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1、2020年 1 月 2020 届静安区 2017 级高三上学期一模考试（期末）数学试卷2019.12 祝考试顺利一、填空题：（本大题 12 小题，1-6 每题 4 分，7-12 每题 5 分，共 54 分）1.计算 lim(10.9)nn_.【答案】1【解析】lim(10.9)nn1 2.双曲线在单位圆中，60o的圆心角所对的弧长为 _.【答案】3【解析】23lr3.若直线1l和直线2l的倾斜角分别为32o和152o则1l与2l的夹角为 _.【答案】60o【解析】1801523260oooo4.若直线 l 的一个法向量为(2,1)nr，则若直线 l 的斜率 k_.【答案】2【解析】(2,1)n
2、r，则单位向量(1,2)du r，221k5.设某种细胞每隔一小时就会分裂一次，每隔细胞分裂为两个细胞，则7小时后，1个此种细胞将分裂为 _个.【答案】128【解析】7121286.设ABC是等腰直角三角形，斜边2AB,现将ABC（及其内部）绕斜边AB 所在的直线旋转一周形成一个旋转体，则该旋转体的体积为_.【答案】23【解析】22112(2)333r7.如 图，在 平 行 四 边 形 ABCD 中，2AB，1AD,则AC BDuuu r uu u r的 值 为_.【答案】-3【解析】()()14-3AC BDABADADABuu u r uuu ruuu ruu u ru uu ruuu r
3、8.三倍角的正切公式为tan3_.【答案】【解析】322 tantantan313tan.9.设集合 A 共有6 个元素，用这全部的6 个元素组成的不同矩阵的个数为_.【答案】2880【解析】4 种类型的矩阵6642880P10.现将函数sec,(0,)yx x的反函数定义为正反割函数，记为：secyarcx.则sec(4)arc_.（请保留两位小数）【答案】1.82【解析】cosy，(0,)x，故可知4cost，arccos(1.824t）.11.设双曲线222xyaa的两个焦点为2F、F，点 P在双曲线上，若2PFPF，则点 P到坐标原点 O 的距离的最小值为 _.【答案】32【解析】22
4、caa,12a时，可知min32c.12.设0,0,0aaMN，我 们 可 以 证 明 对 数 的 运 算 性 质 如 下：loglogloglogaaaaMNMNaaaMNQ，logloglogaaaMNMN.我们将式称为证明的“关键步骤”.则证明loglograaMrM（其中0,MrR）的“关键步骤”为 _.【答案】loglograaMrM【解析】,loglog()aaMrMrraaMQ,loglograaMrM.二、选择题13.“三个实数,a b c成等差数列”是“2bac”的（）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】C【解析】因为三个实数,a
5、b c成等差数列”，所以 2bac.14.设,x yR，若复数xiyi是纯虚数，则点(,)p x y一定满足（）A.yxB.yxC.yxD.yx【答案】B【解析】2221()()()()()()xxiyixyxy ixyxy iyiyiyiyyy，并且1xyi为纯虚数，则0 xy，1yx.15.若 展 开()(2)(3)(4)(5)aaaaa，则 展 开 式 中3a的 系 数 等 于()A.在2 3 45，中所有任取两个不同的数的乘积之和；B.在2 3 45，中所有任取三个不同的数的乘积之和；C.在2 3 45，中所有任取四个不同的数的乘积之和；D.以上结论都不对.【答案】A【解析】由二项式定
6、理可知展开式中3a的系数等于在2 3 45，中所有任取两个不同的数的乘积之和.16.某人驾驶一艘小游艇位于湖面A处，测得岸边一座电视塔的塔底在北偏东2o方向，且塔顶的仰角为8o，此人驾驶游艇向正东方向行驶1000米后到达 B 处，此时 测 得 塔 底 位 于 北 偏 西39o方 向，则 该 塔 的 高 度 约 为（）A.265 米B.279 米C.292 米D.306米【答案】C【解析】000sin5sin 60 cos69 tan87292.728oooo米.三.解答题（本大题共5 题，共 14+14+14+16+18=76分）17.（本题满分 12 分，第 1 小题 6 分，第 2 小题
7、8 分）如图，在正六棱锥PABCDEF中，已知底边为 2，侧棱与底面所成角为60.（1）求该六棱锥的体积V；（2）求证：PACE【答案】（1）12；（2）见解析.【解析】（1）连接BE、AD，设交点为O，连接POPABCDEFQ为正六棱锥ABCDEF为正六边形侧棱与底面所成角即PBO2 3PO116 3 2 31233VS h（2）POQ面ABCDEF，CE面ABCDEFPOCEQ底面为正六边形AOCEQAOPOOCE面PAOQ PA面PAOCEPA18.（本题满分 14 分，第 1 小题 7 分，第 2 小题 7 分）请解答以下问题，要求解决两个问题的方法不同.（1）如图 1，要在一个半径为
8、 1 米的半圆形铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.（2）如图 2，要在一个长半轴为2 米，短半轴为 1 米的半个椭圆铁板中截取一块面积最大的矩形ABCD，如何截取？并求出这个最大矩形的面积.图 1 图 2【答案】（1）1（2）2【解析】（1）设(01)OAxx，1ODQ21ADx221Sxx22211122xxxxQ当且仅当21xx，即22x时等号成立1212S（3）椭圆方程为221(01)4xyy设(2cos,sin)0,C2 2cossin2sin2S当且仅当sin1，即4时取得最大值面积最大值为 2，此时2OB，22BC.19.（本题满分 14 分
9、，第 1 小题 6 分，第 2 小题 8 分）设na是等差数列，公差为d，前n项和为nS.（1）设140a，638a，求nS的最大值.（2）设11a，*2()nanbnN，数列nb的前n项和为nT，且对任意的*nN，都有20nT，求d的取值范围.【答案】（1）2020（2）29-,log10【解析】（1）有等差数列可知，1(1)naand，由140a，638a可知d=2-5，由240(1)05nan可得，101n，所以当n=100 或者n=101 时取得最大值，由公式可知为 2020.（2）设1(1)nad n，得122(2)naddnnb，可知nb为等比数列，Q对任意的*nN，都有20nT1
10、2lim201212nddbT恒成立且21dd29-,log1020.（本题满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分）已知抛物的准线方程为02yx.焦点为1,1F.（1）求证：抛物线上任意一点P的坐标yx,都满足方程：;088222yxyxyx（2）请支出抛物线的对称性和范围，并运用以上方程证明你的结论；（3）设垂直于x轴的直线与抛物线交于BA、两点，求线段AB的中点M的轨迹方程.【答案】（1）见解析（2）关于xy对称1,1-yx。（3）4xy（在抛物线内）【解析】（1）根据定义得：221122yxyx;088222yxyxyx啊（2）将yx,对称互换方
11、程没有发生变化，若yxP,在图像上xyP,也在图像上，所以图像关于xy对称，10088222yyyxyx，1x同（3）设2211,yxByxA，4,088222ttMyxyxyxtx所以中点的轨迹方程是4xy（在抛物线内）21.（本题满分 18 分，第 1 小题 5 分，第 2 小题 6 分，第 3 小题 7 分）现定义：设a是非零实常数，若对于任意的Dx，都有xafxaf，则称函数xfy为“关于的a偶型函数”（1）请以三角函数为例，写出一个“关于2 的偶型函数”的解析式，并给予证明（2）设定义域为的“关于的a偶型函数”在区间a,-上单调递增，求证在区间,a上单调递减（3）设定义域为R的“关于
12、21的偶型函数”xfy是奇函数，若*Nn，请猜测nf的值，并用数学归纳法证明你的结论【答案】（1）2cosxy答案不唯一（2）证明见解析（3）0nf【解析】（1）xfxfxxfxxfxy22cos2),cos()2(2cos，的（2）xfxafxafxaf2.任取axaxaaxx,22,2121啊因为函数在a,-单调递增，所以212122xfxfxafxaf.所以函数在,a上单调递减（3）猜测xfy数学归纳法：1.当1n时102121ffxfxf因为xfy是奇函数，所以01f得证2.假设当*Nkkn，0kf成立，因为xfxfxfxf12121，又因为 奇 函 数 所 以xfxfxfxf1，所 以 当*1Nkkn时，01kfkf，所以得证。2020 年 1 月 2020 届上海市静安区 2017 级高三上学期一模考试（期末）数学试卷