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1、高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-1-天津市西青区2019-2020 学年度第一学期期末考试高三数学试卷一、选择题：本大题共8 小题，每小题 5 分，共 40 分，在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合题目要求的.将正确箸案填在下面的括号内.1.若集合 A1,0,1,2,3,5，集合 B2,3,4,5,6,7，则集合A B 等于（）A.2B.2，3C.2，3，5D.2，3，5，7【答案】C【解析】【分析】根据集合的交运算即可求得结果.【详解】因为 A1,0,1,2,3,5，B2,3,4,5,6,7，A B2,3,5 故选：C【点睛】本题考查集合的交运算，属基础题.2.在 ABC 中，角 A
2、,B,C 的对边分别为a,b,c,ABC 的面积为S，且 2S（a+b）2c2，则 tanC（）A.34B.43C.43D.34【答案】C【解析】【分析】利用面积公式，以及余弦定理对已知条件进行转化，再利用同角三角函数关系，将正余弦转化为正切，解方程即可求得.【详解】ABC 中，S ABC12ab sinC，由余弦定理：c2 a2+b22abcosC，且 2S（a+b）2c2，absinC（a+b）2（a2+b22abcosC），整理得 sinC2cosC2，（sinC2cosC）2 42222sinCcosCsin Ccos C4，化简可得3tan2C+4tanC0高中学习讲义只要坚持梦想终
3、会实现-2-C（0，180），tanC43，故选：C【点睛】本题考查余弦定理以及面积公式的使用，涉及同角三角函数关系，属基础题.3.设a，Rb，则“ab”是“2()0ab a”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据充分条件和必要条件的定义结合表达式的性质进行判断即可【详解】解：若 a0，b1，满足 ab，但（ab）a20 不成立，若“（ab）a20，则 a b 且 a0，则 ab 成立，故“ab”是“（ab）a20”的必要不充分条件，故选 B【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系进行判断即可4.已知
4、alog23log23，blog0.5，c0.91.1，则（）A.cabB.abcC.acbD.bca【答案】A【解析】【分析】将数据与0 或者 1 进行比较，从而区分大小.【详解】alog2132log23（12，1），blog0.5 0，c0.91.11cab故选：A【点睛】本题考查指数式，对数式的比较大小，一般地，我们将数据与0 或者 1 进行比较，从而区分大小.高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-3-5.正整数的排列规则如图所示，其中排在第i 行第 j 列的数记为ija，例如43a9，则64 4a等于（）A.2018B.2019C.2020D.2021【答案】C【解析】【分析】根据题目中
5、已知数据，进行归总结，得到一般性结论，即可求得结果.【详解】根据题意，第1 行第 1 列的数为 1，此时11a11 1211，第 2 行第 1 列的数为2，此时21a221212，第 3 行第 1 列的数为4，此时31a331214，据此分析可得：第64 行第 1 列的数为64 1a64641212017，则64 4a2020；故选：C【点睛】本题考查归纳推理能力，要善于发现数据之间的规律，属基础题.6.双曲线22221(0,0)xyabab的左右焦点分别为1F、2F，渐近线为12,l l，点 P 在第一象限内且在1l上，若2122,lPF lPF则双曲线的离心率为（）A.3B.2C.5D.2
6、【答案】B【解析】分析：分别求得双曲线的两条渐近线的方程，设出点P 的坐标，根据直线的斜率公式，求得直线1PF的斜率及直线2PF的斜率，根据直线平行及垂直的关系，即可求得,a b的关系，根据高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-4-双曲线的离心率公式，即可求得双曲线的离心率.详解：设双曲线渐近线1l的方程为byxa，2l的方程为byxa，则设 P 点坐标为(,)bxxa，则直线1PF的斜率10()bxbxakxca xc，直线2PF的斜率20()bxbxakxca xc，由21lPF，则()1()bxba xca，即221()b xaxc（1）由22lPF，则()bxba xca，解得2xc（2）
7、，联立（1）（2），整理得：223ba，由双曲线的离心率2212cbeaa，所以双曲线的离心率为2，故选 B.点睛：该题考查的是有关双曲线的离心率的求解问题，在解题的过程中，需要先设出点P 的坐标，利用两点斜率坐标公式，将对应的直线的斜率写出，再利用两直线平行垂直的条件，得到,a b的关系，之后借助于双曲线中,a b c的关系以及离心率的公式求得结果.7.设函数 f（x）sin（x+）3cos（x+）（0，|2）的图象与直线y2 的两个相邻的交点之间的距离为，且 f（x）+f（x）0，若 g（x）sin（x+），则（）A.g（x）在（0，2）上单调递增B.g（x）在（0，6）上单调递减C.g（
