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1、第 1 页 共 18 页2019-2020 学年浙江省A9 协作体高一下学期期中联考数学试题一、单选题1sin 600tan240的值是（）A32B32C132D132【答案】B【解析】由题意结合诱导公式求解三角函数式的值即可.【详解】由诱导公式得sin600tan240sin 180360tan 18060sin60tan6033322.故选 B.【点睛】本题主要考查诱导公式及其应用，特殊角的三角函数值的求解等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.2若na是等比数列，其公比是q，且546,a aa成等差数列，则q等于()A 1 或 2B 1 或 2C1 或 2D 1 或 2【答案】A【
2、解析】分析：由546,a aa成等差数列可得5642aaa，化简可得120qq，解方程求得q的值.详解：546,aaa成等差数列，所以5642aaa，24442a qa qa，220qq，120qq，1q或2，故选 A.第 2 页 共 18 页点睛：本题考查等差数列的性质，等比数列的通项公式基本量运算，属于简单题.等比数列基本量的运算是等比数列的一类基本题型，数列中的五个基本量1,nna q n aS，一般可以“知二求三”，通过列方程组所求问题可以迎刃而解，解决此类问题的关键是熟练掌握等比数列的有关性质和公式，并灵活应用.3已知 sin(45)55，则 sin2等于()A45B35C35D45
3、【答案】B【解析】利用两角和的正弦函数化简已知条件，利用平方即可求出所求结果.【详解】sin(45)(sincos)2255，sincos105.两边平方，得1sin225，sin235.故选 B【点睛】本题目是三角函数正弦函数的题目，掌握同角三角函数的二倍角公式是解题的关键.4ysin(2x-3)sin2x的一个单调递增区间是()A,63B7,12 12C513,1212D5,36【答案】B【解析】1313sin(2)sin2sin 2cos2sin 2sin 2cos232222yxxxxxxxsin(2)3x，由3222232kxk，得71212kxk，kZ，0k时，为71212x，故选
4、 B第 3 页 共 18 页5在ABC中，若sin2sincosBAC，那么ABC一定是（）A等腰直角三角形B等腰三角形C直角三角形D等边三角形【答案】B【解析】利用诱导公式和和差角的正弦公式化简即得AC，即得三角形的形状.【详解】因为sin2sincosBAC，所以sin()2sincos,ACAC所以sincoscossin2sincos,ACACAC所以sincoscossin0,ACAC所以sin()0AC,所以0AC,所以AC.所以三角形是等腰三角形.故选：B.【点睛】本题主要考查三角恒等变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.6已知一个等比数列首项为1，项数是偶数，其奇数项之和
5、为85，偶数项之和为170，则这个数列的项数为（）A2B4C8D 16【答案】C【解析】设这个等比数列na共有2k kN项，公比为q，利用偶数项之和与奇数项之和的比值求得q的值，再利用等比数列的求和公式可求得k的值，由此可得出该数列的项数.【详解】设这个等比数列na共有2k kN项，公比为q，则奇数项之和为132185kSaaa奇，偶数项之和为2421321170nnSaaaq aaaqS奇偶，170285SqS偶奇，第 4 页 共 18 页等比数列na的所有项之和为212212211708525512kkkaS，则22256k，解得4k，因此，这个等比数列的项数为8.故选：C.【点睛】本题考
6、查等比数列的求和公式求项数，同时也涉及了等比数列奇数项和偶数项之和的性质的应用，考查计算能力，属于中等题.7已知()2sin(2)6f xxm在0,2x上有两个零点，则m的取值范围为()A（1，2）B 1，2C1,2)D（1，2【答案】C【解析】【详解】由题意2sin 26fxxm在0,2x上有两个零点可转化为2sin26yx与ym在20 x，上有两个不同交点，作出如图的图象，由于右端点的坐标是,12由图知，1,2m故选 C【点睛】本题考查正弦函数的图象，解答本题关键是将函数有两个零点的问题转化为两个函数有两个交点的问题，作出两函数的图象，判断出参数的取值范围，本题以形助数，是解此类题常用的方
7、法，熟练作出相应函数的图象对解答本题很重要8已知等差数列na的前n项和为nS，若160S，且170S，则当nS最大时n的值为（）第 5 页 共 18 页A8 B 9 C10 D16【答案】A【解析】根据等差数列的求和公式和等差数列的性质，可知80a，90a，进而求出nS最大值，即可求出结果【详解】因为在等差数列na中16170,0SS，所以1161611616802aaSaa，117179171702aaSa，所以11689900aaaaa，所以80a，90a；所以在等差数列na中，当8n且*nN时，0na；当9n且*nN时，0na所以nS最大值为8S，此时n的值为8.故选：A【点睛】本题考查
