《2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)(解析版).pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2020年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷(理科)(解析版).pdf（25页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、2020 年东北三省四市教研联合体高考数学二模试卷（理科）一、选择题（共12 小题）.1已知集合Ax Z|x24，Bx|4x2，则 AB（）ABx|2x 2BBx|4x2C2，1，0，1，2D2，1，0，12已知复数z（a+i）（12i）（a R）的实部为3，其中 i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A 1B iC1Di3已知双曲线C：?22-?22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A2B?C1D124风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A1B1A0B
2、0B0B1，A2B2A1B1 B1B2，A3B3A2B2B2B3，AnBnAn1Bn1Bn1Bn，其中 Bn1Bn B2B3B1B2 B0B1，n N*根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关某一风雨桥亭、塔共5 层，若 A0B08m，B0B10.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A35mB45mC210mD270m5已知直线m，n 和平面 ，有如下四个命题：若 m ，m ，则 ；若 m ，m n，n?，则 ；若n，n，m，则m；若 m ，m n，则 n 其中真命题的个数是（）A1B2C3D46已知正方体ABCD A1B1C
3、1D1，O 为底面ABCD 的中心，M，N 分别为棱A1D1，CC1的中点，则异面直线B1M 与 ON 所成角的余弦值为（）A 55B 105C 1515D2 5157函数 f（x）cos?2-?sin?2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f（x）的图象（）A向左平移?3个单位B向左平移2?3个单位C向右平移?3个单位D向右平移2?3个单位8某一项针对我国义务教育数学课程标准的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（）学段内容主题第一学段（13年级）第二阶段（46年级）第三学段（79年级
4、）合计数与代数21284998图形与几何182587130统计与概率381122综合与实践34310合计4565150260A除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5 倍B在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占 4%C第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长9定义在R 上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2 0，+）（
5、x1x2），有 f（x2）f（x1）（x2x1）0，则（）Af（0.31）f（20.3）f（log20.2）B f（log20.2）f（20.3）f（0.31）Cf（log20.2）f（0.31）f（20.3）Df（0.31）f（log20.2）f（20.3）10给定两个长度为2 的平面向量?和?，它们的夹角为120如图所示，点C 在以 O为圆心 2为半径的圆弧AB 上运动，则?的最小值为（）A 4B 2C0D211若数列 an满足 a1=-13，且 anan1+（2）n（n2），若使不等式|an|成立的 an有且只有三项，则的取值范围为（）A133，353）B（133，353C353，613
6、）D（353，61312设椭圆的左右焦点为F1，F2，焦距为 2c，过点 F1的直线与椭圆C 交于点 P，Q，若|PF2|2c，且|?|=43|?|，则椭圆C 的离心率为（）A12B34C57D23二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13若 x，y 满足约束条件?+?-?-?-?，则 zx+3y 的最大值是14甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为15 数列 an是等差数列，前 n项和为 Sn，a11，S515，且 a3+a9+a15 15，则实数 16在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB2，
7、PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为 E，若 PE1，则此四棱锥的外接球的表面积为三.解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 5（sin2B+sin2C）8sinBsinC+5sin2A（）求tanA 的值；（）若 ABC 为锐角三角形，求tanBtanC 的最小值18随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定
8、的成果如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50 名学生的统计数据成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（）根据列联表运用独立性检验的思想方法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3 名学生求抽到成绩不够优秀的学生人数 的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）参考附表：P（K2 k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828参考公式：?=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?
