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1、云南省陆良县2020 届高三上学期第二次适应性考试试题数学（理）一、选择题:（本大题共12 小题.每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 ）1.若集合|02Axx，2|1Bx x，则=AB（）A.|01xxB.|02xx C.|12xx D.|01x xx或2.已知a为实数，若复数12aii为纯虚数，则a（）A.12 B.2 C.12 D.23.22sin 15cos 15sin15 cos15的值等于()A.62 B.54 C.23 D.3144.若31log2a，2log 3b，0.312c，则,a b c的大小关系为（）A cba B bca C
2、.bac D cab5.在半径为2 的圆形纸板中间，有一个边长为2 的正方形孔，现向纸板中随机投飞针，则飞针能从正方形孔中穿过的概率为（）A.4 B.3 C.2 D.16.宋元时期数学名著算学启蒙中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a，b分别为 5，2，则输出的n（）A.5 B.4 C.3 D.9 7.26112xxx的展开式中，含吧2x的项的系数是（）A.55 B.25 C.25 D.408.函数2cosxxfxx的大致图像是（）9.等差数列na的首项为2，公差不等于0，且2317aa a，则数列11nn
3、a a的前 2019 项和（）A.10092020 B.20194042 C.10094042 D.2019202110.已知抛物线28yx的焦点与双曲线22221(0,0)xyabab的一个焦点重合，且抛物线的准线被双曲线截得的线段长为6，那么该双曲线的离心率为（）A2 B 32 C 2 D1211.已知三棱锥DABC的四个顶点均在球O的球面上，ABC和DBC所在平面互相垂直，3AC,3AB,2 3BCCDBD,则球O的体积为（）A43B4 3 C 36 D32312.已知函数3(1),0()(1),0 xxxfxxex，若函数()()g xf xa有3个零点，则实数a的取值范围是（）A.2
4、1(0,)e B21(1,)e C.2(,1)e D(,1)二、填空题：（本大题共4 小题，每小题5 分共 20 分.）13已知,x y满足不等式组2,20,20,xxyxy则22zxy的最小值为 _14曲线2lnyxx在1x处的切线的倾斜角为_15各项均为正数的等比数列na的前n项和为nS，已知310S，630S，则12S_16已知点(8,4)(0,0)ab ab在圆22:4Cxy和圆22:(2)(2)4Mxy的公共弦上，则12ab的最小值为 _三、解答题:（解答应写出文字说明证明过程或演算步骤.）17.（本小题满分12 分）已知3sin,cos,cos,cos,mxxnxxxR，设()f
5、xm n（1）求()f x 的解析式并求出它的周期T；（2）在ABC中，角,A B C所对的边分别为,a b c，且1,2,()1abcf A，求ABC的面积18（本小题满分12 分）如图，AB是半圆O的直径，C是半圆O上除,A B外的一个动点，DC垂直于半圆O所在的平面，DC/EB,1DCEB,4AB.19（1）证明：DE平面ACD；（2）当点C为半圆的中点时，求二面角DAEB的正弦值.19.（本小题满分12 分）随着经济的发展，个人收入的提高，自2019 年 1 月 1 日起，个人所得税起征点和税率作了调整.调整如下：纳税人的工资、薪金所得，以每月全部收入额减除5000 元后的余额为应纳税
6、所得额.依照个人所得税税率表，调整前后的计算方法如下表：个人所得税税率表（调整前）个人所得税税率表（调整后）免征额 3500 元免征额 5000 元级数全月应纳税所得额税率（%）级数全月应纳税所得额税率（%）1 不超过 1500 元部分3 1 不超过 3000 元部分3 2 超过 1500 元至 4500 元的部分10 2 超过 3000 元至 12000 元的部分10 3 超过 4500 元至 9000 元的部分20 3 超过 12000 元至 25000 元的部分20.（1)假如小明某月的工资、薪金等税前收入为7500 元，请你帮小明算一下调整后小明的实际收入比调整前增加了多少？（2）某税
7、务部门在小明所在公司利用分层抽样方法抽取某月100 个不同层次员工的税前收入，并制成下面的频数分布表：收入（元）3000,50005000,70007000,90009000,1100011000,1300013000,15000人数40 30 10 8 7 5 先从收入在3000,5000及5000,7000的人群中按分层抽样抽取7 人，再从中选3 人作为新纳税法知识宣讲员，用随机变量X表示抽到作为宣讲员的收入在3000,5000元的人数，求X的分布列与数学期望.20（本小题满分12 分）已知椭圆222210 xyabab的离心率32，一个长轴顶点在直线2yx上，若直线l与椭圆交于,P Q两
8、点，O为坐标原点，直线OP的斜率为1k，直线 OQ 的斜率为2k.（1）求该椭圆的方程；（2）若1214kk，试问OPQ的面积是否为定值？若是，求出这个定值；若不是，请说明理由.21.（本小题满分12 分）已知函数21()(21)2ln2fxaxaxx.（1）当0a时，求函数()f x 的单调区间；（2）当0a时，证明:()24xf xex（其中e为自然对数的底数）.选做题：考生在第22 题，23 题中任选一题作答，如果多做，则按第一题计分，作答时写清题号，（本题满分 10 分）22.已知过点(,0)P a的直线l的参数方程是3212xtayt（t为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的