8、等差数列的前n项和的应用和等差数列的性质，得出等差数列na的前 8项为正数，从第9 项开始为负数是解决问题的关键，属基础题9已知函数2sin0,0yx为偶函数，其图象与直线2y的交点的横坐标为12,x x，若12xx的最小值为，则（）A=2=2，B1=22，C1=24，D=2=4，【答案】A【解析】由题意知周期T,所以2=2，又函数为偶函数且0，所以=2，即可求解.【详解】因为函数与直线2y的交点的横坐标为12,x x，且12xx的最小值为，所以周期第 6 页 共 18 页T，,所以2=2，又函数为偶函数且0，所以=2，故选 A.【点睛】本题主要考查了正弦型函数的图象与性质，涉及周期性和奇偶性
9、，属于中档题.10若数列na满足：11a，2*1nnnaaanN，*121112,111nnTnnNaaa，整数k使得nTk最小，则k的值是（）A 0B1C2D3【答案】B【解析】由21nnnaaa可推导出11111nnnaaa，利用裂项求和法可求得nT，利用递推公式可得知数列na单调递增，并推导出1,12nT，由此可得出使得nTk最小的整数k的值.【详解】211nnnnnaaaaa，1111111nnnnnaaaaa，11111nnnaaa，所以，12122311111111111111111nnnnnTaaaaaaaaaaa111na，11a，21nnnaaa，可得22a，36a，以此类推
10、可得0nanN，且210nnnaaa，所以，数列na单调递增，对任意的nN，1111,12nnTa，因此，当整数1k时，nTk最小.故选：B.第 7 页 共 18 页【点睛】本题考查裂项求和法，考查符合条件的整数的值的求解，考查计算能力，属于中等题.二、填空题11tan15的值是 _【答案】23【解析】因为tan15tan 6045，利用两角差的正切公式即可求出结果.【详解】tan60tan4531tan15tan 6045231tan60tan4513.故答案为：23.【点睛】本题考查了两角差的正切公式的应用，属于基础题.12已知一扇形的弧所对的圆心角为60，半径20rcm，则扇形的周长为_
11、cm【答案】20403【解析】根据弧长公式：lr求出扇形的弧长，即可求出扇形的周长【详解】由题意，扇形的弧长为202033，所以扇形的周长为202024033r故答案为20403【点睛】本题考查扇形的弧长公式，属于基础题1322cos 75cos 15cos75 cos15的值等于 _.【答案】54【解析】试题分析：原式可化为2215sin 15cos 15sin15 cos151sin 3024【考点】三角恒等变形、诱导公式、二倍角公式、同角三角函数关系三、双空题14已知数列na满足：11a，121(2)nnaann，则数列na的通项公式第 8 页 共 18 页是_；令nnban当nb为单调
12、递增数列时，实数的取值范围是_【答案】2nan3【解析】根据累加法以及等差数列求和公式求得数列na的通项公式；根据单调性得不等式恒成立，利用变量分离法解得结果.【详解】1121(2)21(2)nnnnaannaann当2n时，112211()()()nnnnnaaaaaaaa2121)23)3)1(21 1)2(nnnnn当1n时，211na综上，2nan2nnbannn因为nb为单调递增数列，所以10nnbb对*nN恒成立,即220,(1)()211nnnnn对*nN恒成立,因为2133n故答案为：2nan，3【点睛】本题考查利用累加法求数列通项公式、等差数列求和、数列单调性，考查综合分析求
13、解能力，属中档题.15ABC中，已知60B，3AC.（1）ABC面积的最大值是_（2）若ABC有两解，则BC的取值范围是 _【答案】9 34(3,2 3)【解析】（1）先根据余弦定理得229acac，再根据基本不等式求ac最值，最后根据三角形面积公式得结果；（2）根据正弦定理得2 3 sinaA，再根据ABC有两解得3sin12A，即得结果.第 9 页 共 18 页【详解】设ABC三个内角ABC，所对的边分别为,a b c（1）22222222cos92cos93bacacBacacacac2229acacacacacac（当且仅当ac时取等号）因此ABC面积119 3sin9sin2234S
