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1、试卷第 1 页，总 5 页湘教版九年级下册第一章二次函数单元测试卷学校:_姓名：_班级：_考号：_ 一、单选题1如图,函数221yaxx和yaxa(a是常数,且0a)在同一平面直角坐标系的图象可能是（）ABCD2已知二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象如图所示，下列结论：abc0；2a+b 0；b24ac0；ab+c 0，其中正确的个数是（）A1 B2 C3 D4 3关于二次函数2241yxx，下列说法正确的是（）A图像与y轴的交点坐标为0,1B图像的对称轴在y轴的右侧C当0 x时，y的值随x值的增大而减小Dy的最小值为-3 4将抛物线y=x2向左平移2 个单位，再向下平移5个单位，平移
2、后所得新抛物线的表达式为（）Ay=（x+2）25 By=（x+2）2+5 Cy=（x2）25 Dy=（x2）2+5 5用配方法将二次函数y=x28x9 化为 y=a（xh）2+k 的形式为（）Ay=（x4）2+7 By=（x4）225 C y=（x+4）2+7 Dy=（x+4）2 25 6抛物线 y=（x2）21 可以由抛物线y=x2平移而得到，下列平移正确的是（）A先向左平移2 个单位长度，然后向上平移1 个单位长度试卷第 2 页，总 5 页B先向左平移2 个单位长度，然后向下平移1 个单位长度C先向右平移2 个单位长度，然后向上平移1 个单位长度D先向右平移2 个单位长度，然后向下平移1
3、个单位长度7将抛物线y=5x2+1 向左平移1 个单位长度，再向下平移2 个单位长度，所得到的抛物线为（）Ay=5（x+1）21 By=5（x1）21 Cy=5（x+1）2+3 Dy=5（x1）2+3 8如图是抛物线y=ax2+bx+c（a0）的部分图象，其顶点是（1，n），且与 x 的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，则下列结论：a-b+c0；3a+b=0；b2=4a（c-n）；一元二次方程ax2+bx+c=n-1 有两个不等的实数根其中正确结论的个数是（）A1 B2 C3 D4 9二次函数2(0)yaxbxc a的图像如图所示，下列结论正确是()A0abcB20abC30acD230
4、axbxc有两个不相等的实数根10当 ab0 时，yax2与 yax+b 的图象大致是（）ABCD二、填空题11 已知二次函数y=x2 4x+k 的图象的顶点在x 轴下方，则实数 k 的取值范围是_试卷第 3 页，总 5 页12如图所示，抛物线y=ax2+bx+c（a0）与x轴的两个交点分别为A（-1，0）和 B（2，0），当 y0 时，x 的取值范围是 _13已知二次函数y=ax2+bx+c 的图象如图所示，对称轴为直线x=1，则下列结论正确的有 _ abc0 方程 ax2+bx+c=0 的两个根是x1=1，x2=3 2a+b=0 当 x0 时，y 随 x 的增大而减小14如图，直线y=x+
5、m 和抛物线y=x2+bx+c 都经过点A（1，0）和 B（3，2），不等式x2+bx+cx+m 的解集为 _15若二次函数2241yxx的图象与 x 轴交于 A1x，Bx，两点，则1211xx的值为 _三、解答题16如图，已知抛物线y=ax2+bx+c（a0）经过点 A（3，0），B（1，0），C（0，3）（1）求该抛物线的解析式；（2）若以点A 为圆心的圆与直线BC 相切于点M，求切点M 的坐标；试卷第 4 页，总 5 页（3）若点 Q 在 x 轴上，点P在抛物线上，是否存在以点B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点P 的坐标；若不存在，请说明理由17如图，已知二次函数y
6、=ax2+2x+c 的图象经过点C（0，3），与 x 轴分别交于点A，点 B（3，0）点 P 是直线 BC 上方的抛物线上一动点（1）求二次函数y=ax2+2x+c 的表达式；（2）连接 PO，PC，并把 POC 沿 y 轴翻折，得到四边形POP C若四边形POP C 为菱形，请求出此时点P 的坐标；（3）当点 P 运动到什么位置时，四边形ACPB 的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形 ACPB 的最大面积18鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60 元，每星期可卖100 件，为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1 元，每星期可多卖10 件已知该款童装每件成本30 元设该款童装每
