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1、2020届高考数学例解两平面垂直的判定和性质例 1依照表达作图，指出二面角的平面角并证明如图1，lAl,在内作lPA于A，在内作lQA于A如图，lAAl,作AP于P，在内作lAQ于Q，连结PQ AAl,作AP于P，AQ于Q，l平 面HPAQ，连结PH、QH作图与证明在此省略讲明：此题介绍了作二面角的平面角的三种常用方法，其中用三垂线定理及逆定理的方法最常用，还需补充这种方法的其他典型图形典型例题二例 2.如图，在立体图形ABCD中，假设ECDADCBAB,是AC的中点，那么以下命题中正确的选项是.A平面ABC平面ABDB平面ABD平面BDCC平面ABC平面BDE，且平面ADC平面BDED平面A
2、BC平面ADC，且平面ADC平面BDE分析：要判定两个平面的垂直关系，就需固定其中一个平面，找另一个平面内的一条直线与第一个平面垂直.解：因为,CBAB且E是AC的中点，因此,ACBE同理有ACDE，因此AC平面BDE.因为AC平面ABC，因此平面ABC平面BDE.又由于AC平面ACD,因此平面ACD平面BDE.因此选 C.讲明：此题意图是训练学生观看图形，发觉低级位置关系以便得到高级位置关系.在某一个平面内,得到线线垂直的重要途径是显现等腰三角形底边的中线,由线线垂直得到线面垂直,由线面垂直可得到面面垂直.典型例题三例 如图，P是ABC所在平面外的一点，且PA平面ABC，平面PAC平面PBC
3、求证ACBC分析：条件是线面垂直和面面垂直，要证明两条直线垂直，应将两条直线中的一条纳入一个平面中，使另一条直线与该平面垂直，即从线面垂直得到线线垂直证明：在平面PAC内作PCAD，交PC于D 因为平面PAC平面PBC于PC，AD平面PAC，且PCAD，因此PBCAD平面又因为BC平面PBC，因此有BCAD另外PA平面ABC，BC平面ABC，因此BCPA由及APAAD，可知BC平面PAC因为AC平面PAC，因此ACBC讲明：在空间图形中，高一级的垂直关系中包蕴着低一级的垂直关系，通过此题能够看到，面面垂直线面垂直线线垂直典型例题四例 如图，AB是O的直径，PA垂直于O所在的平面，C是圆周上异于
4、A、B的任意一点，求证：平面PAC平面PBC分析：证明面面垂直的有两个依据，一是证明二面角的平面角为直角，二是利用两个平面垂直的判定定理由于C点的任意性，用方法一的可能性不大，因此要寻求线面垂直证明：因为AB是O的直径，C是圆周上的点，因此有ACBC因为PA平面ABC，BC平面ABC，那么BCPA由及APAAC，得BC平面PAC因为BC平面PBC，有平面PAC平面PBC讲明：低一级的垂直关系是判定高一级垂直关系的依据，依照条件，由线线垂直线面垂直面面垂直通过那个例题展现了空间直线与平面的位置关系的内在联系，垂直关系的判定和性质共同构成了一个完整的知识体系典型例题五例如图，点A在锐二面角MN的棱
5、MN上，在面内引射线AP，使AP与MN所成的角PAM为45，与面所成的角大小为30，求二面角MN的大小分析：第一依照条件作出二面角的平面角，然后将平面角放入一个可解的三角形中最好是直角三角形，通过解三角形使咨询题得解解：在射线AP上取一点B，作BH于H，连结AH，那么BAH为射线AP与平面所成的角，30BAH再作MNBQ，交MN于Q，连结HQ，那么HQ为BQ在平面内的射影由三垂线定理的逆定理，MNHQ，BQH为二面角MN的平面角设aBQ，在BAQRt中，aABBAMBQA2,45,90,在RtBHQ中，,22,90aBHaBQBHQ2222sinaaBQBHBQH,BQH是锐角，45BQH,即
6、二面角MN等于45讲明：此题综合性较强，在一个图形中显现了两条直线所称的角，斜线与平面所称的角，二面角等空间角，这些空间角都要转化为平面角，而且还要彼此联系相互依存，要依照各个平面角的定义添加适当的辅助线典型例题六例 如图，将边长为a的正三角形ABC以它的高AD为折痕折成一个二面角CADC指出那个二面角的面、棱、平面角；假设二面角CADC是直二面角，求CC的长；求CA与平面CDC所成的角；假设二面角CADC的平面角为120，求二面角DCCA的平面角的正切值分析：依照咨询题及图形依次解决解：,CDADDCADBCAD二面角CADC的面为ADC和面CAD，棱为AD，二面角的平面角为CCD假设90C