9、正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为6cos.（1）求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）若直线l与曲线C交于A,B两点，试问是否存在实数a，使得2 7AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，说明理由.23.已知0a，0b，0c，函数fxxaxbc（1）当1abc时，求不等式5fx的解集；（2）若fx的最小值为3，求abc的值，并求111abc的最小值答案一、选择题（本大题共12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）题号1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案C D B B D B C C B A D
10、A 二、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分共 20 分）13 14 15 16 2 34150 16 三、解答题17.解析：（1）由(3 sin,cos),(cos,cos),mxx nxxxR，则()f xm n231113sincoscossin 2cos2sin(2)22262xxxxxx，即函数的周期22T，故1()sin(2)62f xx，周期为（6分）（2）因为()1fA，所以1sin(2)162A，所以1sin(2)62A，又132(,)666A，所以5266A，所以3A，又1,2abc，由余弦定理2222cosabcbcA得：221bcbc，所以2()31bcbc，所以1b
11、c，即13sin24ABCSbcA.（12 分）18.证明：（1）因为AB是半圆O的直径，所以BCAC因为CD平面ABC，所以CDBC，又CDACC，所以BC平面ACD，DC/EB,DCEB，四边形BCDE为平行四边形BC/DEDE平面ACD（6 分）（2）依题意，2 2ACBC,如图所示，建立空间直角坐标系Cxyz,则(0,0,1)D,(22,0,0)A，(0,22,0)B，(0,2 2,1)E,所以(2 2,2 2,0)AB,(0,0,1)BE(0,2 2,0)DE,(22,0,1)DA设平面DAE的法向量为(,)nx y z则00n DEn DA2 202 20yxz得(1,0,2 2)
12、n设平面ABE的法向量为(,)mx y z则00n BEn AB02 22 20zxy得(1,1,0)m所以12cos,692m nm nm n所以二面角DAEB的正弦值为346.（12 分）19.解析：（1）按调整起征点前应纳税为：1500 0.032500 0.1295；按调整起征点后应纳税为：2500 0.0375；29575220元所以小明实际收入增加了220元.（4 分）（2）由频数分布表可知抽取的7 人3000,5000中占 4 人，5000,7000中占 3 人X的取值可能值0,1,2,333371(0)35CP XC;12433712(1)35C CP XC;21433718(
13、2)35C CP XC;34374(3)35CP XC;所以X的分布列为:11218412()0123353535357E X（12 分）20.解析：（1）由32cea，又由于0ab，一个长轴顶点在直线2yx上，可得：2a，3c，1b.X0123P13512351835435故此椭圆的方程为2214xy.（4 分）（2）设11,P x y，22,Q xy，当直线PQ的斜率存在时，设其方程为ykxm，联立椭圆的方程得：222418440kxkmxm，由2222644 41440k mkm，可得2241mk，则122841kmxxk，21224441mxxk，2221224 41141kmPQxx
14、kk，又点O到直线 ykxm 的距离21mdk，2221412241OPQkmSdPQmk，由于2121212121214y yxxmkkx xx x，可得：22421km，故222211212OPQmmSmm，当直线PQ的斜率不存在时，可算得：1OPQS，故OPQ的面积为定值1.（12 分）21.解析：（1）由题意，函数fx的定义域为0,22(21)2(2)(1)(21)axaxxaxfxaxaxxx当12a时，0fx恒成立，故fx的递增区间为0,；当102a时，在区间0,2，1,a时0fx，12,a时0fx，所以fx的递增区间为0,2，1,a，递减区间为12,a；当12a时，在区间10,a
15、，2,时0fx，1,2a时0fx，所以fx的递增区间为10,a，2,，递减区间为1,2a；（5 分）（2）当0a时，由24xfxex,只需证明2xelnx.令2xg xelnx0 x，1xgxex.设00gx，则001(01)xoexx.当00,xx时，0gx，g x单调递减;当0,xx时，0gx，g x单调递增,当0 xx时，g x取得唯一的极小值，也是最小值.g x的最小值是0002xg xelnx0000111220 xlnxxex成立.故24xfxex成立.（12 分）22.解析：（1）消t由322xya直线l的普通方程为30 xya由6cos，26cos曲线C的直角坐标方程为2260
16、 xyx（5 分）（2）由于曲线C的直角坐标方程为2260 xyx，则圆心（3,0），3r，所以圆心到直线l的距离32ad，根据垂径定理可得222()2ABdr，即223792a，可求得32 2a实数322a.（10 分）23.解析：（1）当1abc时,不等式5fx即1115xx，化为114xx当1x时，化为：114xx，解得2x；当11x时，化为：114xx，化为：24，解得x；当1x时，化为：114xx，解得2x综上可得：不等式5fx的解集为：,22,；（5 分）（2）由绝对值三角不等式得3fxxaxbcxaxbcabc，由柯西不等式得211111111139abcabcabcabcabc1113abc，当且仅当1abc时，等号成立，因此，111abc的最小值为3（10 分）