8、x）在（12，512）上单调递增D.g（x）在（6，2）上单调递减【答案】C【解析】【分析】根据fx的奇偶性和周期性求得参数，再求g x的单调区间即可.【详解】函数f（x）sin（x+）3cos（x+）2sin（x+3）由于函数的图象与直线y2 的两个相邻的交点之间的距离为，所以 T，解得 2高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-5-由于 f（x）+f（x）0，所以函数为奇函数所以3k（kZ），由于|2，所以当 k0 时，3所以 g（x）sin（2x3）令：222232kxk（kZ），解得：51212kxk（kZ），当 k0 时，g（x）在（12，512）上单调递增故选：C【点睛】本题考查由三角函
9、数的性质求解三角函数的解析式，以及正弦型三角函数的单调区间.8.已知32log,031108,333xxfxxxx,a b c d,是互不相同的正数,且fafbfcfd,则abcd的取值范围是（）A.18,28B.18,25C.20,25D.21,24【答案】D【解析】试 题 分 析：不 妨 设abcd，由 图 像 知1,10,34abcdc，所 以2(10)(5)25(21,24)abcdccc，选 D.考点：函数图像【思路点睛】（1）运用函数图象解决问题时，先要正确理解和把握函数图象本身的含义及其表示的内容，熟悉图象所能够表达的函数的性质.（2）在研究函数性质特别是单调性、最值、零点时，要
10、注意用好其与图象的关系，结合图象研究.二、填空题：本大题共6 小题，每小题 5 分，共 30分把答案填在题中横线上.9.已知 i 为虚数单位，z21i，则|z|_【答案】2高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-6-【解析】【分析】通过复数的除法，先计算出复数z，再计算其模长即可.【详解】z2 121111iiiii，|z|2故答案为：2.【点睛】本题考查复数的除法以及复数模长的计算，属基础题.10.在某市“创建文明城市”活动中，对800 名志愿者的年龄抽样调查统计后得到频率分布直方图(如图)，但是年龄组为25,30的数据不慎丢失，据此估计这800 名志愿者年龄在25,30的人数为 _【答案】160
11、【解析】试题分析：设年龄在25,30的志愿者的频率是p，则有50.0150.0750.0650.021p，解得0.2p，故区间25,30内的人数是800 0.2160.考点：频率分布直方图.11.在一次医疗救助活动中，需要从A 医院某科室的6 名男医生、4 名女医生中分别抽调3 名男医生、2 名女医生，且男医生中唯一的主任医师必须参加，则不同的选派案共有_种.(用数字作答)【答案】60【解析】高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-7-【分析】首先选派男医生中唯一的主任医师，由题意利用排列组合公式即可确定不同的选派案方法种数.【详解】首先选派男医生中唯一的主任医师，然后从5名男医生、4名女医生中分别
12、抽调2 名男医生、2名女医生，故选派的方法为：225410660C C.故答案为60【点睛】解排列组合问题要遵循两个原则：一是按元素(或位置)的性质进行分类；二是按事情发生的过程进行分步具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)12.已知四面体PABC 的外接球的球心O 在 AB 上，且 PO平面 ABC，2AC3AB，若四面体 PABC 的体积为32，则该球的体积为 _【答案】4 3【解析】【分析】根据四面体是球的内接四面体，结合位置关系，可得棱锥的形状，以及棱长之间的关系，利用体积公式即可代值计算.【详解】设该球的半径为R，则 A
13、B2R，2AC3AB32R，AC3R，由于 AB 是球的直径，所以 ABC 在大圆所在平面内且有ACBC，在 Rt ABC 中，由勾股定理，得：BC2AB2AC2R2，所以 RtABC 面积 S12BC AC32R2，又 PO平面 ABC，且 POR，四面体 PABC 的体积为32，VPABC13R32R232，即3R39，R333，所以：球的体积V43 R3433343 高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-8-故答案为：4 3.【点睛】本题考查三棱锥外接球体积的计算，属基础题；本题的重点是要根据球心的位置去推导四面体的几何形态，从而解决问题.13.已知 ab0，a+b3，则2221baab的最
14、小值为 _【答案】32【解析】【分析】根据3ab，巧妙配凑出1，使得均值不等式可以使用，再用均值不等式求解最小值.【详解】ab0，a+b3，a+2+b+16则221216baab（a+2）+（b+1）2221baab222212116216bbaaababa2+b2+2ab213()62ab，当且仅当b（b+1）a（a+2），a+b 3，即53b，a43时取等号故答案为：32【点睛】本题考查均值不等式的使用，重点是1 的配凑，属基础题.14.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，1OBODOC，0OBOCOD，A（1，1），则AD OB的取值范围为_【答案】122，122【解析】【分析】用,OD
15、 OA向量表示AD，将问题转化为求解,OA OB向量夹角范围的问题，即可求解.【详解】因为BCD是单位圆的内接等边三角形，故AD OB=ODOAOBOD OBOA OB120,OD OB cosOA OB cos OA OB高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-9-12,2cos OA OB又因为,0,OA OB故,1,1cos OA OB则112,222AD OB.故答案为：112,222.【点睛】本题用用向量求解范围问题，涉及到向量的数量积运算，属基础题.三、解答题：本大题共6 小题，共 80 分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15.在 ABC 中，内角 A,B,C 所对的边分别为a
16、,b,c 已知 a2,c3，又知 bsinAacos（B6）（）求角B 的大小、b 边的长：（）求sin（2AB）的值【答案】（）B3，b7；（）3 314【解析】【分析】（1）将已知条件利用余弦的差角公式展开，再利用正弦定理将边化角，整理后得到角B，再利用余弦定理，求得b边即可；（2）由（1）中所求，结合正弦定理，即可求得,sinA cosA，再利用正弦的差角公式以及倍角公式展开代值计算即可.【详解】（）bsinAacos（B6）bsinAa（32cosB12sinB），由正弦定理可得sinBsinAsinA（32cosB12sinB），sinA0，sinBsinAsinA（32cosB12
17、sinB），可得 sin（B3）0，高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-10-B（0，），B3（3，23），B30，可得 B3a2，c3，由余弦定理可得b2212492 2372acaccosB（）B3，a2，b7由正弦定理absinAsinB，可得 sinA217a sinBb，cosA22717sin A，sin2A 2sinAcosA4 37，cos2A2cos2A117，sin（2AB）sin2AcosBcos2AsinB4 31133 3727214【点睛】本题考查三角恒等变换，以及利用正余弦定理解三角形，涉及倍角公式，正余弦和差角公式，属综合性基础题.16.为弘扬中华优秀传统文化，某
18、中学高三年级利用课余时间组织学生开展小型知识竞赛比赛规则：每个参赛者回答A、B 两组题目，每组题目各有两道题，每道题答对得1 分，答错得0 分，两组题目得分的和做为该选手的比赛成绩小明估计答对A 组每道题的概率均为34，答对 B 组每道题的概率均为23（）按此估计求小明A 组题得分比B组题得分多1 分的概率；（）记小明在比赛中的得分为，按此估计 的分布列和数学期望E【答案】（）724；（）分布列见详解，176【解析】【分析】（1）分析满足题意的事件，然后分别计算出概率，再用概率加法公式计算即可；（2）先根据题意求得 可取的值，再根据题意，分别求出概率，通过分布列计算数学期望即可.【详解】（）设
19、小明A 组题得 1 分，B 组题得 0 分为事件M，A 组题得 2 分，B 组题得 1 分为事件N，高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-11-则小明 A 组题得分比B 组题得分多1 分的概率：P（MN）P（M）+P（N）1212223322231(1)1()443334CC724（）由题意小明在比赛中的得分 的可能取值为0，1，2，3，4（单位：分）则 P（0）（134）2（123）21144，P（1）12122233222351(1)1(1)44333472CC，P（2）222211223232223337()(1)(1)()1143433344144CC，P（3）2112223223325(
20、)11()43344312CC，P（4）（34）2（23）214，的分布列为：01234P11445723714451214E1537511701234144721441246【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，属基础题；此类题目要认真分析题意，搞清楚每个事件背后的具体情况，是重中之重.17.已知 an 为等差数列，前 n 项和为 Sn（nN*），bn 是首项为 2 的等比数列，且公比大于0，b2+b312，b3a42a1，S1111b4（）求 an和 bn 的通项公式；（）求数列an?bn的前 n项和为 Tn（nN*）【答案】（）an3n 2，bn2n；（）Tn（6n7）
21、?2n+4【解析】高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-12-【分析】（1）根据题意，用等差数列和等比数列的基本量解方程，从而计算出数列的公差和公比即可求得通项公式；（2）根据通项公式的特点，选用错位相减法求数列的前n项和.【详解】（）由题意，设等差数列an的公差为 d，等比数列 bn 的公比为q，则 q 0故 2q（1+q）12，解得 q2，由题意，得11132811 101111 162adaad，解得113adan1+3（n1）3n2；bn 2?2n1 2n（）由（）知，an?bn（3n2）?2nTna1b1+a2b2+anbn1?2+4?22+（3n2）?2n，2Tn 1?22+4?23+
