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1、9.5空空间间角角(A、B)本节目录本节目录教教材材回回顾顾夯夯实实双双基基考考点点探探究究讲讲练练互互动动考考向向瞭瞭望望把把脉脉高高考考知知能能演演练练轻轻松松闯闯关关目录目录教材回顾夯实双基教材回顾夯实双基基基础础梳理梳理1异面直异面直线线所成的角所成的角已知两条异面直已知两条异面直线线a、b，经过经过空空间间任意一点任意一点O，作，作aa，bb，我，我们们把把a与与b所成的角叫做异面直所成的角叫做异面直线线a与与b所成的角所成的角(或或夹夹角角)2斜斜线线和平面所成的角和平面所成的角(1)斜斜线线与与斜斜线线在在平平面面的的_所所成成的的角角叫叫斜斜线线与与平平面面所所成成的角，其范的
2、角，其范围为围为(0，90)射影射影目录目录(2)直直线线与平面所成的角可与平面所成的角可转转化化为为直直线线与直与直线线在平面内的射影在平面内的射影所成的角，也可用公式所成的角，也可用公式cos cos 1cos 2来来计计算或通算或通过过向量向量法求解法求解设设平面平面的法向量的法向量为为n，直，直线线a的方向向量的方向向量为为a，若直，若直线线与平面与平面所成的角所成的角为为，则则sin|cosn，a|.目录目录(3)射影定理：从平面射影定理：从平面外一点向外一点向这这个平面所引的垂个平面所引的垂线线段和斜段和斜线线段中：段中：射影相等的两条斜射影相等的两条斜线线段段_，射影，射影较长较
3、长的斜的斜线线段也段也较长较长；相等的斜相等的斜线线段的射影相等，段的射影相等，较长较长的斜的斜线线段的射影也段的射影也较长较长；垂垂线线段比任何一条斜段比任何一条斜线线段段_(4)最最小小角角定定理理：斜斜线线和和平平面面所所成成的的角角，是是这这条条斜斜线线和和平平面面内内过过斜足的直斜足的直线线所成的一切角中的最小的角，所成的一切角中的最小的角，且且cos _.相等相等都短都短cos 1cos 2目录目录3二面角二面角(1)定定义义：从一条直：从一条直线线出出发发的的_所所组组成的成的图图形叫做形叫做二面角，二面角，这这条直条直线线叫做二面角的棱，叫做二面角的棱，这这两个半平面叫做二面角
4、两个半平面叫做二面角的面的面(2)二面角的平面角二面角的平面角以二面角的棱上任意一点以二面角的棱上任意一点为顶为顶点，在两个面内分点，在两个面内分别别作作_的两条射的两条射线线，这这两条射两条射线线所成的角叫做所成的角叫做_(3)二面角的平面角的作法：二面角的平面角的作法：定定义义法；法；三垂三垂线线定理法；定理法；作棱的垂面法；作棱的垂面法；向量法向量法两个半平面两个半平面垂直于棱垂直于棱二面角的平面角二面角的平面角目录目录思考探究思考探究1异面直异面直线线a，b的方向向量的方向向量a，b的的夹夹角角a，b是异面直是异面直线线所成的角所成的角吗吗？目录目录2二面角的平面角的大小与在二面角的棱
5、上二面角的平面角的大小与在二面角的棱上选选的点的位置的点的位置有关有关吗吗？提示：提示：如如图图，用两个垂直于棱的平面，用两个垂直于棱的平面1，2去截一个二面角去截一个二面角a，由等角定理知，所截得的两个角，由等角定理知，所截得的两个角1和和2相等，相等，这说这说明二明二面角的平面角与二面角的棱上面角的平面角与二面角的棱上选选的点的位置无关的点的位置无关目录目录3用平面的法向量，如何求用平面的法向量，如何求线线面角、二面角的大小？面角、二面角的大小？目录目录目录目录课课前前热热身身1(教材改教材改编编)如如图图，AB与面与面所成的角所成的角ABO45，DCODD，且，且DC，ODC45，则则异