14、acB，即ABC面积的最大值是9 34；（2）由正弦定理得3sin2 3 sinsinsinsin3abaAAAB因为ABC有两解，所以3,sinsin132 33223BA AAa，故答案为：9 34，(3,2 3)【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理、三角形面积公式、基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.16ABC中，1tan3B，tan2C，若BC边上的高为1，则ABC的外接圆面积是 _，BC边上的中线长为_【答案】258654【解析】作出图形，过点A作ADBC的延长线于点D，可得tan2ACD，进而可求得CD、BD的长，以及BC的长，利用勾股定理可求得AC以及BC边上的中线长
15、，利用同角三角函数的基本关系求得sin B的值，利用正弦定理可求得ABC的外接圆半径，进而可求得该三角形的外接圆面积.【详解】如下图所示，过点A作ADBC的延长线于点D，取BC的中点M，连接AM，第 10 页 共 18 页tantantan2ACDACBACB，1tan2ADCDACD，同理可得3tanADBDB，15322BCBDCD，由勾股定理得2252ACADCD，由同角三角函数的基本关系得22sin1tancos3sincos1sin0BBBBBB，解得10sin10B，由正弦定理可知，ABC的外接圆半径为555 22sin2410ACrB，所以，ABC的外接圆面积为225 22548
16、r.M为BC的中点，所以，1724DMBDBMBDBC，由勾股定理得2222765144AMADDM.故答案为：258；654.【点睛】本题考查利用正弦定理求三角形外接圆的面积，同时也考查了三角形中线的计算，考查计算能力，属于中等题.17边长为3的等边ABC中，边AC上有D、E两点.（1）若D、E三等分AC，则cos DBE_（2）若D、E在AC上运动，且1DE，则tanDBE的取值范围是 _【答案】13143 3 3,513【解析】作出图形，利用余弦定理计算出BD、BE，然后利用余弦定理可求得cosDBE；以AC的中点O为坐标原点，AC、OB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，设
17、点31,022D tt，求得tanBDBDEk，第 11 页 共 18 页tanBEBECk，利用两角差的正切公式可得出tanDBE关于t的函数，利用函数的基本性质可求得tanDBE的取值范围.【详解】如下图所示：在BDE中，3AB，1AD，3A，由余弦定理得222cos7BDABADAB ADA，同理7BE，在BDE中，7BDBE，1DE，由余弦定理得22213cos214BDBEDEDBEBD BE.以AC的中点O为坐标原点，AC、OB所在直线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy，设点31,022D tt，则3 30,2B、1,0E t，第 12 页 共 18 页3 33 32tan2B
18、DBDEktt，3 3tan21BEBECkt，由两角差的正切公式得3 33 3212tantan13 33 31212BEBDBEBDttkkDBEBECBDEkktt226 36 344272126ttt，3122t，2212t，则20214t，所以，26 33 3 3tan,5132126DBEt.故答案为：1314；3 3 3,513.【点睛】本题考查利用余弦定理解三角形，同时也考查了正切值取值范围的计算，考查了两角差的正切公式以及斜率公式的应用，考查计算能力，属于中等题.四、解答题18已知,2，且6sincos222.（1）求cos的值；（2）若3sin5，,2，求cos的值.【答案
19、】（1）32；（2）34 310.【解析】（1）在等式6sincos222两边平方，利用二倍角正弦公式可求得sin的值，再利用同角三角函数的基本关系可求得cos的值；（2）利用同角三角函数的平方关系可求得cos的值，再利用两角差的余弦公式可求得cos的值.第 13 页 共 18 页【详解】（1）由6sincos222得：23sincos1 2sincos1sin22222，因为,2，所以23cos1sin2；（2）由2，2，得22，3sin5，所以24cos1 sin5，因此，34 3coscoscoscossinsin10.【点睛】本题考查利用二倍角公式以及两角差的余弦公式求值，同时也考查了
20、同角三角函数基本关系的应用，考查计算能力，属于基础题.19已知函数3()cos(sin3 cos)2f xxxx，xR.（1）求fx的最小正周期和单调递增区间；（2）若将fx的图象向左平移m个单位0m后，所得图象关于原点对称，求m的最小值.【答案】（1）；5,()1212kkkZ；（2）3.【解析】（1）利用二倍角的正弦和降幂公式，以及辅助角公式化简得()sin23f xx，再根据正弦函数的最小正周期公式和单调性，即可求出fx的最小正周期和单调递增区间；（2）根据三角函数的平移规律，将fx的图象向左平移m个单位0m后，得出()sin 223f xmxm，再由图象关于原点对称，得出sin203m
