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1、-1-2020 届山东省淄博市高三第一次模拟考试（4 月）数学试题注意事项：1答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上2回答选择题时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回第卷（选择题 60 分）一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 1已知全集1,2,3,4,5,6U，集合2,3,5A，集合1,3,4,6B，则集合UABI eA3B1,4,6C2,
2、5D2,3,52.命题“000(0,),ln1xxx”的否定是A(0,),ln1xxxB(0,),ln1xxxC000(0,),ln1xxxD000(0,),ln1xxx3设1i2i1iz，则|zA0B12C2D14二项式(1)()nxnN的展开式中2x的系数为15，则nA7B6C5D45已知ABC是边长为1 的等边三角形，点,D E分别是边,AB BC的中点，连接DE并延长到点F，使得2DEEF，则AFBCuu u r uuu r的值为A58B18C14D1186直线20 xy分别与x轴，y轴交于,A B两点，点P在圆22(2)2xy上，则ABP面积的取值范围是A2,6B4,8C2,32D2
3、2,327已知函数0()ln0 xexf xxx，()()g xf xxa若()g x存在2个零点，则a的取值范围是A 1,0)B 1,)C0,)D1,)8已知三棱锥PABC的四个顶点在球O的球面上，PAPBPC，ABC是边长为2的正三角形，-2-,E F分别,PA PB的中点，90CEF，则球O的体积为A6 6B4 6C2 6D6二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求全部选对的得5 分，部分选对的得3 分，有选错的得0分9某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017 年 1 月至 2019 年 12 月
4、期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图根据该折线图，下列结论正确的是A年接待游客量逐年增加B各年的月接待游客量高峰期大致在8 月C2017 年 1 月至 12 月月接待游客量的中位数为30D各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳10.如图，正方体1111ABCDA B C D的棱长为1，线段11B D上有两个动点 E、F，且12EF，则下列结论中正确的是AACBEB/EFABCD平面CAEFBEF的面积与的面积相等D三棱锥ABEF的体积为定值11.已知椭圆22143xy的左、右焦点分别为FE、，直线xm）（11m与椭圆相交于点A、B，则A.当
5、0m时，FAB的面积为3B.不存在m使FAB为直角三角形-3-C.存在m使四边形FBEA面积最大D.存在m，使FAB的周长最大12.函数()f x在,a b上有定义，若对任意12,xxa b，有12121()()()22xxff xf x则称()f x在,a b上具有性质P。设()f x在1,3上具有性质P，则下列说法错误的是：A.()f x在1,3上的图像是连续不断的；B)(2xf在1,3上具有性质P；C.若()f x在2x处取得最大值1，则()1f x，1,3x；D.对任意1234,1,3x xxx，有123412341()()()+()+()42xxxxff xf xfxf x第卷（非选
6、择题 90 分）三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分13从 2 位女生，4 位男生中选3 人参加科技比赛，且至少有1 位女生入选，则不同的选法共有_种（用数字填写答案）14已知,a bR，且360ab，则128ab的最小值为 _15已知椭圆22221(0)xyMabab：，双曲线22221xyNmn：若双曲线N的两条渐近线与椭圆M的四个交点及椭圆M的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则双曲线N的离心率为 _；椭圆M的离心率为 _（本题第一空2 分，第二空3 分）16已知函数2sinsin2fxxx，则fx的最小值是 _四、解答题：本题共6 小题，共70 分 解答应写出文字说明、
7、证明过程或演算步骤17（10 分）已知数列na满足11a，1431nnaan，nnban.（1）证明：数列nb为等比数列；（2）求数列na的前n项和.18.（12 分）已知,A B分别在射线,CM CN(不含端点C）上运动，23MCN，在ABC中，角,A B C-4-所对的边分别是,a b c.（1）若,a b c依次成等差数列，且公差为2求c的值；（2）若3c，ABC，试用表示ABC的周长，并求周长的最大值.19（12 分）如图，边长为 2 的正方形ABCD所在的平面与半圆弧?CD所在平面垂直，M是?CD上异于C，D的点(1)证明：平面AMD平面BMC；(2)当三棱锥MABC体积最大时，求面
8、MAB与面MCD所成二面角的正弦值20（12 分）如图，已知抛物线2xy点1 1(,)2 4A，3 9(,)2 4B，抛物线上的点(,)P x y13()22x，过点B作直线AP的垂线，垂足为Q（1）求直线AP斜率的取值范围；（2）求|PAPQ的最大值21（12 分）下图是我国2013 年至 2019 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图MDCBAyxQABPO-5-注：年份代码17 分别对应年份20132019（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明；（2）建立y关于t的回归方程（系数精确到0.01），预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量附注：
9、参考数据：719.32iiy，7140.17iiit y，721()0.55iiyy，72.646参考公式：121()()?()niiiniixxyybxx，?ayb x，线性相关系数12211()()()()niiinniiiixxyyrxxyy22（12 分）已知函数2()2 lnf xxxx，函数2()(ln)ag xxxx，其中aR，0 x是()g x的一个极值点，且02g x（1）讨论()f x 的单调性；（2）求实数0 x 和 a 的值；（3）证明*2111ln(21)241nknnNk.-6-高三数学试题参考答案1.C.2.A.3.D.4.B.5.B.6.A.7.B.8.D 9.
