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1、2020 届上海市浦东新区2017 级高三下学期期中二模考试数学试卷2020.05 祝考试顺利一、填空题（本大题满分54 分）本大题共有 12 题,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4 分或 5 分,否则一律得零分1设全集210,U,集合10,A,则AUC2.某次考试,5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96,则这组数据的中位数为3.若函数21xxf,则11f4.若i1是关于x的方程02qpxx的一个根（其中 i 为虚数单位,Rq,p）,则qp5.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为6.在平面
2、直角坐标系xOy中,直线l的参数方程为为参数ttytx1,圆O的参数方程为为参数sinycosx,则直线l与圆O的位置关系是7.若二项式421x展开式的第4项的值为24,则nnxxxx32lim518.已知双曲线的渐近线方程为xy,且右焦点与抛物线xy42的焦点重合,则这个双曲线的方程是 _.9.从4Nmmm，且个男生、6个女生中任选 2 个人当发言人,假设事件A表示选出的 2 个人性别相同,事件B表示选出的 2 个人性别不同如果A的概率和B的概率相等,则m10.已知函数22222axlogaxxf的零点有且只有一个,则实数a的取值集合为11.如图,在ABC中,3BAC,D为AB中点,P为CD
3、上一点,且满足ABACtAP31,若ABC的面积为233,则AP的最小值为 .12.已 知 数 列,nnab满 足111ab,对 任 何 正 整 数n均 有221nnnnnaabab,221nnnnnbabab,设113nnnncab,则数列nc的前2020项之和为 .二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案 考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分13若x、y满足010yyxyx,则目标函数yxf2的最大值为()A1 B2 C3D.414.如图,正方体ABCDDCBA1111中,E、F分别为棱AA1、BC上的点
4、,在平面11AADD内且与平面DEF平行的直线()A 有一条 B 有二条C 有无数条 D.不存在15.已知函数xcosxcosxf.给出下列结论：xf是周期函数；函数xf图像的对称中心+,0)()2（kkZ；若21xfxf,则Zkkxx21；不等式xcosxcosxsinxsin2222的解集为Zk,kxkx8581.则正确结论的序号是 ()A B C D.16.设集合1,2,3,.,2020S,设集合A是集合 S的非空子集,A中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径.那么集合 S所有直径为 71的子集的元素个数之和为()A 71 1949 B7021949 C70237 1949 D.70
5、272 1949三、解答题（本大题满分76 分）本大题共有5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为 2 的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点,且BEBP,求异面直线FP与CA所成角的大小（结果用反三角函数值表示）18（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8分.已知锐角、的顶点与坐标原点重合,始
6、边与x轴正方向重合,终边与单位圆分别交于P、Q两点,若P、Q两点的横坐标分别为55210103、（1）求 cos的大小；（2）在ABC中,cba、为三 个 内 角CBA、对 应的 边 长,若已 知角C,43Atan,且22cbca,求的值19（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8分.疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列两个条件：补助款fx（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；补助款不低于原纳税额x（万元）的50%经测算
7、政府决定采用函数模型44xbfxx（其中b为参数）作为补助款发放方案（1）判断使用参数12b是否满足条件,并说明理由；（2）求同时满足条件、的参数b的取值范围20（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.在平面直角坐标系xOy中,1F,2F 分别是椭圆22210 xyaa：的左、右焦点,直线 l 与椭圆交于不同的两点A、B,且2221AFAF.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点2F,P Q是椭圆上两点,四边形ABPQ是菱形,求直线 l 的方程；（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点2F,直线2
8、AF,l,2BF的斜率依次成等差数列,求直线 l 在y轴上截距的取值范围.21（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.若数列na对任意连续三项12,iiia aa,均有2210iiiiaaaa,则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：等差数列：,54321；等比数列：1618141211,；（2）若数列na满足对任何正整数n,均有11nanaa10a.证明：数列na是跳跃数列的充分必要条件是101a.（3）跳跃数列na满足对任意正整数n均有21195nnaa,求首项1a的取值范围.2020