9、+?)，其中 n a+b+c+d19四棱锥 PABCD 中，ABCD 为直角梯形，BCAD，AD DC，BCCD 1，AD 2，PAPD，E 为 PC 中点，平面PAD 平面 ABCD，F 为 AD 上一点，PA平面 BEF（）求证：平面BEF 平面 PAD；（）若PC 与底面 ABCD 所成的角为60求二面角EBFA 的余弦值20已知点A（0，2），B 为抛物线x22y2 上任意一点，且B 为 AC 的中点，设动点C的轨迹为曲线E（）求曲线E 的方程；（）A 关于 yx 的对称点为D，是否存在斜率为12的直线 1 交曲线E 于 M，N 两点，使得 MDN 为以 MN 为底边的等腰三角形？若存
10、在，请求出 MDN 的面积；若不存在，请说明理由21已知函数f（x）mlnx，g（x）=?-1?（x0）（）讨论函数F（x）f（x）g（x）在（0，+）上的单调性；（）判断当me 时 y f（x）与 yg（x）的图象公切线的条数，并说明理由（二）选考题：共10 分，请考生在22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第一题计分.选修 4-4：坐标系与参数方程22已知曲线C 的极坐标方程为?=123+?2?，直线 l 的参数方程为?=?-255?=?+55?（t 为参数）（）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（）设点P 为曲线 C 上的动点点M 和点 N 为直线 1 上的点，且|MN
11、|2，求 PMN面积的取值范围选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）m|x2|，m R，g（x）|x+3|（）当x R 时，有 f（x）g（x），求实数m 的取值范围（）若不等式f（x）0 的解集为 1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b的最小值参考答案一、选择题：本题共12 小题，每小题5 分，共 60 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1已知集合Ax Z|x24，Bx|4x2，则 AB（）ABx|2x 2BBx|4x2C2，1，0，1，2D2，1，0，1【分析】先求出集合A，再利用集合交集的运算即可算出结果解：集合A x Z|x24 2，1，0，
12、1，2，AB2，1，0，1，故选：D2已知复数z（a+i）（12i）（a R）的实部为3，其中 i 为虚数单位，则复数z 的虚部为（）A 1B iC1Di【分析】利用复数的运算法则、实部与虚部的定义即可得出解：因为复数z（a+i）（12i）（a+2）+（12a）i；a+23?a1；z 的虚部为：12a 1故选：A3已知双曲线C：?22-?22=1，则此双曲线的焦点到其渐近线的距离为（）A2B?C1D12【分析】先由题中条件求出焦点坐标和渐近线方程，再代入点到直线的距离公式即可求出结论解：由题得：其焦点坐标为（2，0），（2，0）渐近线方程为y x，即 xy0，所以焦点到其渐近线的距离d=22=
13、?故选：B4风雨桥是侗族最具特色的建筑之一，风雨桥由桥、塔、亭组成，其亭、塔平面图通常是正方形、正六边形和正八边形如图是风雨桥亭、塔正六边形的正射影，其正六边形的边长计算方法如下：A1B1A0B0B0B1，A2B2A1B1 B1B2，A3B3A2B2B2B3，AnBnAn1Bn1Bn1Bn，其中 Bn1Bn B2B3B1B2 B0B1，n N*根据每层边长间的规律，建筑师通过推算，可初步估计需要多少材料所用材料中，横向梁所用木料与正六边形的周长有关某一风雨桥亭、塔共5 层，若 A0B08m，B0B10.5m，则这五层正六边形的周长总和为（）A35mB45mC210mD270m【分析】根据 An
14、BnAn1Bn1Bn1Bn，其中 Bn1Bn B2B3B1B2B0B1，可知 AnBn是首项为8，公差为 0.5 的等差数列，所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和，问题可解解：根据AnBn An1Bn1Bn1Bn，其中 Bn1Bn B2B3B1B2 B0B1，可知 AnBn是首项为8，公差为 0.5 的等差数列、所以求这五层正六边形的周长总和，即为求该数列的前五项的和的6 倍所以?=?=?+542(-12)=?（m）故选：C5已知直线m，n 和平面 ，有如下四个命题：若 m ，m ，则 ；若 m ，m n，n?，则 ；若 n，n，m，则 m；若 m ，m n，则 n 其中真
