+10 0 x x的取值范围是的取值范围是x x-1-1解解解解 x+1x+10 0 x x的取值范围是的取值范围是x-1x-11-x01-x0X+1X+10 0-1-1x1x1解解2.2.分式：分式：3.3.二次根式：二次根式：1.1.整式：整式：怎样求自变量的取值范围怎样求自变量的取值范围5.5.对于混合式：对于混合式：取使每一个式子有意义的值取使每一个式子有意义的值取全体实数取全体实数取使分母不为取使分母不为0 0的值的值取使取使“被开方数被开方数0
10、 0”的值的值4.4.三次根式：三次根式：取全体实数取全体实数例例3 3、小明用、小明用3030元钱去购买每件价格为元钱去购买每件价格为5 5元的某种商元的某种商品，求他品，求他剩余的钱剩余的钱y y（元）与购买这种（元）与购买这种商品的件数商品的件数x x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围解解:依题意得依题意得 y=30-5xy=30-5x0 0 x6x6对于反映实际问题的函数关系，自变量的取对于反映实际问题的函数关系，自变量的取值应使实际问题有意义值应使实际问题有意义知识拓展知识拓展且且x x是自然数是自然数x x的取值范围是的取值范围是某中学
11、校办工厂现在年产值是某中学校办工厂现在年产值是1515万元，计划万元，计划今后每年再增加今后每年再增加2 2万元，年产值万元，年产值y y（万元（万元)与与年数年数x x的函数关系式是的函数关系式是 其中自变其中自变量取值范围是量取值范围是y=2x+15y=2x+15X1X1且为正整数且为正整数一支铅笔一支铅笔0.50.5元，买元，买x x支铅笔要支铅笔要y y元，则元，则y y与与x x的的函数关系式是函数关系式是 ，其中，其中x x的取值范围的取值范围是是y=0.5xy=0.5xX0X0且为正整数且为正整数 (2)(2)分式：分式：(3)(3)二次根式：二次根式：(1)(1)整式：整式：怎
12、样求自变量的取值范围怎样求自变量的取值范围(5)(5)对于混合式：对于混合式：取使每一个式子有意义的值取使每一个式子有意义的值取全体实数取全体实数取使分母不为取使分母不为0 0的值的值取使取使“被开方数被开方数0 0”的值的值(4)(4)三次根式：三次根式：取全体实数取全体实数1.1.当函数关系用解析式表示时，要使解析式有意义当函数关系用解析式表示时，要使解析式有意义2.2.对于反映实际问题的函数关系，要使实际问题有对于反映实际问题的函数关系，要使实际问题有 意义意义例例4.4.在问题在问题3 3中，当中，当MAMA=1 cm=1 cm时，重叠部分时，重叠部分的面积是多少的面积是多少?解解:设
13、重叠部分面积为设重叠部分面积为y cmy cm2 2，MAMA长为长为x cmx cm，y y与与x x之间的函数之间的函数关系式为关系式为 当当x=1x=1时时,MAMA1cm1cm时，重叠部分的面积是时，重叠部分的面积是 cm cm2 2我们把我们把 做这个函数当做这个函数当x=1x=1时的时的函数值函数值 x xx xy y怎样求函数值？怎样求函数值？把自变量的值代入计算即可把自变量的值代入计算即可例例5 5、已知函数、已知函数 y=y=，求，求（1 1）当）当x=1x=1时，函数时，函数y y的值。的值。（2 2）当）当y=3y=3时，自变量时，自变量x x的值。的值。解：（解：（1
14、1）把）把x=1x=1代入函数式，得代入函数式，得（2 2）把）把y=3y=3代入函数式，得代入函数式，得=练习练习P28P28练习练习1 1，2 2，3,P29 4,63,P29 4,62.2.求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析求函数值的方法：把所给出的自变量的值代入函数解析式中，即可求出相应的函数值式中，即可求出相应的函数值 小结小结 1.1.求函数自变量取值范围的方法：求函数自变量取值范围的方法：(1)(1)当函数关系用解析式来表示时，要使解析式有意义当函数关系用解析式来表示时，要使解析式有意义(2)(2)对于反映实际问题的函数关系，应使实际问题有意义对于反映实际问题的函数