9、 届浦东新区 2017级高三下学期期中二模考试数学参考答案2020.05 一、填空题（本大题满分54 分）本大题共有 12 题,1-6 题每题 4 分,7-12 题每题 5 分考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果,每个空格填对得4 分或 5 分,否则一律得零分1设全集210,U,集合10,A,则AUC22.某次考试,5名同学的成绩分别为：115,108,95,100,96,则这组数据的中位数为1003.若函数21xxf,则11f14.若i1是关于x的方程02qpxx的一个根（其中i为虚数单位,Rq,p）,则qp05.若两个球的表面积之比为41:则这两个球的体积之比为81:6.在平面直角坐
10、标系xOy中,直线l的参数方程为为参数ttytx1,圆O的参数方程为为参数sinycosx,则直线l与圆O的位置关系是相交7.若二项式421x展开式的第4项的值为24,则nnxxxx32lim518.已知双曲线的渐近线方程为xy,且右焦点与抛物线xy42的焦点重合,则这个双曲线的方程是 _12222yx_.9.从4Nmmm，且个男生、6个女生中任选 2 个人当发言人,假设事件A表示选出的 2 个人性别相同,事件B表示选出的 2 个人性别不同如果A的概率和B的概率相等,则m1010.已知函数22222axlogaxxf的零点有且只有一个,则实数a的取值集合为 1 11.如图,在ABC中,3BAC
11、,D为AB中点,P为CD上一点,且满足ABACtAP31,若ABC的面积为233,则AP的最小值为2 .12.已 知 数 列,nnab满 足111ab,对 任 何 正 整 数n均 有221nnnnnaabab,221nnnnnbabab,设113nnnncab,则数列nc的前2020项之和为 .【解】112+2nnnnnnnababab,11122nnnnnnnaba bab,12 333nnnnc,2021202033S二、选择题（本大题满分 20 分）本大题共有 4 题,每题有且只有一个正确答案 考生必须在答题纸的相应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分13若x、
12、y满足010yyxyx,则目标函数yxf2的最大值为(B )A1 B2 C3D.414.如图,正方体ABCDDCBA1111中,E、F分别为棱AA1、BC上的点,在平面11AADD内且与平面DEF平行的直线(C )A 有一条 B 有二条C 有无数条 D.不存在16.已知函数xcosxcosxf.给出下列结论：xf是周期函数；函数xf图像的对称中心+,0)()2（kkZ；若21xfxf,则Zkkxx21；不等式xcosxcosxsinxsin2222的解集为Zk,kxkx8581.则正确结论的序号是 (D )A B C D.16.设集合1,2,3,.,2020S,设集合A是集合 S的非空子集,A
13、中的最大元素和最小元素之差称为集合A的直径.那么集合 S所有直径为 71的子集的元素个数之和为(C )A 71 1949 B7021949 C70237 1949 D.70272 1949三、解答题（本大题满分76 分）本大题共有5 题,解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤17（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 7 分,第 2 小题满分 7分.如图所示的几何体是圆柱的一部分,它是由边长为 2 的正方形ABCD(及其内部)以AB边所在直线为旋转轴顺时针旋转120得到的（1）求此几何体的体积；（2）设P是弧EC上的一点,且BEBP,求异面直线FP与C
14、A所成角的大小（结果用反三角函数值表示）【解答】（1）因为34232212122rSEBC扇形（4 分）所以,38234hSV（7分）（2）如图所示,以点 B为坐标原点建立空间直角坐标系则200,A,202,F,020,P,031,C所以,222,FP,231,AC.（11 分）设异面直线FP与CA所成的角为,则ACFPACFPcos222222231222223212426.（13 分）xyz所以,异面直线FP与CA所成角为426arccos.（14 分）18（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8分.已知锐角、的顶点与坐标原点重合,始边与x
15、轴正方向重合,终边与单位圆分别交于P、Q两点,若P、Q两点的横坐标分别为55210103、（1）求 cos的大小；（2）在ABC中,cba、为三 个 内 角CBA、对 应的 边长,若已 知角C,43Atan,且22cbca,求的值【解答】（1）由已知3 10102 55cos=sin=cos,sin101055，(2分)因而3 10251052cos(+)=coscossinsin1051052（6分）（2）法一：（正弦定理）由已知,22,cos,sin422CCC.(7 分)324272sinsin()sin()4525210BACA(10 分)222291sinsin1252=sinsin
16、5722102acACbcBC(14 分)法二：（余弦定理）2222cosacbbcA,因而由已知得247 228sin8815102cos=5sin55522bcbBbbcAbcccC法三：（余弦定理、正弦定理）2coscos()410BC因而由余弦定理得：2222222cos22coscos1022cosbacacBacBbCcbcababC同理2222222cos42coscos522cosabcbcAbcAaCcacababC得3 27,55cac b得221=2acbc法四：（射影定理）可得22coscos102acBbCcb,42coscos52bcAaCca下同解法二19（本题满
17、分 14 分）本题共有 2 个小题,第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8分.疫情后,为了支持企业复工复产,某地政府决定向当地企业发放补助款,其中对纳税额在3万元至6万元（包括3万元和6万元）的小微企业做统一方案方案要求同时具备下列两个条件：补助款fx（万元）随企业原纳税额x（万元）的增加而增加；补助款不低于原纳税额x（万元）的50%经测算政府决定采用函数模型44xbfxx（其中b为参数）作为补助款发放方案（1）判断使用参数12b是否满足条件,并说明理由；（2）求同时满足条件、的参数b的取值范围【解答】（1）法一：因为当12b时,33342f,所以当12b时不满足条件（6分）法二：由条
18、件可知12144,1242xfxxxx因为 34,12,所以当12b时不满足条件（6 分）法三：由条件可知2xfx在 3,6 上恒成立,所以2max144bxx,解得394b,所以当12b时不满足条件（6 分）(注：如果证明了当12b时满足条件得 2 分)（2）法一：由条件可知,fx 在 3,6 上单调递增,则对任意1236xx时,有1212121212124()()44()0444xxx xbbbf xf xxxxxx x恒成立,即1240 x xb1214bx x 恒成立,所以94b；（10 分）由条件可知,2xfx,即不等式1442xbxx在 3,6 上恒成立,所以2max139444b
19、xx（13 分）综上,参数 b 的取值范围是9 39,44（14分）法二：由条件可知,44xbfxx在 3,6 上单调递增,所以当0b时,满足条件；当0b时,得23b904b,所以94b（10 分）由条件可知,2xfx,即不等式44xbx在 3,6 上恒成立,所以34436446bb,得394b（13 分）综上,参数 b 的取值范围是9 39,44（14分）20（本题满分 16 分）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 6 分.在平面直角坐标系xOy中,1F,2F 分别是椭圆22210 xyaa：的左、右焦点,直线 l 与椭圆交于不同的两点
20、A、B,且2221AFAF.（1）求椭圆的方程；（2）已知直线 l 经过椭圆的右焦点2F,P Q是椭圆上两点,四边形ABPQ是菱形,求直线 l 的方程；（3）已知直线 l 不经过椭圆的右焦点2F,直线2AF,l,2BF的斜率依次成等差数列,求直线 l 在y轴上截距的取值范围.【解答】（1）由12AF+AF=2 2 可得222a,从而2a,椭圆方程为2212xy.(4 分)（2）由于四边形ABPQ是菱形,因此/ABPQ且|ABPQ.由对称性,1F在线段PQ上.因此,AP BQ分别关于原点对称；并且由于菱形的对角线相互垂直,可得APBQ,即OAOB.(6 分)设:1lxmy,与椭圆方程联立可得22
21、(2)210mymy,设,因此12222myym,12212y ym.(8 分)由12120 x xy y,可得22212122212(1)()11022mmmy ym yymm,解得2m,即直线方程为210 xy.(10 分)（3）设:lykxb,由122kkk,可得1212211yykxx,即1212211kxbkxbkxx.化简可得1212122()()22(1)(1)kx xbkxxbk xx,即12()(2)0bkxx.若0bk,则:lykxk经过2F,不符,因此122xx.(12 分)联立直线与椭圆方程,222(21)4(22)0kxkbxb.因为228(21)0kb由122422
22、1kbxxk,可得,2212kbk (14 分)将代入,2221421,2kkk；再由11(2)2bkk,可得,(,2 2)(2 2,)b.(16 分)21（本题满分 18 分）本题共有 3 个小题,第 1 小题满分 4 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题满分 8 分.若数列na对任意连续三项12,iiia aa,均有2210iiiiaaaa,则称该数列为“跳跃数列”.（1）判断下列两个数列是否是跳跃数列：等差数列：,54321；等比数列：1618141211,；（2）若数列na满足对任何正整数n,均有11nanaa10a.证明：数列na是跳跃数列的充分必要条件是101a.（3）跳跃数
23、列na满足对任意正整数n均有21195nnaa,求首项1a的取值范围.【解答】（1）等差数列：1,2,3,4,5,.不是跳跃数列；(2 分)等比数列：1 1111,.2 48 16是跳跃数列.(4 分)（2）必要性：若11a,则na是单调递增数列,不是跳跃数列；若11a,na是常数列,不是跳跃数列.(6 分)充 分性：下 面 用 数学 归纳 法 证 明：若101a,则对 任何 正 整 数n,均有2121222221,nnnnnnaaaaaa成立.（1）当1n时,112111aaaaa,213112aaaaaa,1212131111,aaaaaaaaQ,231aaa (8 分)321231111
24、342,aaaaaaaaaaaaQ,所以1n命题成立 (9 分)（2）若nk时,2121222221,kkkkkkaaaaaa,则22221212322,kkkaaakkkaaaaaa,212322222423,kkkaaakkkaaaaaa,所以当1nk时命题也成立(10 分)根据数学归纳法,可知命题成立,数列满足2210iiiiaaaa,故na是跳跃数列.（3）2111955nnnnaaaa,22211519195125nnnnnnaaaaaa,(11 分)22123195125nnnnnnaaaaaa,(12 分)1 若1nnaa,则12nnnaaa,此时5101,22na；(14 分)2 若1nnaa,则12nnnaaa,此时51013,2na；(16 分)若5101,22na,则211951013,52nnaa,所以2,2na.若51013,2na,则21192,25nnaa,所以3,21na.所以12,23,21aU,此时对任何正整数n,均有2,23,21naU (18 分)2020 届上海市浦东新区2017 级高三下学期期中二模考试数学试卷