21、，即可求出m的最小值.【详解】解：（1）由题可知，3()cos(sin3 cos)2f xxxx，第 14 页 共 18 页则13()sin2cos2sin 2223f xxxx，所以fx的最小正周期为22T，由222232kxk，kZ，得51212kxk，kZ，所以fx的递增区间为5,()1212kkkZ.（2）由（1）得()sin23f xx，则将fx的图象向左平移m个单位0m后，得()sin 223f xmxm，且其图象关于原点对称，所以0 x时，sin203m，2,()3mkkZ，解得：,()26kmkZ因为0m，所以当1k时，3m，即m的最小值为3.【点睛】本题考查利用二倍角的正弦和
22、降幂公式，以及辅助角公式化简三角函数解析式，考查正弦型函数的最小正周期和单调性，以及三角函数的平移规律和对称性求参数值，考查化简运算能力.20已知等比数列na中，22a，5128a，2lognnba，数列nb的前n项和为nS.（1）若35nS，求n的值；（2）设3nnncab，求数列nc的前n项的和nT.【答案】（1）7n；（2）(31)419nnnT.【解析】（1）根据22a，5128a求出等比数列首项与公比，再根据等比数列通项公第 15 页 共 18 页式得na，代入条件化简得nb，最后根据等差数列求和公式得结果；（2）先化简nc，再根据错位相减法求和.【详解】解：（1）设na公比为q，1
23、4124128a qqa q，112a所以1231422nnna，2lo23gnnban因为(123)(2)352nnnSn n，7n（负值舍去）（2）134nnnncabn，下面利用错位相减法求和，12211 1+24+34+(1)44nnnTnn123141 1+24+34+(1)44nnnTnn两式相减得：12131 1+1 4+14+144nnnTn1(14)3414nnnTn(31)419nnnT【点睛】本题考查等比数列通项公式、等差数列求和公式、错位相减法求和，考查综合分析求解能力，属中档题.21设ABC的内角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，已知sin()sinsinabac
24、ABAB.（1）求角B；（2）若2b，求ac的取值范围.【答案】（1）3B；（2）(2,4).【解析】（1）由条件理由诱导公式与正弦定理可得abaccab，即222bacac，结合余弦定理可得结果；（2）由正弦定理可得4sin3bB，从而可得4sin6acA，结合正弦函数的图象与性质可得结果.第 16 页 共 18 页【详解】解：（1）由sin()sinsinabacABAB得abaccab，222abacc222bacac1cos2B(0,)B3B（2）2b，4sin3bB42sinsin4sin363acAAA20,3A，3A1sin,162A，(2,4)ac【点睛】本题主要考查了正弦定理
25、余弦定理，以及三角函数的化简和求值，解题的关键是公式的熟练应用，属于中档题22数列na中，11a，12 1nnaan.（1）求证：存在n的一次函数fn，使得()naf n成公比为2的等比数列；（2）求na的通项公式；（3）令2lognnban，求证：2221211153nbbb.【答案】（1）证明见解析；（2）2nnan；（3）证明见解析.【解析】（1）根据题意，设()f nknb满足条件，由于()naf n成公比为2的等比数列，根据等比数列的定义，得出1(1)2nnfaf nna，利用待定系数法求出k和b，即可得出结论；（2）由（1）知nan是首项为112a，公比为2 的等比数列，由等比数列
26、的通第 17 页 共 18 页项公式得出2nnan，即可求出na的通项公式；（3）先求出nbn，要证2221211153nbbb，即证2221115123n，根据放缩法得出，当2n时，22111111211nnnn，再利用裂项相消法求和，即可证明不等式.【详解】解：（1）证明：设()f nknb满足条件，由于()naf n成公比为2 的等比数列，则1(1)2nnfaf nna，即1(1)2nnak nbaknb，由121nnaan，得2(11)2nnak nbaknbn，解得：1k，0b，fnn，存在()f nn，使()naf n成公比为2的等比数列.（2）由（1）知nan是首项为112a，公比为2 的等比数列，则2nnan，2nnan.（3）证明：22loglog2nnnbannnn，即nbn，要证2221211153nbbb，即证2221115123n，当2n时，22111111211nnnn，22211111111111111124224354611nnn，即22211111111151151124223132223nnnnn，所以2221115123n，即2221211153nbbb.第 18 页 共 18 页【点睛】本题考查等比数列的定义和等比数列的通项公式，以及利用裂项相消法求和、利用放缩法证明数列不等式，考查转化思想和运算能力.