15、关系，应使实际问题有意义再再 见见例例6 6、如图，直线、如图，直线 是过正方形是过正方形ABCDABCD两对角线两对角线ACAC与与BDBD交点交点O O的一条动直线从直线的一条动直线从直线ACAC延顺时针方向绕点延顺时针方向绕点O O向直线向直线BDBD位位置旋转（不与直线置旋转（不与直线ACAC、BDBD重合）交边重合）交边ABAB、CDCD于点于点E E、F F，设，设AEAExcmxcm，直线，直线 在正方形在正方形ABCDABCD中扫过的面积为中扫过的面积为ycmycm2 2，正方形边长为，正方形边长为ACAC2cm2cm。(1)(1)写出写出y y与与x x的函数关系式及自变量的
16、函数关系式及自变量x x的取值范围的取值范围.(2)(2)若若BEBE1.75cm1.75cm，求，求y y的值。的值。ABCDOEFHx x2 2解解(1)(1)y=xy=x(0(0 x x2)2)（2 2）当当BEBE1.75cm1.75cm时时x x2-1.752-1.75 0.250.25y=x=0.25y=x=0.25一辆汽车的油箱中现有汽油一辆汽车的油箱中现有汽油5050升，如果不再加油，升，如果不再加油，那么油箱中的油量那么油箱中的油量y y（升）随行驶里程（升）随行驶里程x x（公里）（公里）的增加而减少，平均耗油量为的增加而减少，平均耗油量为0.10.1升升/公里。公里。（1
17、 1）写出表示）写出表示y y与与x x的函数关系的式子。的函数关系的式子。（2 2）指出自变量）指出自变量x x的取值范围的取值范围（3 3）汽车行驶）汽车行驶200200公里时，油箱中还有多少油？公里时，油箱中还有多少油？解解:函数关系式为函数关系式为:y=50y=500.1x0.1x解：由解：由x0 x0及及50500.1x00.1x0得得自变量的取值范围是自变量的取值范围是:0 x500:0 x500解：当解：当x=200 x=200时时,函数函数y y的值为的值为:y=50:y=500.12000.1200因此因此,当汽车行驶当汽车行驶200200公里时公里时,油箱中还有油油箱中还有
18、油3030升升0 x5000 x500=30=30节约资源是当前最热门的话题节约资源是当前最热门的话题,我市居民每月用电不超过我市居民每月用电不超过100100度时度时,按按0.570.57元元/度计算；超过度计算；超过100100度电时度电时,其中不超过其中不超过100100度部分按度部分按0.570.57元元/度计算度计算,超过部分按超过部分按0.80.8元元/度计算度计算.（1 1）如果小聪家每月用电）如果小聪家每月用电x x（x100 x100）度，请写出电费度，请写出电费y y与用电量与用电量x x的函数关系式的函数关系式（2 2）若小明家）若小明家8 8月份用了月份用了125125
19、度电，则应缴电费少？度电，则应缴电费少？（3 3）若小华家七月份缴电费）若小华家七月份缴电费45.645.6元元,则该月用电多少度则该月用电多少度?解解:电费电费y y与用电量与用电量x x的函数式为的函数式为:y=0.8(x:y=0.8(x100)100)57 57 (x100)(x100)解解:当当x=125x=125时，时，y=0.8(125y=0.8(125100)100)57 57 解解:缴电费小于缴电费小于5757元元=77=77应缴电费应缴电费7777元。元。y=0.57xy=0.57x由由 45.6=0.57x45.6=0.57x得得x=80 x=80因此该月用电因此该月用电8080度度。电费电费y y与用电量与用电量x x的关系式为的关系式为: