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1、第四编第四编 平面向量平面向量4.1 4.1 平面向量的概念及线性运算平面向量的概念及线性运算基础知识基础知识 自主学习自主学习要点梳理要点梳理1.1.向量的有关概念向量的有关概念 （1 1）向量：既有）向量：既有 又有又有 的量称为向量，的量称为向量，向量的大小叫做向量的向量的大小叫做向量的 （或（或 ）.（2 2）零向量：）零向量：的向量称为零向量，其的向量称为零向量，其 方向是方向是 .（3 3）单位向量：长度等于）单位向量：长度等于 的向量的向量.大小大小方向方向长度长度长度为长度为0 0任意的任意的1 1个单位长度个单位长度模模 (4)(4)平行向量：方向平行向量：方向 或或 的的
2、向量向量.平平 行向量又称为行向量又称为 ，任意一组平行向量都，任意一组平行向量都 可以平移到同一条直线上可以平移到同一条直线上.规定：规定：0 0与任一向量与任一向量 .（5 5）相等向量：长度）相等向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.(6)(6)相反向量：长度相反向量：长度 且方向且方向 的向量的向量.相同相同相反相反非零非零共线向量共线向量平行平行相等相等相同相同相反相反相等相等2.2.向量的加法和减法向量的加法和减法 （1 1）加法）加法 法则：服从三角形法则，平行四边形法则法则：服从三角形法则，平行四边形法则.运算性质：运算性质：a a+b b=(交换律）；交换律）；(a a+b
3、 b)+)+c c=（结合律）；（结合律）；a a+0 0=.(2)(2)减法减法 减法与加法互为逆运算；减法与加法互为逆运算；法则：服从三角形法则法则：服从三角形法则.b b+a aa a+(+(b b+c c)0+0+a aa a3.3.实数与向量的积实数与向量的积 （1 1）长度与方向规定如下）长度与方向规定如下|a a|=|=;当当 时，时，a a与与a a方向相同；当方向相同；当 时，时，a a 与与a a方向相反；当方向相反；当=0=0时，时，a a=.(2)(2)运算律：设运算律：设、R R，则，则 (a a)=)=;(;(+)a a=;(a a+b b)=)=.4.4.两个向量
4、共线定理两个向量共线定理 向量向量b b与与a a(a a0)0)共线的充要条件是共线的充要条件是 .|a a|000”,“0 0,b b 5 5.（20092009江苏南京二模）江苏南京二模）设设OB=OB=xOA+yOCxOA+yOC，且，且A A、B B、C C三点共线（该直线不过端点三点共线（该直线不过端点O O）,则则x+yx+y=.解析解析 A A、B B、C C三点共线三点共线,存在一个实数存在一个实数,使使AB=AB=ACAC，即，即OB-OA=OB-OA=（OC-OAOC-OA）.OB=OB=（1 1-）OA+OA+OCOC.又又OB=OB=xOA+yOCxOA+yOC，x+
5、yx+y=（1 1-）+=1 1.1 16 6.（20092009广东茂名一模）广东茂名一模）在在ABCABC中，已知中，已知D D是是 ABAB边上的一点，若边上的一点，若AD=AD=2 2DB,CD=DB,CD=CA+CA+CBCB,则则=.解析解析 由图知由图知CD=CA+AD CD=CA+AD CD=CB+BD CD=CB+BD 且且AD+AD+2 2BD=BD=0 0.+2 2得得3 3CD=CA+CD=CA+2 2CB,CB,CD=CA+CD=CA+CB,CB,=.=.7.7.（20092009浙江改编）浙江改编）设向量设向量a,ba,b满足：满足：|a a|=3 3，|b b|=
6、4 4,a ab b=0 0,以以a a，b b,a a-b b的模为边长构成三角的模为边长构成三角 形，则它的边与半径为形，则它的边与半径为1 1的圆的公共点个数最多的圆的公共点个数最多 为为 .解析解析 由由|a a|=3 3,|b b|=4 4及及a ab b=0 0知知a ab b，故故a a，b b,a a-b b构成直角三角形，且构成直角三角形，且|a a-b b|=|=5 5.又其内切圆半径为又其内切圆半径为 =1 1.如图所示如图所示.将内切圆向上或向下平移可知该圆与该将内切圆向上或向下平移可知该圆与该 直角三角形最多有直角三角形最多有4 4个交点个交点.4 48.8.（200