15、命题的个数是（）A1B2C3D4【分析】直接利用线面垂直的判定和性质的应用，线面平行的判定和性质的应用求出正确的结果解：已知直线m，n 和平面 ，有如下四个命题：若 m ，m ，则在 内，作 nm，所以 n，由于 n?，则 ，故正确；若 m ，m n，所以 n，由于 n?，则 ；故正确 若 n，n，所以 ，由于 m ，则 m；故正确 若 m ，m n，则 n 也可能 n?内，故错误故选：C6已知正方体ABCD A1B1C1D1，O 为底面ABCD 的中心，M，N 分别为棱A1D1，CC1的中点，则异面直线B1M 与 ON 所成角的余弦值为（）A 55B 105C 1515D2 515【分析】建
16、立空间直角坐标系，分别求出两条异面直线对应的向量坐标，套用向量夹角公式计算即可解：据题意，以D 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，设正方体棱长为2，则：D（0，0，0），O（1，1，0），B1（2，2，2），M（1，0，2），N（0，2，1），?=(-?，-?，?)，?=(-?，?，?)，设异面直线B1M 与 ON 所成角为，则?=|?1?|?1?|?|=153=1515故选：C7函数 f（x）cos?2-?sin?2，若要得到奇函数的图象，可以将函数f（x）的图象（）A向左平移?3个单位B向左平移2?3个单位C向右平移?3个单位D向右平移2?3个单位【分析】利用辅助角公式进行化简，利用三
17、角函数的平移性质求出平移后的解析式，利用三角函数是奇函数建立条件关系进行求解即可解：f（x）2（12cos?2-32sin?2）2cos（?2+?3），将函数 f（x）向左平移的单位，得到y2cos12（x+）+?32cos（12x+12+?3），若 f（x）是奇函数，则12+?3=k+?2，即 2k+?3，k Z，当 k0 时，=?3，即可以将函数f（x）的图象向左平移?3个单位，即可，故选：A8某一项针对我国义务教育数学课程标准的研究，如表为各个学段每个主题所包含的条目数，如图是将统计表的条目数转化为百分比，按各学段绘制的等高条形图，由图表分析得出以下四个结论，其中错误的是（）学段内容主题
18、第一学段（13年级）第二阶段（46年级）第三学段（79年级）合计数与代数21284998图形与几何182587130统计与概率381122综合与实践34310合计4565150260A除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的3.5 倍B在所有内容领域中，“图形与几何”内容最多，占50%，“综合与实践”内容最少，约占 4%C第一、二学段“数与代数”内容最多，第三学段“图形与几何”内容最多D“数与代数”内容条目数虽然随着学段的增长而增长，而其百分比却一直在减少，“图形与几何”内容条目数，百分比都随学段的增长而增长【分析】
19、从等高条形图看比例大体变化趋势，利用表格计算条目数的相关数据，逐项进行判断即可解：（1）对于 A，结合表格可知，除了“综合与实践”外，其它三个领域的条目数都随着学段的升高而增加，尤其“图形与几何”在第三学段急剧增加，约是第二学段的87253.5倍，故 A 对（2）对于B，由表格可知：“图形与几何”内容最多，占130260=50%，“综合与实践”内容最少，占10260 4%，故 B 对（3）对于C，分析表格可知，第一、二学段“数与代数”内容分别是21，28，数目最多，第三学段“图形与几何”内容为87，最多故C 对（4）对于 D，图形与几何的第一学段到第二学段百分比是减少的，故D 错故选：D9定义
20、在R 上的偶函数f（x）满足：对任意的x1，x2 0，+）（x1x2），有 f（x2）f（x1）（x2x1）0，则（）Af（0.31）f（20.3）f（log20.2）B f（log20.2）f（20.3）f（0.31）Cf（log20.2）f（0.31）f（20.3）Df（0.31）f（log20.2）f（20.3）【分析】根据题意，由单调性的定义分析可得f（x）在 0，+）上为减函数，结合偶函数的性质可得f（log20.2）f（log20.2）f（log25），由指数的性质可得20.3201log25 3103=0.31，据此分析可得答案解：根据题意，对任意的x1，x2 0，+）（x1x2
21、），有 f（x2）f（x1）（x2x1）0，则 f（x）在 0，+）上为减函数，又由 f（x）为偶函数，则f（log20.2）f（log20.2）f（log25），又由 20.3201 log253103=0.31，则有 f（0.31）f（log20.2）f（20.3）；故选：D10给定两个长度为2 的平面向量?和?，它们的夹角为120如图所示，点C 在以 O为圆心 2为半径的圆弧AB 上运动，则?的最小值为（）A 4B 2C0D2【分析】根据题意，建立坐标系，求出 A，B 点的坐标，并设 AOC，则向量?=（2cos，2sin），求出向量的数量积，结合角的范围即可求解解：建立如图所示的坐标系