22、（3n5）?2n+（3n2）?2n+1，得Tn1?2+3?22+3?23+3?2n（3n2）?2n+12+6?（2+22+2n1）（3n2）?2n+12+6?12(12)12n（3n2）?2n+1（106n）?2n10Tn（6n 10）?2n+10【点睛】本题考查用基本量求解数列的通项公式，以及错位相减法求解数列的前n项和，属基础题.18.如图，在多面体ABCDEF 中，四边形 ABCD 为平行四边形，平面 ADE平面 CDEF，ADE60，DECF，CDDE，AD 2，DEDC3，CF 4，点 G 是棱 CF 上的动点（）当CG3 时，求证EG平面 ABF；（）求直线BE 与平面 ABCD
23、所成角的正弦值；（）若二面角GAED 所成角的余弦值为2211，求线段CG 的长高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-13-【答案】（）证明见详解；（）3 38；（）4233CG【解析】【分析】（1）通过证明直线ABEG，从而由线线平行推证线面平行；（2）过 A 作 DE 垂线 AO，以O为坐标原点，建立空间直角坐标系，求出平面的法向量以及直线的方向向量，从而求解线面角的正弦值；（3）由（2）中所建的直角坐标系，根据二面角GAE D 所成角的余弦值，求得G 点的坐标，即可求得CG 的长度.【详解】（）证明：由已知得CGDE 且 CGDE，故四边形CDEG 为平行四边形，CDEG，四边形ABCD 为
24、平行四边形，CDAB，ABEG，又 EG?平面 ABF，AB?平面 ABF，EG平面 ABF（）过点A 作 AODE 交 DE 于点 O，过点 O 作 OKCD 交 CF 于点 K由（1）知平面 ADE 平面 CDEF，平面 ADE平面 CDEF DE，AO?平面 ADE，AO平面 CDEF，CDDE，OKDE，以 O 为原点建立如图的空间直角坐标系，高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-14-则 D（0，1，0），E（0，2，0），C（3，1，0），F（3，3，0），0 03A，D（0，1，0），3,0,0,0,1,33,2,3DCDABE，设平面 ABCD 的法向量为,mx y z，即030
25、xyz，令 z 1，则3y，0,3,1m，直线 BE 与平面 ABCD 所成角的正弦值为3 38，（）由题意得，G（3，4 1，0）0,2,33,43,0AECE，设平面 AEG 的法向量为,px y z，即2303430yzxy，令 y3，则2 3z，x34，34,3,2 3p，容易得平面AED 的法向量为1,0,0q，故可得24322114321，解得214(43)3，42433，|CG|CF|44233，高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-15-|CG|4，4233CG【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及由向量法求解线面角，利用二面角的大小求解线段的长度，属综合性中档题；本题的难点
26、在于坐标系的选择.19.已知椭圆C：2222=1xyab（ab0），四点 P1（1,1），P2（0,1），P3（1，32），P4（1，32）中恰有三点在椭圆C上.（）求C的方程；（）设直线l 不经过 P2点且与 C相交于 A，B 两点.若直线P2A与直线 P2B的斜率的和为 1，证明：l 过定点.【答案】(1)2214xy.(2)证明见解析.【解析】试题分析：（1）根据3P，4P两点关于y轴对称，由椭圆的对称性可知C经过3P，4P两点.另外由222211134abab知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此234,P P P在椭圆上，代入其标准方程，即可求出C的方程；（2）先设直线P2A与直
27、线P2B的斜率分别为k1，k2，再设直线l的方程，当l与x轴垂直时，通过计算，不满足题意，再设l：ykxm（1m），将 ykxm代入2214xy，写出判别式，利用根与系数的关系表示出x1+x2，x1x2，进而表示出12kk，根据121kk列出等式表示出k和m的关系，从而判断出直线恒过定点.试题解析：（1）由于3P，4P两点关于y轴对称，故由题设知C经过3P，4P两点.又由222211134abab知，C不经过点P1，所以点P2在C上.因此222111314bab，解得2241ab.高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-16-故C的方程为2214xy.（2）设直线P2A与直线P2B的斜率分别为k1，
28、k2，如果l与x轴垂直，设l：x=t，由题设知0t，且2t，可得A，B的坐标分别为（t，242t），（t，242t）.则22124242122ttkktt，得2t，不符合题设.从而可设l：ykxm（1m）.将ykxm代入2214xy得222418440kxkmxm由题设可知22=16 410km.设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1+x2=2841kmk，x1x2=224441mk.而12121211yykkxx121211kxmkxmxx12121221kx xmxxx x.由题设121kk，故12122110kx xmxx.即22244821104141mkmkmkk解得12mk.