6、面直异面直线线AB与与DC所成的角所成的角为为()A60 B45C30 D90答案：答案：A目录目录答案：答案：A目录目录3下列下列说说法正确的是法正确的是()A若直若直线线l1、l2和平面和平面所成的角相等，所成的角相等，则则l1l2B若直若直线线l1和和l2平行，平行，则则l1、l2和平面和平面所成的角相等所成的角相等C若直若直线线l1和和l2相交，相交，则则l1、l2和平面和平面所成的角必不相等所成的角必不相等D若直若直线线l1、l2和平面和平面所成的角不相等，所成的角不相等，则则l1与与l2也可平行也可平行答案：答案：B目录目录4等腰直角等腰直角ABC中，中，ABBC1，M为为AC中点
7、，沿中点，沿BM把把它折成二面角，折后它折成二面角，折后A与与C的距离的距离为为1，则则二面角二面角CBMA的的大小大小为为_答案：答案：90目录目录答案：答案：45目录目录考点探究讲练互动考点探究讲练互动考点突破考点突破考点突破考点突破目录目录例例1 如如图图，已知正方体，已知正方体ABCDA1B1C1D1中，中，E为为AB的中点的中点求直求直线线B1C与与DE所成角的余弦所成角的余弦值值目录目录目录目录目录目录考点考点2求斜求斜线线与平面所成的角与平面所成的角找斜找斜线线与平面所成的角，与平面所成的角，实质实质就是找斜就是找斜线线在平面内的射影，也在平面内的射影，也就是找斜就是找斜线线上的
8、点在平面上的射影，上的点在平面上的射影，转转化化为为解解Rt或用向量、或用向量、或者用公式或者用公式cos cos 1cos 2.目录目录例例2 四四面面体体ABCS中中，SB、SA、SC两两两两垂垂直直，SBA45，SBC60，M为为AB的中点，求：的中点，求：(1)BC与平面与平面SAB所成的角；所成的角；(2)SC与平面与平面ABC所成角的正弦所成角的正弦值值【思路分析思路分析】由由SA、SB、SC两两垂直，两两垂直，寻寻找面面垂直及找面面垂直及线线面垂直，从而作出所求的角面垂直，从而作出所求的角目录目录【解解】(1)SCSB，SCSA，SASBS，SC平面平面SAB，故，故SB是斜是斜
9、线线BC在平面在平面SAB上的射影，上的射影，SBC是直是直线线BC与平面与平面SAB所成的角，大小所成的角，大小为为60.目录目录目录目录【思思维总结维总结】此此题题采用了作角，求角的方法，采用了作角，求角的方法，转转化到直角三化到直角三角形求解角形求解还还是比是比较较方便的，也可以建立方便的，也可以建立Sxyz的坐的坐标标系求解系求解目录目录跟踪跟踪训练训练1在本例中，在本例中，CB与平面与平面SAC所成的角和所成的角和CA与面与面SCB所成的角所成的角相等相等吗吗？分？分别别是多少是多少目录目录考点考点3求二面角求二面角求二面角的大小，一般先作出求二面角的大小，一般先作出(或找出或找出)
10、其平面角作平面角的其平面角作平面角的方法常用定方法常用定义义法、三垂法、三垂线线法、作棱的垂面法若不找平面角，法、作棱的垂面法若不找平面角，可可联联想垂直于棱的异面直想垂直于棱的异面直线线所成的角或所成的角或结结合向量求解合向量求解目录目录例例3 如如图图，已已知知直直二二面面角角PQ，APQ，B，C，CACB，BAP45，直，直线线CA和平面和平面所成的所成的角角为为30.(1)证证明：明：BCPQ；(2)求二面角求二面角BACP的余弦的余弦值值【思路分析思路分析】利用面利用面面，在面，在内可作内可作的垂的垂线线，以此可作出，以此可作出其平面角其平面角对对于于(B版版)可利用建系法可利用建系
11、法目录目录目录目录目录目录目录目录目录目录【思思维总结维总结】二面角是三种角中最复二面角是三种角中最复杂杂的一种，求解二面角的一种，求解二面角的方法很多，其关的方法很多，其关键键是求其平面角用向量求是求其平面角用向量求该该角角时时，要注意，要注意两个平面的法向量的方向两个平面的法向量的方向目录目录跟踪跟踪训练训练2如果例如果例3条件不条件不变变，求二面角，求二面角CABP的余弦的余弦值值目录目录考点考点4“无棱无棱”的二面角的求法的二面角的求法对对于于没没有有画画出出“棱棱”的的二二面面角角，求求角角时时，应应先先画画出出其其棱棱，再再找找出平面角出平面角进进行行转转化，或者用平面的法向量化，