22、，则 A（2，0），B（2cos120，2sin120）即 B（1，?），设 AOC ，0，120；则?=（2cos，2sin）?=（12cos，?-2sin）?（2 2cos，2sin）（12cos）（22cos）+（?-2sin）?（2sin）22cos 2?sin 2 4sin（+30）；0，120；+30 30，150?sin（+30）12，1；当 sin（+30）1 即 60时，?取最小值为2 41 2；故选：B11若数列 an满足 a1=-13，且 anan1+（2）n（n2），若使不等式|an|成立的 an有且只有三项，则的取值范围为（）A133，353）B（133，353C35
23、3，613）D（353，613【分析】首先利用递推关系式的应用求出数列的通项公式，进一步利用不等式的应用求出参数的取值范围解：数列 an满足 a1=-13，且 anan1+（2）n（n2），所以：?-?-?=(-?)?-?，?-?=(-?)?，所以将上面（n 1）个式子相加得到：?-?=41-(-2)?-11-(-2)，整理得：?=?-(-2)?+13所以?=|?-43|=13，?=|?+83|=113，?=|?-163|=133，?=|?+323|=353，易知：|an|an+1|，若不等式|an|成立的 an有且只有三项，则：的取值范围为133，353)故选：A12设椭圆的左右焦点为F1，
24、F2，焦距为 2c，过点 F1的直线与椭圆C 交于点 P，Q，若|PF2|2c，且|?|=43|?|，则椭圆C 的离心率为（）A12B34C57D23【分析】由题意画出图形，由|PF2|2c，|PF1|=43|QF1|，利用椭圆的定义可得：|PF1|2a2c，进一步求出|QF1|，|QF2|，在等腰 PF1F2中，求得得cosPF1F2在 QF1F2中，由余弦定理可得cosQF1F2，利用 cosPF1F2+cosQF1F20，化简求得5a7c，则答案可求解：不妨设椭圆的焦点在x 轴上，如图所示，|PF2|2c，则|PF1|2a 2c|PF1|=43|QF1|，|QF1|=34（2a2c）=3
25、2（a c），则|QF2|2a-32（ac）=?2+32c，在等腰 PF1F2中，可得cosPF1F2=12|?1|?1?2|=?-?2?在 QF1F2中，由余弦定理可得cosQF1F2=94(?-?)2+4?2-14(?+3?)22 2?32(?-?)，由 cosPF1F2+cosQF1F20，得?-?2?+94(?-?)2+4?2-14(?+3?)22 2?32(?-?)=0，整理得：5?-7?6?=0，5a7c，e=?=57故选：C二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20 分.13若 x，y 满足约束条件?+?-?-?-?，则 zx+3y 的最大值是8【分析】画出满足条件的平面
26、区域，求出角点的坐标，结合函数图象求出z 的最大值即可解：画出满足条件的平面区域，如图示：由?=?-?-?=?，解得 A（2，2），由 zx+3y得：y=-12x+，显然直线过A 时，z 最大，z 的最大值是z2+328，故答案为：814甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则至少一人命中的概率为0.976【分析】由题意利用相互独立事件的概率计算公式，事件和它的对立事件概率间的关系，求得结果解：甲，乙，丙三人的投篮命中率分别为0.8，0.7，0.6，如果他们三人每人投篮一次，则他们都没有投中的概率为（10.8）（10.7）（10.6）0.024，则至
27、少一人命中的概率为10.0240976，故答案为：0.97615数列 an是等差数列，前n 项和为 Sn，a11，S515，且 a3+a9+a1515，则实数-13【分析】利用等差数列的通项公式求和公式即可得出解：设等差数列an的公差为d，a1 1，S5 15，5+10d15，解得 d 1an1+n1n，代入 a3+a9+a1515，3+9+1515，解得实数=-13故答案为：-1316在四棱锥PABCD 中，底面ABCD 为正方形，AB2，PAD 为等边三角形，线段BC 的中点为 E，若 PE1，则此四棱锥的外接球的表面积为28?3【分析】取AD 的中点 F，连接 EF，PF，由题意可得三角