10、ABD.10.ABD.11.AC.12.AB.13.16.14.14.15.31，2 16.3 32.17.解：（1）证明：nnban，111nnban.1 分又1431nnaan，1143111nnnnnnannbanbanan44nnanan.4 分又111112ba，5 分数列nb是首项为2，公比为4 的等比数列.6 分（2）由（1）知，124nnb，7 分124nnnabnn，8 分21122(1444)(123)nnnSaaanLL2 141142nn n221141322nnn.10 分.18.解：（1）Q,a b c依次成等差数列，且公差为2，4,2acbc，1 分又因23MCN
11、，即，1cos2C,可得222122abcab,3 分恒等变形得：29140cc，解得7,2cc或。又Q4c，7.c5 分（2）在 ABC中，由正弦定理可得sinsinsinACBCABABCBACACB，3,2sin,2sin()2sin3sin()sin33ACBCACBC即 7 分-7-ABC的周长()|AC|BC|AB|2sin2sin()33f,9 分又,10 分当,即时，()f取得最大值23.12 分19解：(1)由题设知，平面CMD平面ABCD面CMD I面=ABCD CD因为BCCD，BC平面ABCD，所以BC平面CMD，故BCDM2 分因为M为?CD上异于C，D的点，且DC为
12、直径，所以DMCM又BC I CM=C，BC面BCM，CM面BCM，所以DM平面BMC4 分而DM平面AMD，故平面AMD平面BMC5 分(2)以D为坐标原点，DAuuu r的方向为x轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Dxyz当三棱锥MABC体积最大时，M为?CD的中点由题设得(0,0,0)D，(2,0,0)A，(2,2,0)B，(0,2,0)C，(0,1,1)M，(2,1,1)AMu uu u r，(0,2,0)ABuuu r，(2,0,0)DAu uu r7 分设(,)x y zn是平面MAB的法向量，则0,0.AMABu uu u ru uu rnn即20,20.xyzy可取(1,0
13、,2)n9 分DAu uu r是平面MCD的法向量，所以5cos,5|DADADAuuu ru uu ruu u rnnn，11 分zyxABCDM-8-2 5sin,5DAuu u rn，所以面MAB与面MCD所成二面角的正弦值是2 5512 分20解：（1）设直线 AP 的斜率为k，2114122xkxx，2 分因为1322x，所以直线AP斜率的取值范围是(1,1)4 分（2）联立直线AP与 BQ 的方程110,24930,42kxykxkyk解得点 Q 的横坐标为22432(1)Qkkxk,5 分联立直线AP与抛物线方程，由韦达定理得点P横坐标为12Pxk6 分故|PA=211()2Pk
14、x=21(1)kk|PQ=21()QPkxx=22(1)(1)1kkk，8 分所以|PAPQ=3(1)(1)kk9 分令()f k3(1)(1)kk，因为2()(42)(1)fkkk，10 分所以()f k在区间1(1,)2上单调递增，1(,1)2上单调递减，因此当12k时，|PAPQ取得最大值271612 分21.解：（1）由折线图中数据和附注中参考数据得：4t，721()28iitt，1 分-9-721()0.55iiyy，777111()()40.174 9.322.89iiiiiiiittyyt yty，3 分2.890.990.5522.646r5 分因为y与t的相关系数近似为0.9
15、9，说明y与t的线性相关相当高，从而可以用线性回归模型拟合y与t的关系6 分（2）由9.321.3317y及（1）得121()()2.89?0.10328()niiiniittyybtt，8 分?1.3310.10340.92ayb t9 分所以，y关于t的回归方程为：?0.920.10yt 11 分将 2021 年对应的9t代入回归方程得：?0.920.1091.82y所以预测 2021 年我国生活垃圾无害化处理量将约1.82 亿吨12 分22解：（1）由已知可得函数fx的定义域为0,，且()22ln2fxxx，1 分令h xfx，则有21()xh xx，由0hx，可得1x，可知当 x 变化
16、时，,hxh x的变化情况如下表：x0,11 1,hx-0+h x极小值Z2 分10h xh，即0fx，可得fx在区间0,单调递增；3 分-10-（2）由已知可得函数g x的定义域为0,，且22ln()1axgxxx，4 分由已知得0gx，即20002ln0 xxxa，由02g x可得，220000ln20 xxxxa，联立，消去a，可得20002ln2ln20 xxx，6 分令2()2(ln)2ln2t xxxx，则2ln22(ln1)()2xxxtxxxx，由（1）知，ln10 xx，故0tx，t x在区间0,单调递增，注意到10t，所以方程有唯一解01x，代入，可得1a，01,1xa；8 分（3）证明：由（1）知22 lnfxxxx在区间0,单调递增，故当1,x时，11fxf，2222 ln1()1()0 xxxf xg xxx，可得g x在区间1,单调递增，9 分因此，当1x时，12g xg，即21(ln)2xxx，亦即221(ln)xxx，这时10,ln0 xxx，故可得1lnxxx，10 分取*21,21kxkNk，可得2121ln(21)ln(21)2121kkkkkk，10 分而221212212141kkkkk，11 分-11-故2112(ln(21)ln(21)ln(21)41nknkkknk2111ln(21)()241ninnNk12 分