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1、第 1 页 共 1 页2021 年广东省高考数学椭圆复习题28已知椭圆C：?2?2+?2?2=1（ab0）过点（3，12），且离心率为32，O 为坐标原点（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）设 A 是椭圆的右顶点，点P（t，0）是线段 OA 上的动点，直线l 过点 P，且与椭圆交于 B，C 两点，求 OBC 面积的最大值M（t）【解答】解：（1）由题意可得?=32，3?2+14?2=1，又 b2a2c2，可解得a24，b21，所以椭圆C 的标准方程为：?24+y21；（2）由（1）可得 A（2，0），由题意知直线BC 的斜率不为0，设直线BC 的方程为：xmy+t，t（0，2，B（x1，y1）
2、，C（x2，y2），由直线的方程与抛物线的方程联立?=?+?24+?2=1，可得（4+m2）y2+2mty+t240，4m2t24（4+m2）?（t24）16（m2+4 t2）0，y1+y2=-2?4+?2，y1y2=?2-44+?2，所以|BC|=1+?2|y1y2|=1+?2?(?1+?2)2-4?1?2=1+?2?4?2?2(4+?2)2-4(?2-4)4+?241+?2?2-?2+44+?2，又点 O 到直线 BC 的距离 d=|?|1+?2，所以 SOBC=12|BC|?d2?|?|?2-?2+44+?2，t（0，2，令 4+m2k 4，则 SOBC2|t|-?2(1?)2+1?，1?(0，14，当 t 2，2，1?=12?2时，（SOBC）max1；当 t（0，2），1?=14时，（SOBC）max=|?|4-?22综合 知：（SOBC）max=|?|4-?22，?(0，2)1，?2，2