28、形PEF 为直角三角形，求出四棱锥的高，及底面外接圆的圆心到P 在底面的投影的距离，设正方形ABCD 的中心为M，过 M 做 MO 垂直于底面，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，分别在两个直角三角形中求出外接球的半径与直角边的关系求出外接球的半径，进而求出外接球的表面积解：取 AD 的中点 F，连接 EF，PF，因为底面ABCD 为正方形，AB2，PAD 为等边三角形，所以PF=?，EF2，又 PE1，所以PFPE，设正方形ABCD 的对角线的交点M，过 P 做底面的投影N，则由题意可得N 在 EF 上，由射影定理可得NE=?2?=12，而 ME 1，所以 MN=12，PN=?-?=32，
29、MB=12?=222=?，过 M 做底面的垂线MO，则四棱锥的外接球的球心在直线MO 上，设 O 为外接球的球心，设球的半径为R，则 OPOB R，过 O 做 OH PN 于 H，则四边形OMNH 为矩形，所以OH MN=12，HNOM，（i）若球心在四棱锥的内部则可得：在 OPH 中，OP2OH2+（PNHN）2，即 R2（12）2+（32-OM）2，在 OBM 中，OB2BM2+OM2，即 R2（?）2+OM2，由 可得 OM=-33，不符合，故舍去（ii）若球心在四棱锥的外部则可得：在 OPH 中，OP2OH2+（PN+HN）2，即 R2（12）2+（32+OM）2，在 OBM 中，OB
30、2BM2+OM2，即 R2（?）2+OM2，由 可得 R2=73，所以四棱锥的外接球的表面积S4 R2=28?3综上所述四棱锥的外接球的表面积S4 R2=28?3故答案为：28?3三.解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤第 1721 题为必考题，每个试题考生都必须作答.第 2223 题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17 在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 5（sin2B+sin2C）8sinBsinC+5sin2A（）求tanA 的值；（）若 ABC 为锐角三角形，求tanBtanC 的最小值【分析】（I）5（sin2B+
31、sin2C）8sinBsinC+5sin2A 由正弦定理可得：5（b2+c2）8bc+5a2，可得：b2+c2a2=85bc，再利用余弦定理即可得出（II）由tan（B+C）=?+?1-?=-tan A=-34，可得4tan B+4tan C3tanBtan C+30，利用基本不等式的性质即可得出解：（I）5（sin2B+sin2C）8sinBsinC+5sin2A由正弦定理可得：5（b2+c2）8bc+5a2，可得：b2+c2a2=85bc，cosA=?2+?2-?22?=45，A(?，?2)，sinA=?-?=35，则 tanA=34（II）由 tan（B+C）=?+?1-?=-tan A
32、=-34，4tanB+4tan C 3tanBtanC+30，tan B0，tan C0，由均值不等式可得：4tanB+4tan C3tanBtanC32?，当且仅当tan Btan C3 时取等号解得 tan BtanC9tan Btan C 的最小值为918随着新高考改革的不断深入，高中学生生涯规划越来越受到社会的关注一些高中已经开始尝试开设学生生涯规划选修课程，并取得了一定的成果如表为某高中为了调查学生成绩与选修生涯规划课程的关系，随机抽取50 名学生的统计数据成绩优秀成绩不够优秀总计选修生涯规划课151025不选修生涯规划课61925总计212950（）根据列联表运用独立性检验的思想方
33、法分析：能否有99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“，并说明理由；（）如果从全校选修生涯规划课的学生中随机地抽取3 名学生求抽到成绩不够优秀的学生人数 的分布列和数学期望（将频率当作慨率计算）参考附表：P（K2 k）0.1000.0500.0100.001k2.7063.8416.63510.828参考公式：?=?(?-?)2(?+?)(?+?)(?+?)(?+?)，其中 n a+b+c+d【分析】（）根据K2的公式计算出观测值，并与附表中的参考值进行对比即可作出判断；（）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1 名学生成绩优秀的概率为35，成绩够不优秀的概率为25，而随机变
34、量的可能取值为0，1，2，3，然后根据二项分布求概率的方式逐一求出每个的取值所对应的概率即可得分布列，最后根据二项分布的性质求数学期望即可解：（）由题意知，?=50(15 19-6 10)221 29 25 25?.?.?，有 99%的把握认为“学生的成绩是否优秀与选修生涯规划课有关“（）在全校选修生涯规划课的学生中随机抽取1 名学生成绩优秀的概率为1525=35，成绩够不优秀的概率为?-35=25，而随机变量 的可能取值为0，1，2，3，P（0）=?(25)?(35)?=27125，P（1）=?(25)?(35)?=54125，P（2）=?(25)?(35)?=36125，P（3）=?(25