7、92009北京改编）北京改编）设设D D是正是正P P1 1P P2 2P P3 3及其内部及其内部 的点构成的集合，点的点构成的集合，点P P0 0是是P P1 1P P2 2P P3 3的中心的中心.若集若集 合合S=S=P P|PD,PD,|PPPP0 0|PPPPi i|,i=,i=1,2,31,2,3，则集合，则集合 S S表示的平面区域是表示的平面区域是 .解析解析 如图所示，如图所示，ABAB、CDCD、EFEF分分 别为别为P P0 0P P1 1、P P0 0P P2 2、P P0 0P P3 3的垂直平分的垂直平分 线，且线，且ABAB、CDCD、EFEF分别交分别交P P
8、1 1P P2 2、P P2 2P P3 3、P P3 3P P1 1于点于点A A、C C、D D、E E、F F、B.B.若若|PPPP0 0|=|PPPP1 1|，则点，则点P P在线段在线段ABAB上，若上，若|PPPP0 0|PPPP1 1|,则点则点P P在梯形在梯形ABPABP3 3P P2 2中中.同理，若同理，若|PPPP0 0|PPPP2 2|，则点，则点P P在梯形在梯形CDPCDP3 3P P1 1 中中.答案答案 六边形区域六边形区域若若|PPPP0 0|PPPP3 3|，则点，则点P P在梯形在梯形EFPEFP1 1P P2 2中中.综上可知，综上可知，若若|PPP
9、P0 0|PPPPi i|,i=,i=1,2,31,2,3,则点则点P P在六边形在六边形ABFEDCABFEDC中中.9.9.（20092009山东改编）山东改编）设设P P是是ABCABC所在平面内的所在平面内的 一点，一点，BC+BA=BC+BA=2 2BPBP，则，则PC+PA=PC+PA=.解析解析 因为因为BC+BA=BC+BA=2 2BPBP，所以点，所以点P P为线段为线段ACAC的的 中点，即中点，即PC+PA=PC+PA=0 0.0 0二、解答题二、解答题10.10.（20102010南京调研）南京调研）在在 OABOAB中，延长中，延长BABA到到C C，使，使ACAC
10、=BA =BA，在，在OBOB上取点上取点D D，使，使DB=DB=OB.DC OB.DC与与OAOA交于交于E E，设，设OAOA =a a，OB=OB=b b，用，用a a,b b表示向量表示向量OCOC，DC.DC.解解 因为因为A A是是BCBC的中点，的中点，所以所以OA=OA=（OB+OCOB+OC），），即即OC=OC=2 2OA-OB=OA-OB=2 2a a-b b；DC=OC-OD=OC-OB=DC=OC-OD=OC-OB=2 2a a-b b-b=-b=2 2a a-b b.1111.（20102010江苏苏州调研）江苏苏州调研）已知：任意四边形已知：任意四边形 ABCD
11、ABCD中，中，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点，求证：的中点，求证：EF=EF=（AB+DCAB+DC）.证明证明 方法一方法一 如图，如图，E E、F F分别是分别是ADAD、BCBC的中点，的中点，EA+ED=EA+ED=0 0，FB+FC=FB+FC=0 0，又又AB+BF+FE+EA=AB+BF+FE+EA=0 0，EF=AB+BF+EA EF=AB+BF+EA 同理同理EF=ED+DC+CF EF=ED+DC+CF 由由+得，得，2 2EF=AB+DC+EF=AB+DC+（EA+EDEA+ED）+（BF+CFBF+CF）=AB+DC.=AB+DC.EF=EF=（A
12、B+DCAB+DC）.方法二方法二 连结连结EBEB，ECEC，则则EC=ED+DCEC=ED+DC，EB=EA+ABEB=EA+AB，EF=EF=（EC+EBEC+EB）=（ED+DC+EA+ABED+DC+EA+AB）=（AB+DCAB+DC）.1212.（20092009上海宝山模拟）上海宝山模拟）已知点已知点G G为为ABCABC的的 重心，过点重心，过点G G作直线与作直线与ABAB、ACAC两边分别交于两边分别交于MM、N N两点，且两点，且AM=AM=xABxAB，AN=AN=yACyAC，求，求 的值的值.解解 根据题意根据题意G G为三角形的重心，为三角形的重心，故故AG=A
13、G=（AB+ACAB+AC），），MG=AG-AM=MG=AG-AM=（AB+ACAB+AC）-xABxAB =(-x x)ABAB+AC,+AC,GN=AN-AG=GN=AN-AG=yACyAC-AG-AG =yAC-(AB+AC)=yAC-(AB+AC)=(y-y-)AC-AB,AC-AB,由于由于MGMG与与GNGN共线，根据共线向量基本定理知，共线，根据共线向量基本定理知，存在实数存在实数，使得，使得MG=MG=GNGN，即即 (-x x)ABAB+AC+AC =(y y-)AC-AB AC-AB，即即x+y-x+y-3 3xy=xy=0 0两边同除以两边同除以xyxy整理得整理得 =3 3.返回返回