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1、衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 1 页 共 9 页衡阳市 2020 届高三第一次联考数学（理科）参考答案1.【答案】C【解析】依题意，0,1A，0,B，所以1,ACB，故选C.【命题意图】本题考查一元二次不等式的解法，指数不等式的解法以及补集的运算，属于基础题.2.【答案】B【解析】iz1，所以21122zz，所以iizz222212，所以复数zz的实部是22虚部是22，故选B.【命题意图】源于教材的基础题，本题考查复数几何意义、复数的模、共轭复数、复数除法运算以及复数实部、虚部的概念，属基础题.3.【答案】A【解析】由题意知，Rx使得axxx3sin2cos3sin，知2,
2、2a，选A【命题意图】此题重在考查三角函数与简易逻辑的交汇、辅助角公式的应用，属于中档题4.【答案】B【解析】fxfx，则函数yfx为偶函数，函数yfx在区间,0内单调递增，在该函数在区间0,上为减函数，1122log3log 10，由换底公式得122log 3log 3，由函数的性质可得2log 3af，对数函数2logyx在0,上为增函数，则22log 3log 21，指数函数2xy为增函数，则1.2100222，即1.210212，1.22102log 32，因此，bca.【命题意图】本题考查利用函数的奇偶性与单调性比较函数值的大小关系，同时也考查了利用中间值法比较指数式和代数式的大小关
3、系，涉及指数函数与对数函数的单调性，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.5.【答案】D【解 析】2()202abaaa ba ba b，因 此a在b方 向 上 的 投 影 为122,cosbbabaa.衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 2 页 共 9 页【命题意图】本题结合向量数量积的几何运算考查向量的投影的概念，属于基础题型.6.【答案】A【解析】设所选 2 部专著中至少有一部是魏晋南北朝时期专著为事件A，所以9221025CCAp，因此979211ApAp，故选A【命题意图】本题考查了超几何分布以及对立事件的概率，旨在考查学生的分析转化题意，求解运算能力.7.【答案】
4、A【解析】二项式310mxm的展开式的通项公式得221213231xmmxCT第二项的系数为3，233m，21m，0m，解得1m当1m时，则11010eedxexx，故选A【命题意图】本题考查了二项式定理与微积分基本定理的应用，属于中档题旨在考查考生的分析转化能力，逻辑推理，求解运算能力.8.【答案】C【解析】如图，作直线0yx，当直线上移与圆22(1)1yx相切时，yxz取最大值，此时，圆心(0,1)到直线0zyx的距离等于1，即121z，解得 z 的最大值为：21，当下移与圆224xy相切时，yxz取最小值，同理22z，即 z 的最小值为：22，所以21,22z故选C【命题意图】本题考查线
5、性规划的数据应用，考查数形结合思想以及计算能力；考查分析问题解决问题的能力.9.【答案】D【解析】对于函数：0.04yx，当100 x时，43y不合题意；对于函数：1.0151xy，当100 x时，3.4323y不合题意；对于函数：tan119xy，不满足递增，不合题意；对于函数：11log310yx，满足：(6,100 x，增函数，且111111log3 100 10log 290log 13313y，结合图象：2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 3 页 共 9 页符合题意，故选D.【命题意图】本题结合现实生
6、活情境，考查函数模型的应用.解题关键在于弄清题目给定规则，依次用四个函数逐一检验，属于中档题10.【答案】D【解析】不妨设过点0,1cF与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为cybax，与另一条渐近线xaby的交点为abccM2,2，由021MFMF得02,232,2abccabcc，即有322ab，又因为2122abe，故选D.【命题意图】本题涉及双曲的渐近线、离心率等基本量的计算，旨在考查学生的数形结合思想，分析转化能力另外021MFMF等价于点M在以线段21FF为直径的圆外，于是也可以由cOM获得结论.11.【答案】Cxxxxxxxf2020sin232020cos212020cos212
7、020sin2332020cos62020sin62020sin22020cos2020sin3xxxmax2Afx，又存在实数12,x x，对任意实数x总有12fxfxfx成立，21maxmin2,2fxfxfxfx，作出函数xf的图象，由图可知，221xx的最小值即为函数xf最大负零点0 x的绝对值0 x，而202060 x，于是有12|Axx的最小值为30302202062，故选C.【命题意图】本题主要考查公式三角函数的图象和性质以及辅助角公式的应用，重在考查学生数形结合思想以及直观想象核心素养.12.【答案】B【解析】取1AB的中点K，AD的中点O，连接KM，KN，1OB，ON，显然A
8、NBCM1/平面,故正确；2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 4 页 共 9 页25211222121KBNBNKCM，故错误；1KNB即为异面直线CM与1NB所成角，21tan111NBKBKNB，故错误；显然O为三棱锥ANDB1外接球球心，且1OAR,故正确，综上，正确，选B.【命题意图】本题考查翻折过程中点线面位置关系、相关角度、长度、体积的计算旨在考查考生的直观想象、数学运算核心素养.13.【答案】31【解析】由xxy12，有31a，从而31a【命题意图】题主要考查导数的几何意义、两直线的位置关系，属于
9、容易题14.【答案】2【解析】由余弦定理得：222222cos2cos2bcaAbcabcAbc，由面积公式1sin2SbcA在ABC的面积S满足222334acbS，可得3tan A，3A，即23sin A，再由正弦定理：22sinRAa，有22sinsinRCAca.【命题意图】本题主要考查了正余弦定理的合理运用，熟悉公式及化简是解题的重点，属于较为基础题.15.【答案】8【解析】抛物线24yx的焦点(1,0)F，设2211,yxByxA，直线AB方程为Rmmyx,1，由xymyx412得0442myy，于 是 有442121yymyy，根 据 题 意 有4421myy，32222121y
10、ymxxt，所以8132AB.【命题意图】本题主要考查抛物线的简单性质，以及抛物线与直线的位置关系.解答直线与抛物线位置关系的问题，其常规思路是先把直线方程与抛物线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题16.【答案】1m【解析】解法1：由题意对任意的,3x，不等式mexx13ln恒成立，则3ex时，不等式mexx13ln也成立，代入3ex得3eem，则1m，这是满足题意的一个必要条件，又m为整2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 5 页 共 9 页数，只需验证1m时，对任意的,3x，不
11、等式mexx13ln恒成立，即证113lnexx，变形为xex13ln对任意的,3x恒成立，令xexxg13ln，,3x，则33xexexg，故xg在,3e递减，,33e，递增，03113eegxg，xex13ln对任意的,3x恒成立，故1m满足题意.（此法参照端点效应，小题可用）解法 2：记xxxf3ln，则23ln3xxxxxf，令3ln3xxxx，于是有031332xxx，x在,3上单减，又02ln2477，05ln588，8,70 x，使得41,51313ln000maxxxxxf，故有411me，4me，1maxm.【命题意图】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化
12、思想，运用导数工具解决含参数不等式恒成立问题关键是探寻到一个使命题成立的必要条件，这是解决此类题的常用手段，属于难题三、解答题17.【解析】（1）设公差为d，由题意得：1353699211dada，解得133ad，3nan.5 分（2）令nnnac213112则6101ccn611TTn，8分又31211312112112131nnnT1163nT12 分【命题意图】考查等差数列的基本量计算和数列的单调性，以恒成立思想为载体，旨在考查考生的知识的化归与转化能力，求解运算能力.18.【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接EF，OF，在DAC中DADC，DOAC.由平面DAC平面ABC，且交线为
13、AC得DO平面ABC.O，F分别为AC，BC的中点，ABOF/，且2ABOF.又ABDE/，2ABDE，OFDEP，且OFDE.四边形DEFO为平行四边形.DOEF/，EF平面ABC.4 分（2）DO平面ABC，ACBC，以O为原点，OA所在直线为x轴，过点O与CB平行的直线为y轴，OD 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系.则1,0,0A，1,0,0C，1,4,0B.EF平面2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 6 页 共 9 页ABC，直线 BE 与平面ABC所成角60EBF.tan602 3DOEFBFo.
14、0,0,2 3D，32,2,1E，可取平面ABC的法向量1,0,0m，设平面DCE的法向量,nx y z，有32,0,1CD，32,2,0CE，则0322032zyzx，取1z，则2 3x，3y，所以有1,3,32m，于是41411,cosnmnmnm，故所求二面角的余弦值为41.12 分【命题意图】本题背景为底面为直角三角形的棱柱切去部分结构剩下几何体，对几何体中线面垂直、线线平行判定和性质、二面角平面角求法都有具体考查.旨在考查考生的空间想象、转化、求解运算能力.19.【解析】（1）三角形NMF1的周长为244a，又22ace，222abc，得22a，12b，故所求椭圆方程为1222yx.
15、5 分（2）设1122(,),(,)M xyN xy由22112xmyxy得22(2)210mymy12122221,22myyy ymm直线NK的方程：223()322yyxx，令1yy，则有8 分1221212222221313()2()()3222222myyyy xy myymxyyy22222222mmymmyNH与2l交点的横坐标为定值2.12 分【命题意图】着重考查解几中“可变图形中的不变性”这一核心内容.考查考生的分析转化，数据处理能力.20.【解析】（1）解：当ea时，由xxf得，0ln xeexxex，令xeexxexFxln)(其定义为),0(，从而有212)(1()(x
16、xexexeexexexFxxx，易知xex 1在0 x时恒成立.故当)1,0(x时，0)(xF，)(xF在)1,0(上单调递减，当),1(x时，0)(xF，)(xF在),1(上单调递增，所以01ln)1()(mineeeFxF.所以方程0ln xeexxex有唯一实数根10 x，故2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 7 页 共 9 页xf有唯一不动点.6 分（2）解法1：xf有两个不动点等价于函数xeaxexhxxln在，0上有两个不同的零点，令exetx，则有tattgxhln)()(，函数)(xh有两个零
17、点等价于函数)(tg在),(e上有唯一零点，即方程ttaln1在),(e上有唯一解，考虑)(ln)(etttth，因01ln)(2ttth.)(th在),(e上单调递增，且0)(limthx，从而011ae，ea.12 分（0)(limthx处不够严谨，酌情扣2 分）解 法2：先 证 明2(0)xexx.令()2,xxex则()2,()2xxxexxe.当(0,ln 2)x时,()0,(ln 2,)xx当时()0 x，从而()(ln 2)0 x.因此，2()xxex在(0,)上单调递增，故()(0)0,x所以2(0)xexx,即2ln(0)xx x.()f x有两个零点等价于ln()lnxxe
18、g xaxx有两个零点，ln2(ln1)(1)()(ln)xxexxxg xx xx，7分易 知lnln0,1ln0 xxxeexxx.当(0,1)x时，()0gx，当(1,)x时，()0g x，所 以 有min()(1)g xgea.9 分下 面 说 明 当ae时ln()lnxxeg xaxx有 两 个 零 点.取1(0,1)axe有111lnlnxxxa，故11ln11111()ln0lnxxeg xaxxaxx.取2(1,)axe，且222lnlnxxxa，故22ln22222()ln0lnxxeg xaxxaxx.又(1)0gea，由零点存在性定理知()f x在(0,1)存在唯一3x，
19、使3()0g x在(1,)内存在4x使4()0g x，综上有ae.12 分解法 3：由xxf得，0lnlnxxaexx，令xxxtln，则xxxt1，显然xxxtln在1,0上 单 减，在,1上 单 增，从 而11mintxt，令1tatetgt，根 据 题 意 知，1tatetgt在,1上有唯一零点.(1)当0a时，0tg恒成立，无零点，不符合题意；(2)当2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 8 页 共 9 页0a时，令0aetgt，有atln，由0lnag得ea，此时01aeg，接下来只需在,1上找一点0t
20、，使得00tg即可.因为02ttet，从而02attatet，即0at，at，取at0，不妨取at20，有02ag，所以tg在01t，上存在唯一零点，即xxf有两个不同实根，故ea.【命题意图】本题以不动点理论背景命制试题.涉及利用导数研究函数形态，切线放缩“xex 1”、“exex”、同型同构、变量分离求参数等方法的应用.重在考查考生的函数思想，求解运算能力.21.【解析】（1）旧政策下该收入层级的IT从业者每月应纳的个税为1500 0.033000 0.14500 0.2 11500 0.2541201 分（2）依据新政策，既不符合子女教育扣除也不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为2
21、4000 5000 100018000，月缴个税3000 0.03 9000 0.16000 0.22190X；只符合子女教育扣除但不符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为24000 5000 1000 100017000，月缴个税3000 0.03 9000 0.1 5000 0.21990X；只符合赡养老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月应纳税所得额为240005000 1000200016000，月缴个税3000 0.039000 0.14000 0.21790X；既符合子女教育扣除又符合赡养老人扣除的人群每月应纳税所得额为240005000 1000 1000200015000，月
22、缴个3000 0.03 9000 0.1 3000 0.21590X；所以X的可能值为2190，1990，1790，1590，依题意，上述四类人群的人数之比是2:1:1:1，所以221905PX，119905P X，117905P X，115905P X，9 分所以X的分布列为X2190199017901590P15151525所以1830521590511790511990512190XE.10 分（3）因为在新政策下该收入层级的IT从业者2019年月缴个税为1830，所以该收入层级的IT从业者每月少缴交的个税为229018304120，设经过x个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和
23、就超过24000，则240002290 x，因为xN，所以11x.所以经过 11 个月，该收入层级的IT从业者少缴交的个税的总和就超过2019 年的月收入.12 分2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考理科数学试题第 9 页 共 9 页【命题意图】本道题结合“个税新政”这个话题考查了离散型随机变量的分布列与数学期望、样本估计总体的统计思想，综合性程度较高，着重对学生数据分析、数学运算能力的考查.22.【解析】（1）由tytx3331,(t为参数),消参数t化简得普通方程:03yx,令cosx,siny,即0sincos3化简得3
24、tan,即3即得曲线2C的极坐标方程为R3.5分（2）由已知，不妨 设34,3,BABA，于是2313sin1aaA，23134sin1aaB，故aAB2.10分【命题意图】本题考查了参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，利用极坐标解决长度问题，旨在考查学生应用知识能力、等价转化能力23.【解析】（1）由题意知，mxx6恒成立，又666xxxx，所以实数m的取值范围是6m.5分（2）解法 1：由（1）可知，6222cba，所以9111222cba从而111111222cba11111111191222222cbacba16391111111111111391222222222222cbbccaacbaab，当且仅当3111222cba，即2222cba时等号成立，证毕.10分解法 2：由权方和不等式，11111111111111111112222222222222cbacbacba解法 3：由柯西不等式，22222222111111111111ccbbaa222222222222111111111cbacba从而有，11111111111112222222cbacba.10分【命题意图】本题考查了三角不等式、三元均值不等式的应用，重在考查考生数学建模、运算求解能力.2020届湖南省衡阳市2017级高三下学期第一次模拟联考数学（理）试卷