35、)?(35)?=8125 的分布列为0123P2712554125361258125 B（3，25），E（）325=6519四棱锥 PABCD 中，ABCD 为直角梯形，BCAD，AD DC，BCCD 1，AD 2，PAPD，E 为 PC 中点，平面PAD 平面 ABCD，F 为 AD 上一点，PA平面 BEF（）求证：平面BEF 平面 PAD；（）若PC 与底面 ABCD 所成的角为60求二面角EBFA 的余弦值【分析】（）连接AC 交 BE 与 G，连接 EG，由已知结合线面平行的性质可得PAEG，再由 E 为 PC 的中点，得 G 为 AC 的中点，则 AFG BCG，得到 AF BC=
36、12AD1，即 F 为 AD 的中点，可得四边形DCBF 为平行四边形，再由 AD DC，得 BF AD，可得 BF 平面 PAD，进一步得到平面BEF 平面 PAD；（）连接PF，证明PF底面 ABCD，又 BF AD，以 F 为坐标原点，分别以FA，FB，FP 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设P（0，0，t），由 PC 与底面ABCD 所成的角为60求解 t，然后分别求出平面ABF 与 EBF 的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角EBF A 的余弦值【解答】（）证明：连接AC 交 BE 与 G，连接 EG，PA平面 BEF，PA?平面 PAC，平面 PAC 平面
37、BEF EG，PAEG，又 E 为 PC 的中点，G 为 AC 的中点，则 AFG BCG，得 AF BC=12AD 1F 为 AD 的中点，BC FD，且 BCFD，四边形DCBF 为平行四边形，AD DC，BFAD，又 BF?平面 ABCD，平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，BF平面 PAD，又 BF?平面 BEF，平面 BEF 平面 PAD；（）解：连接PF，PA PD，F 为 AD 的中点，PF AD，又 PF?平面 PAD，平面 PAD 平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCD AD，PF底面 ABCD，又 BF AD，以 F 为坐标原点，分别以FA，
38、FB，FP 所在直线为x，y，z 轴建立空间直角坐标系，设 P（0，0，t），C（1，1，0），取平面 ABCD 的法向量?=(?，?，?)，?=(-?，?，-?)，B（0，1，0），sin60|?1?|?1|?|?|，即?2+2=32，解得 t=?设平面 EBF 的法向量为?=(?，?，?)，由?=-12?+12?+62?=?=?=?，令 z1，得?=(?，?，?)设二面角E BFA 的平面角为，则|cos|=|?1?2|?1|?|?2|=77，又 为钝角，cos?=-77即二面角E BFA 的余弦值为-7720已知点A（0，2），B 为抛物线x22y2 上任意一点，且B 为 AC 的中点，
39、设动点C的轨迹为曲线E（）求曲线E 的方程；（）A 关于 yx 的对称点为D，是否存在斜率为12的直线 1 交曲线E 于 M，N 两点，使得 MDN 为以 MN 为底边的等腰三角形？若存在，请求出 MDN 的面积；若不存在，请说明理由【分析】（）设C 的坐标，可得AC 的中点 B 的坐标，由B 在抛物线x22y2 上可得 E 的方程；（）设直线l 的方程，直线与抛物线联立求出两根之和及两根之积，可得MN 的中点P 的坐标，由 MDN 为以 MN 为底边的等腰三角形可得PD l，所以可得kDP?kl 1，求出直线l 的方程，及弦长|MN|及|DP|的值，代入面积公式求出面积解：（）设C（x，y）
40、，B（m，n），B 是 AC 的中点，则?=?2?=?+22，因为 B 为抛物线x22y2 上，所以 m22n2，即?24=2?2+?2-2，所以 x2 4y，故曲线 E 的方程为：x24y；（）由题意得D（2，0），设直线l：y=12x+t，设 M（x1，y1），N（x2，y2），将l的方程代入x24y 得 x22x4t0（*），所以 x1+x22，x1x2 4t，4+16t0，所以 M，N 的中点 P（1，12+t），因为 kDP?kl 1，所以12+?1-2?12=-1，所以 t=32符合 0，所以直线l 存在，所以（*）化为 x22x60，x1+x22，x1x2 6，所以：|MN|=?