29、当且仅当1m时，0，欲使l：12myxm，即1122myx，所以l过定点（2，1）点睛:椭圆的对称性是椭圆的一个重要性质，判断点是否在椭圆上，可以通过这一方法进高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-17-行判断；证明直线过定点的关键是设出直线方程，通过一定关系转化，找出两个参数之间的关系式，从而可以判断过定点情况.另外，在设直线方程之前，若题设中未告知，则一定要讨论直线斜率不存在和存在两种情况，其通法是联立方程，求判别式，利用根与系数的关系，再根据题设关系进行化简.20.已知函数2lnh xaxx.（1）当1a时，求h x在2,2h处的切线方程；（2）令22afxxh x，已知函数fx有两个极值点
30、12,x x，且1212x x，求实数a的取值范围；（3）在（2）的条件下，若存在021,22x，使不等式20ln1112ln 2fxam aa对任意a（取值范围内的值）恒成立，求实数m的取值范围.【答案】（1）322ln 220 xy（2）1,2（3）1,4【解析】【分析】（1）求出导数)(h x，计算(2),(2)hh，由点斜式写出切线方程并整理成一般式；（2）求出fx，由0fx，可得2210axax有两个满足题意的不等实根，由二次方程根的分布可得a的范围；（3）由（2）求出两极值点，确定()f x 的单调性，得()f x 在21,22单调递增，因此题设中0()f x使不等式成立，取0()
31、f x为最大值(2)f，使之成立即可。化简为不等式2()ln1ln 210amaam对任意的12aa恒成立，引入函数2ln1ln 21g aamaam，由导数研究此函数的单调性得不等式成立的条件【详解】解：1当1a时，12ln,2h xxx hxx2x时，3 2,24ln 22hh高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-18-h x在2,2h处的切线方程为34ln 222yx化简得：322ln 220 xy2对函数求导可得，2210axaxfxxx令0fx，可得2210axax20440112aaaa，解得a的取值范围为1,23由2210axax，解得22121,1aaaaxxaa而fx在10,x上
32、递增，在12,xx上递减，在2,x上递增12a222112aaxafx在21,22单调递增在21,22上，max22ln 2fxfa021,22x，使不等式20ln1112ln 2fxam aa对aM恒成立等价于不等式2(2ln 2ln1112)()n(l 2aam aa恒成立即不等式2()ln1ln 210amaam对任意的12aa恒成立令2ln1ln 21g aamaam，则121210,1ma amggaa当0m时，0,gag a在1,2上递减高中学习讲义只要坚持梦想终会实现-19-10g ag不合题意当0m时，12121ma amgaa12a若1112m，即104m时，则g a在1,2上先递减10gQ12a时，0g a不能恒成立若111,2m即14m，则g a在1,2上单调递增10g ag恒成立m的取值范围为1,4【点睛】本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的极值，研究不等式恒成立问题解题关键是问题的转化，如函数有两个极值点，转化为相应方程有两个不等实根，不等式恒成立问题转化为研究函数的最值对学生的推理论证能力、运算求解能力要求较高，难度很大，属于困难题