12、或者用平面的法向量目录目录例例4【思路分析思路分析】对对于面于面SCD与面与面SBA“无棱无棱”，应应根据公理根据公理2过过S点可作两平面的交点可作两平面的交线线目录目录目录目录目录目录【思思维总结维总结】对对于于“无棱无棱”的二面角，必的二面角，必须须先找出棱才能找先找出棱才能找出平面角，否出平面角，否则则就利用法向量所就利用法向量所夹夹的角求二面角，省去作平面的角求二面角，省去作平面角的角的过过程，或者利用射影面程，或者利用射影面积计积计算算目录目录方法技巧方法技巧1“线线线线角抓平移，角抓平移，线线面角定射影面角定射影”，求直，求直线线和平面所成的角，和平面所成的角，关关键键是确定直是确
13、定直线线在平面内的射影若不好确定斜在平面内的射影若不好确定斜线线在平面内的在平面内的射影，也可先找到斜射影，也可先找到斜线线上的一点到平面的距离，然后利用上的一点到平面的距离，然后利用这这个个距离与斜距离与斜线线段段长长之比求出之比求出线线面角的正弦面角的正弦值值，从而求出，从而求出线线面角面角还还可利用可利用“斜斜线线与平面所成角与平面所成角”与与“斜斜线线和平面的垂和平面的垂线线所成角所成角”互互余，将余，将线线面角面角转转化化为线线为线线角来求角来求2确定二面角的平面角的常用方法确定二面角的平面角的常用方法(1)定定义义法：在棱上任取一点，法：在棱上任取一点，过这过这点在两个半平面内分点
14、在两个半平面内分别别引引棱的垂棱的垂线线，这这两条射两条射线线所成的角，就是二面角的平面角所成的角，就是二面角的平面角方法感悟方法感悟方法感悟方法感悟目录目录目录目录失失误误防范防范目录目录考向瞭望把脉高考考向瞭望把脉高考命命题预测题预测从近两年的高考从近两年的高考试题试题来看，考来看，考查查的内容主要有：的内容主要有：(1)两异面直两异面直线线所成的角；所成的角；(2)直直线线和平面所成的角；和平面所成的角；(3)二面角二面角空空间间角是立体几何中的一个重要概念角是立体几何中的一个重要概念,它是空它是空间图间图形的一个突形的一个突出的量化指出的量化指标标,是空是空间图间图形位置关系的具体体形
15、位置关系的具体体现现,故它以高故它以高频频率率的姿的姿态态出出现现在在历历年高考年高考试题试题中中,有的在填空有的在填空题题或或选择题选择题中出中出现现,更多的在解答更多的在解答题题中出中出现现,结结合平行、垂直关系合平行、垂直关系组组成成综综合合题题,难难度度稍大稍大,既可用普通法求解既可用普通法求解,也可用建系、用向量求解也可用建系、用向量求解目录目录2012年的高考中，年的高考中，对对角的考角的考查查很普遍，大很普遍，大纲纲全国卷、四川卷等全国卷、四川卷等分分别对别对空空间线线间线线角、角、线线面角、面面角面角、面面角进进行考行考查查预测预测2014年高考仍将以年高考仍将以选择题选择题、
16、填空、填空题题和解答和解答题题的形式重点考的形式重点考查对查对几几类类角的求解角的求解,其中解答其中解答题题仍会仍会结结合平行、垂直关系和求合平行、垂直关系和求距离一起形成距离一起形成综综合合题题.求角的求角的过过程中可能会用到余弦定理程中可能会用到余弦定理,故复故复习习的的过过程中要加程中要加强强对对余弦定理的余弦定理的练习练习和运算能力的培养和运算能力的培养.目录目录规规范解答范解答例例目录目录(1)目录目录目录目录目录目录目录目录目录目录目录目录(2)目录目录目录目录【名名师师点点评评】本本题题以三棱柱以三棱柱为载为载体，体，应应用用线线面垂直的性面垂直的性质质，考考查线线查线线角、二面角的求法及求角、二面角的求法及求线线段的段的长长度，体度，体现现了解决空了解决空间间几何体中几何体中“一作一作”“”“二二证证”“”“三三计计算算”于一体的基本思想，于一体的基本思想，难难度度较较大空大空间间想象能力，运算能力和推理想象能力，运算能力和推理论证论证能力，能力，为为本本题题考考查查重点重点目录目录知能演练轻松闯关知能演练轻松闯关目录目录本部分内容讲解结束本部分内容讲解结束按按ESC键键退出全屏播放退出全屏播放