41、+14?+?=?|DP|=?，所以 SMND=12?=52?21已知函数f（x）mlnx，g（x）=?-1?（x0）（）讨论函数F（x）f（x）g（x）在（0，+）上的单调性；（）判断当me 时 y f（x）与 yg（x）的图象公切线的条数，并说明理由【分析】（）求出导函数F（x），对m 的值分情况讨论，分别利用导函数F（x）的正负，即可得到函数F（x）的单调性；（）先利用导数的几何意义分别求出函数f（x）elnx 在点（a，elna）处的切线方程和函数g（x）=?-1?在点（b，1-1?）处的切线方程，判断yf（x）与 yg（x）的图象公切线的条数，只须判断关于b 的方程?+2?-?=?在（
42、0，+）上解的个数，令 h（x）2elnx+2?-1（x0），利用导数得到方程h（x）0 在（0，1?）及（1?，+）上各有一个根，即yf（x）与 y g（x）的图象有两条公切线解：（）由题意可知：F（x）f（x）g（x）mlnx-?-1?，x（0，+），则 F（x）=?-1?2=?-1?2，1当 m0 时，F（x）0 在（0，+）上恒成立，所以函数F（x）在（0，+）上单调递减；2当 m0 时，由 F（x）0 得：0 x1?，由 F（x）0 得：x1?，函数 F（x）在（0，1?）上单调递减，在（1?，+）上单调递增，综上所求：当m0 时，函数F（x）在（0，+）上单调递减；当m0 时，函数
43、F（x）在（0，1?）上单调递减，在（1?，+）上单调递增；（）函数 f（x）elnx 在点（a，elna）处的切线方程为yelna=?(?-?)，即 y=?+?-?，函数 g（x）=?-1?=1-1?在点（b，1-1?）处的切线方程为y（1-1?）=1?2（xb），即 y=1?2x-2?+1，若 yf（x）与 yg（x）的图象有公切线，则?=1?2?-?=?-2?，由 得 aeb2代入 整理得：?+2?-?=?，由题意只须判断关于b 的方程在（0，+）上解的个数，令 h（x）2elnx+2?-1（x0），h（x）=2?-2?2=2?-2?2，令 h（x）0，解得 x=1?，当 x(?，1?)
44、时，h（x）0，函数 h（x）单调递减；当x(1?，+)时，h（x）0，函数 h（x）单调递增，h（x）h（1?）1，h（1?2）4e+2e210，h（1）1 0，h（1?2）h（1?）0，h（1）h（1?）0，且 h（x）图象在（0，+）上连续不断，方程 h（x）0 在（0，1?）及（1?，+）上各有一个根，即 yf（x）与 yg（x）的图象有两条公切线一、选择题22已知曲线C 的极坐标方程为?=123+?2?，直线 l 的参数方程为?=?-255?=?+55?（t 为参数）（）求曲线C 的参数方程与直线l 的普通方程；（）设点P 为曲线 C 上的动点点M 和点 N 为直线 1 上的点，且|
45、MN|2，求 PMN面积的取值范围【分析】（）由?=123+?2?，得 32+2sin2 12，再由极坐标与直角坐标的互化公式可得曲线C 的普通方程，结合平方关系可得曲线C 的参数方程；直接把直线l 的参数方程中的参数t 消去，可得直线l 的普通方程；（）设P（2cos，?）到直线l 的距离为d，写出三角形面积公式，再由点到直线的距离公式求得d，利用三角函数求最值可得PMN 面积的取值范围解：（）由?=123+?2?，得 32+2sin2 12，3（x2+y2）+y212，即?24+?23=?，曲线 C 的参数方程为?=?=?（为参数）由?=?-255?=?+55?（t 为参数），消去参数t，
46、可得 x+2y80直线 l 的普通方程为x+2y8 0；（）设P（2cos，?）到直线l 的距离为d，?=12?=?，而 d=|2?+23?-8|5=|4?(?+?6)-8|54 55?12 55 PMN 面积的取值范围为4 55，12 55选修 4-5：不等式选讲23已知函数f（x）m|x2|，m R，g（x）|x+3|（）当x R 时，有 f（x）g（x），求实数m 的取值范围（）若不等式f（x）0 的解集为 1，3，正数 a，b 满足 ab2ab3m1，求 a+b的最小值【分析】（1）利用绝对值三角不等式性质（2）利用绝对值不等式解法求出m，带入得到a，b 等式，转化为只含有a 的式子后利用基本不等式可以求解解：（1）由题意得：f（x）g（x）在 x R 上恒成立，m|x+3|+|x2|恒成立，即 m（|x+3|+|x2|）min又|x+3|+|x2|（x+3）（x2）|5m5，即 m（，5（2）令 f（x）0，m|若 m0，则解集为?，不合题意；若 m0，则有 m x2m，即 x 2m，2+m又解集为x 1，3，m1ab2a b2b=2?+2?-1?，解得 a 1a+ba+2?+2?-1=?-?+4?-1+3a+b2(?-?)(4?-1)+37当且仅当a1=4?-1，即 a3 时，等号成立，此时b4a3，b4 时 a+b的最小值为7