7、CD，aCCaCDDCaAC22,21,ADDCADCDAD,平 面CCD，DCA为CA与 平 面CDC所成的角在直角三角形CAD中，30,21CDAACCDDC，因此60DCA取CC的中点E，连结AE、DE，CCDECCAEACCADCCD,，AED为二面角DCCA的平面角,41,21,120aDEaCDDCDCC在直角三角形AED中，,23aADDEADAEDtan324123aa讲明：这是一个折叠咨询题，要不断地将折叠前后的图形加以比较，抓住折叠前后的变与不变量典型例题七例 7正方体1111DCBAABCD的棱长为1，P是AD的中点 求二面角PBDA1的大小分析：求二面角关键是确定它的平
8、面角，按定义在二面角的棱上任取了点，在二个半平面上分不作棱的垂线，方法虽简便，但因与其他条件没有联系，要求那个平面角一样是专门不容易的，因此在解题中不大应用在解题中应用得较多的是三垂线定理的方法，如图考虑到AB垂直于平面1AD，1BD在平面1AD上的射影确实是1AD再过P作1AD的垂线PF，那么PF面1ABD，过F作BD1的垂线FE，PEF即为所求二面角的平面角了解：过P作1BD及1AD的垂线，垂足分不是E、F，连结EFAB面1AD，PF面1AD，PFAB，又1ADPF，PF面1ABD又1BDPE，1BDEF，PEF为所求二面角的平面角DADRt1PFA，11ADAPDDPF而21AP，11D
9、D，21AD，42PF在1PBD中，251PBPD1BDPE，2321BDBE在PEBRt中，2222BEPBPE，在PEFRt中，21sinPEPFPEF，30PEF典型例题八例 8在ABC所在平面外有一点S，ABSC，SC与底面ABC所成角为，二面角CABS的大小为，且90求二面角ASBC的大小分析：由题设易证SDSC，由得SC平面SAB，明显所求的二面角是直二面角，现在只需证明二面有的两个面垂直即可在解这种类型题时，假如去作二面角ASBC的平面角，那么可能会走弯路解：如下图，作SO平面ABC于O，连结CO并延长交AB于D，连结SDSO平面ABC，SCO是SC与平面ABC所成角，SCOSO
10、平面ABC，ABSC，CDAB，SDABSDO是二面角CABS的平面角，SDO90，SDSC又ABSC，SC平面SAB，平面SBC平面SAB，二面角ASBC的大小为90讲明：二面角的平面角满足三个条件：(1)顶点在棱上，(2)两边在面内，(3)两边与棱垂直应注意CSB不满足第(3)条，不是二面角ASBC的平面角在求二面角大小时，假设其平面角不易作出时，那么可考虑判定两平面是否垂直，假如两平面垂直，那么其二面角为90，反之亦然典型例题九例 9假如，a，那么a分析：(1)此题是一道高考题，考查线面垂直和面面垂直的性质和逻辑推理能力要证a，只要证明直线a与平面内的两条相交直线垂直就能够了，从而借助平
11、面与平面垂直的性质达到证明a的目的；(2)要证a，只要证明a平行于平面的一条垂线就能够了，这也能够借助面面垂直的性质加以考虑；(3)能够用同一法来证明证法一：如下图，设b，c，过平面内一点P作bPA于A，作cPB于B，PA又a，aPA，同理可证aPBPPBPA且PBPA、，a证法二：如下图，设b，在平面内作直线bl1，1l设c，在平面内作直线cl2同理可证al2，因此21/ll由于1l，2l，/2l而2l，a，al/2故由al/2知，a证法三：如下图过直线a上一点P作直线aa，aP，P，依照课本第37 页例 2假如两个平面互相垂直，那么通过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内
12、，a同理可证a，故a椐公理 2 可知，直线a与直线a重合a讲明：(1)本例实际上可作为两个平面垂直的性质定理，要紧用于判定直线和平面的垂直，在专门多习题中都能够用到本例的结论(2)本例的三种证明方法其思维角度不同，但差不多上围绕面面垂直、线面面垂直的判定与性质定理来进行摸索的，期望同学们今后在解题中多进行这方面的训练，这对提高数学思维能力是大有裨益的典型例题十例10设由一点S发出三条射线SA、SB、SC，ASB，BSC，ASC，、均为锐角，且coscoscos 求证：平面ASB平面BSC分析：欲证两平面垂直，只需证明其中一平面内有一直线垂直于另一平面即可，此题设法通过线段关系过渡证明：如图，任
13、取点A，作SBAB于B，过B作SCBC于C，连结ACcosASSB，cosSBSC，故coscosASSC又由coscoscos，那么cosASSC，从而可得90ACS，即SCAC，已作SCBC，故SC平面ACB，即有SCAB，已作SBAB，从而AB平面BSC，故平面ASB平面BSC讲明：此题易犯错误是：作SBAB于B，作SCBC于C，连结AC，由三垂线定理得ACSC，SC平面ACB，SCAB，AB平面SBC其错误缘故是作SBAB后，将AB误认为是平面SBC的垂线此题的证明也能够作SBAB于B，SCAC于C，连结BC在SBC中，由余弦定理及条件coscoscos，证明222SCBCSB，从而B
