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1、第一章 推理与证明 1.2.2 分析法综合法：综合法：特点：特点：复习复习利用已知条件和已知的定义、定理、公理等，利用已知条件和已知的定义、定理、公理等，经过一系列的推理、论证，经过一系列的推理、论证，最后推导出所要证明的结论成立的证明方法最后推导出所要证明的结论成立的证明方法由因导果由因导果例例1 1、已知：已知：a a，b b是不相等的正数。求是不相等的正数。求证证：。证证明：要明：要证证明明只需只需证证明明 只需只需证证明明 只需只需证证明明 只需只需证证明明 只需只需证证明明 由于命由于命题题的条件的条件“a a，b b是不相等的正数是不相等的正数”，它保，它保证证上式成立。上式成立。
2、这样这样就就证证明了命明了命题题的的结论结论。，从要证明的结论出发，逐步从要证明的结论出发，逐步寻求寻求推证过程中，推证过程中，使每一步结论成立的使每一步结论成立的充分条件充分条件，直至最后，把，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件为止，这种证明的方法叫做为止，这种证明的方法叫做分析法分析法 特点：特点：这个明显成立的条件可以是：这个明显成立的条件可以是：已知条件、定理、定义、公理等已知条件、定理、定义、公理等执果索因执果索因即：即：要证结果要证结果Q Q，只需证条件，只需证条件P P例例2、求证：求证：证明：要证明证明：要证明 只需证明
3、只需证明 即即 只需证明只需证明 即即 5650，这显然成立。，这显然成立。这样就证明了这样就证明了 例例3、求证：函数求证：函数 在区间在区间（3，+）上是增加的。）上是增加的。证明：要证明函数证明：要证明函数 在区间（在区间（3，+）上是增加的，）上是增加的，只需证明只需证明 对于任意对于任意，（3，+），且），且时时，有，有只需只需证证明明 对对任意的任意的 3 3，有，有 3 3-0 0，且，且+6 6，它保，它保证证上式成立。上式成立。在区在区间间（3 3，+）上是增加的。）上是增加的。这样就证明了：函数这样就证明了：函数F FE ES SC CB BA A证明证明:要证要证AFAF
4、SCSC只需证只需证:SC:SC平面平面AEFAEF只需证只需证:AE:AESCSC只需证只需证:AE:AE平面平面SBCSBC只需证只需证:AE:AEBCBC只需证只需证:BC:BC平面平面SABSAB只需证只需证:BC:BCSASA只需证只需证:SA:SA平面平面ABCABC因为因为:SA:SA平面平面ABCABC成立成立所以所以.AF.AFSCSC成立成立例例4、如图如图,SA,SA平面平面ABC,ABBC,ABC,ABBC,过过A A作作SBSB的垂线的垂线,垂足为垂足为E,E,过过E E作作SCSC的垂线的垂线,垂足为垂足为F,F,求证求证 AFSCAFSC用用P P表示已知条件表示
5、已知条件,定义定义,定理定理,公理等公理等,用用Q Q表示要证的结论表示要证的结论,则上述过程可用则上述过程可用框图表示为框图表示为:P P1P1 P2Pn-1 PnQm-1 QmQ Q1Q1 Q2例例5、设设a,b,ca,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边,且且S2=2ab,试证：试证：s 2a解解:欲证欲证s2a,只需证只需证即证即证bs,也即证也即证即证即证ba+c因为因为a,b,c为一个三角形的三边为一个三角形的三边,所以所以ba+c成立成立.故故s2a成立成立.练习求证：练习求证：证明：因为证明：因为 都是正数，都是正数，所以为了证明所以为了证明 只需证明只需证明 展开得展开
6、得即即只需证明只需证明2125，因为，因为2125成立，成立，所以不等式所以不等式 成立。成立。小结小结 1.1.在数学证明中，综合法和分析法是在数学证明中，综合法和分析法是两种最常用的数学方法，若从已知入手两种最常用的数学方法，若从已知入手能找到证明的途径，则用综合法，否则能找到证明的途径，则用综合法，否则用分析法用分析法.2.2.综合法的每步推理都是寻找必要条综合法的每步推理都是寻找必要条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，分析法的每步推理都是寻找充分条件，在解题表述中要注意语言的规范性件，在解题表述中要注意语言的规范性和逻辑性和逻辑性.3.3.综合法和分析法是两种互逆的思维综合法和分析法是两种互逆的思维模式，在证明某些较复杂的问题时，常模式，在证明某些较复杂的问题时，常采用分析综合法，用综合法拓展条件，采用分析综合法，用综合法拓展条件，用分析法转化结论，找出已知与结论的用分析法转化结论，找出已知与结论的连结点连结点.