14、CSC，SC面ABC，SCAB由此进一步证明，平面ASB平面BSC典型例题十一例 11假如二面角l的平面角是锐角，点P到、和棱l的距离分不为22、4、24，求二面角的大小分析：假如二面角l内部，也可能在外部，应区不处理解：如图甲是点P在二面角l的内部时，乙是点P在二面角l的外部时PA，lPAlAC，面lPAC同理，面lPBC，而面PAC面PBCPC面PAC与面PBC应重合，即A、C、B、P在同一平面内，ACB是二面角的平面角在APCRt中，212422sinPBPAACP，30ACP在BPCRt中，22244sinPCPBBCP，45BCP，故754530ACB图甲或153045ACB图乙讲明
15、：作一个垂直于棱的平面，此平面与两个半平面的交线所成的角确实是二面角的平面角这是此题得到二面平面角的方法，即所谓垂面法典型例题十二例 12P为120的二面角a内一点，P到和的距离均为10，求点P到棱a的距离分析：此题二面角的大小而求点到直线的距离，须做出二面角的平面角，然后将条件揉和在一起，便可解决咨询题解：如图，过点P作PA于A，PB于B，设相交直线PA、PB确定的平面为，Oa，那么OA，OB连结PO，那么10BPAPPA，PB，a，而PO平面，POa，PO的长即为点P到直线a的距离又a，OA，OBAOB是二面角a的平面角，即120AOB而四边形AOBP为一圆内接四边形，且PO为该四边形的外
16、接圆直径四边形AOBP的外接圆半径等于由A、B、O、P中任意三点确定的三角形的外接圆半径，因此求PO的长可利用APB在APB中，10BPAP，60APB，10AB由正弦定理：332060sin2ABRPO讲明：(1)该题查找120的二面角的平面角，所采取的方法即为垂面法，由此可见，假设题目可找到与棱垂直的平面，用垂面法确定二面角的平面角也是一种可取的方法(2)充分借助于四边形PAOB为一圆内接四边形，OAPA，OBPB，PO即为其外接圆直径，然后借助于四边有的外接圆直径等于其中任一三角形的外接圆直径进行转移，由正弦定理关心解决了咨询题典型例题十三例 13如图，正方体的棱长为1，OBCCB11，
17、求：(1)AO与11CA所成的角；(2)AO与平面AC所成角的正切值；(3)平面AOB与平面AOC所成的角解：(1)ACCA/11，AO与11CA所成的角确实是OACOBOC，AB平面1BC，OAOC三垂线定理 在AOCRt中，22OC，2AC，30OAC(2)作BCOE，平面1BC平面ACOE平面AC，OAE为OA与平面AC所成的角在OAERt中，21OE，25)21(122AE55tanAEOEOAE(3)OAOC，OBOC，OC平面AOB又OC平面AOC，平面AOB平面AOC讲明：此题包含了线线角、线面角和面面角三类咨询题求角度咨询题要紧是求两条异面直线所成角2,0，直线和平面所成角2,
18、0，二面角,0三种典型例题十四例 14如图，矩形ABCD，PD平面ABCD，假设2PB，PB与平面PCD所成的角为45，PB与平面ABD成30角，求：(1)CD的长；(2)求PB与CD所在的角；(3)求二面角DPBC的余弦值分析：从图中能够看出，四面体BCDP是一个基础四面体，前面已推导出平面PBC与平面BCD所成的二面角的余弦值为333221BDPCBCPD，可见，基础四面体作为一部分，经常显现在某些几何体中解：(1)PD平面ABCD，BCPD又BC平面PDC，BPC为PB与平面PCD所在的角，即45BPC同理：PBD即为PB与平面ABD所成的角，30PBD，在PBCRt中，2PB，2PCB
19、C在PBDRt中，30PBD，1PD，3BD在BCDRt中，2BC，3BD，1CD(2)CDAB/，PB与CD所成的角，即为PB与AB所成的角，PBA即为PB与AB所成的角PD平面ABCD，ABAD，ABPA三垂线定理 在PABRt中，1CDAB，2PB，60PBA(3)由点C向BD作垂线，垂足为E，由点E向PB作垂线，垂足为F，连结CFPD平面ABCD，CEPD又BDCE，CE平面PBD，CF为平面PBD的斜线，由于PBEF，由三垂线定理：CFPBCEF为二面角DPBC的平面角在BCDRt中，2BC，1DC，3BD，36BDCDBCCE在PCBRt中，2BC，2PC，2PB，1PBCPBCC
20、F，36sinCFCBCFE33cosCFE，二面角DPBC的余弦值为33讲明：解空间几何运算咨询题，一样要做两件事：一件是依照咨询题的需要作必要证明，如此题中的线线所成的角、面面所成的角从理认上都必须讲清晰怎么讲是谁；另一件事才是运算，这两件事是依照咨询题解答逻辑上的需要有机的结合在一起的典型例题十五例15过 点S引 三 条 不 共 面 的 直 线SA、SB、SC，如 图，90BSC，60ASBASC，假设截取aSCSBSA(1)求证：平面ABC平面BSC；(2)求S到平面ABC的距离分析：要证明平面ABC平面BSC，依照面面垂直的判定定理，须在平面ABC或平面BSC内找到一条与另一个平面垂
21、直的直线(1)证明：aSCSBSA，又60ASBASC，ASB和ASC差不多上等边三角形，aACAB，取BC的中点H，连结AH，BCAH在BSCRt中，aCSBS，BCSH，aBC2，2)22(222222aaaCHACAH，222aSH在SHA中，222aAH，222aSH，22aSA，222HASHSA，SHAH，AH平面SBCAH平面ABC，平面ABC平面BSC或：ABACSA，顶点A在平面BSC内的射影H为BSC的外心，又BSC为Rt，H在斜边BC上，又BSC为等腰直角三角形，H为BC的中点，AH平面BSCAH平面ABC，平面ABC平面BSC(2)解：由前所证：AHSH，BCSH，SH
22、平面ABC，SH的长即为点S到平面ABC的距离，aBCSH222，点S到平面ABC的距离为a22典型例题十六例 16判定以下命题的真假(1)两个平面垂直，过其中一个平面内一点作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面(2)两个平面垂直，分不在两个平面内且互相垂直的两直线，一定分不与另一平面垂直；(3)两平面垂直，分不在这两个平面内的两直线互相垂直分析：(1)假设该点在两个平面的交线上，那么命题是错误的，如图，正方体CA1中，平面AC平面1AD，平面AC平面1ADAD，在AD上取点A，连结1AB，那么ADAB1，即过棱上一点A的直线1AB与棱垂直，但1AB与平面ABCD不垂直，其错误的缘故是1A
23、B没有保证在平面11AADD内能够看出：线在面内这一条件的重要性；(2)该命题注意了直线在平面内，但不能保证这两条直线都与棱垂直，如图，在正方体CA1中，平面1AD平面AC，1AD平面11AADD，AB平面ABCD，且1ADAB，即AB与1AD相互垂直，但1AD与平面ABCD不垂直；(3)如上图，正方体CA1中，平面11AADD平面ABCD，1AD平面11AADD，AC平面ABCD，1AD与AC所成的角为60，即1AD与AC不垂直讲明：必须注意两个平面垂直的性质定理成立的条件：(1)线在面内，(2)线垂直于交线，从而可得出线面垂直典型例题十七例 17如图，在60二面角a内有一点P，P到、的距离
24、分不为3 和 5，求P到交线a的距离解：作PA于A，PB于B，设PA，PB所确定的平面为，Qa，连AQ，BQ，PA，aPA同理aPB，a平面，PQa，那么PQ是P到a的距离在四边形PAQB中，90BA，PAQB是圆的内接四边形，且RPQ2又60BQA，120BPA，7120cos53253AB，331432760sin2ABRPQ讲明：本例作二面角的平面角用作垂面法，幸免了再证明P、B、A、Q四点共面，同时用到正弦定理和余弦定理典型例题十八例18如 图，四 面 体SABC中，ABC是 等 腰 三 角 形，aBCAB2，120ABC，且SA平面ABC，aSA3求点A到平面SBC的距离分析：考虑利
25、用两个平面垂直的性质定理作出点A到SBC的垂线，先确定一个过点A和平面SBC垂直的平面，SA平面ABC，故作BCAD于D，连结SD，那么平面SAD平面SBC，平面SAD实际上确实是二面角ABCS的平面角SDA所在的平面，因此，它的作图过程和用三垂线法作二面角ABCS的平面角的作图过程完全相同解：作BCAD交BC于D，连结SD，SA平面ABC，依照三垂线定理有BCSD，又DADSD，BC平面SAD，又BC平面SBC，平面SBC平面ADS，且平面SBC平面ADSSD，过点A作SDAH于H，由平面与平面垂直的性质定理可知：AH平面SBC在SADRt中，aSA3，aABAD360sin，23)3()3(332222aaaaaADSAADSAAH，即点A到平面SBC的距离为23a讲明：二面角的平面角所在的平面垂直于二面角的棱，同时垂直于二面角的两个两从本例能够看出：要求点到平面的距离，只要过该点找到与平面垂直的平面，那么点面距即可依照面面垂直的性质作出