7、件售价x 元，每星期的销售量为y 件（1）求 y 与 x 之间的函数关系式（不求自变量的取值范围）；（2）当每件售价定为多少元时，每星期的销售利润最大，最大利润是多少？（3）当每件童装售价定为多少元时，该店一星期可获得3910 元的利润？若该店每星期想要获得不低于3910 元的利润，则每星期至少要销售该款童装多少件？试卷第 5 页，总 5 页19如图，在足够大的空地上有一段长为a 米的旧墙MN，某人利用旧墙和木栏围成一个矩形菜园ABCD，其中 AD MN，已知矩形菜园的一边靠墙，另三边一共用了100 米木栏（1）若 a=20，所围成的矩形菜园的面积为450 平方米，求所利用旧墙AD 的长；（2
8、）求矩形菜园ABCD 面积的最大值答案第 1 页，总 14 页参考答案1B【解析】分析：可先根据一次函数的图象判断a 的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可详解：A由一次函数y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1 的图象应该开口向下故选项错误；B由一次函数y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1 的图象应该开口向上，对称轴x=22a0故选项正确；C由一次函数y=axa 的图象可得：a0，此时二次函数y=ax22x+1 的图象应该开口向上，对称轴x=22a0，和 x 轴的正半轴相交故选项错误；D由一次函数y=axa 的图象可得：a0，此时
9、二次函数y=ax2 2x+1 的图象应该开口向上故选项错误故选 B点睛：本题考查了二次函数以及一次函数的图象，解题的关键是熟记一次函数y=axa 在不同情况下所在的象限，以及熟练掌握二次函数的有关性质：开口方向、对称轴、顶点坐标等2D【解析】【分析】由抛物线的对称轴的位置判断ab 的符号，由抛物线与y 轴的交点判断c 的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【详解】抛物线对称轴是 y 轴的右侧，ab0，与 y 轴交于负半轴，c0，abc0，故正确；答案第 2 页，总 14 页a0，x=2ba1，b2a，2a+b0，故正确；抛物线与 x 轴有两个交点，b24a
10、c0，故正确；当 x=1 时，y0，ab+c0，故正确故选：D【点睛】本题主要考查了图象与二次函数系数之间的关系，二次函数y=ax2+bx+c 系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y 轴的交点、抛物线与 x 轴交点的个数确定3D【解析】分析：根据题目中的函数解析式可以判断各个选项中的结论是否成立，从而可以解答本题详解：y=2x2+4x-1=2（x+1）2-3，当 x=0 时，y=-1，故选项A 错误，该函数的对称轴是直线x=-1，故选项B 错误，当x-1时，y随x的增大而减小，故选项C错误，当 x=-1 时，y 取得最小值，此时y=-3，故选项D 正确，故选 D点睛：本题考查二次函数的性
11、质、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答4A【解析】【分析】答案第 3 页，总 14 页直接根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可【详解】抛物线 y=x2的顶点坐标为（0，0），先向左平移 2 个单位再向下平移5 个单位后的抛物线的顶点坐标为（2，5），所以，平移后的抛物线的解析式为y=（x+2）25故选：A【点睛】本题考查了二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答本题的关键5B【解析】【分析】直接利用配方法进而将原式变形得出答案【详解】y=x2-8x-9=x2-8x+16-25=（x-4）2-25故选 B【点睛】此题主要考查了二次函数的三种形式
12、，正确配方是解题关键6D【解析】分析：抛物线平移问题可以以平移前后两个解析式的顶点坐标为基准研究详解：抛物线y=x2顶点为（0，0），抛物线y=（x2）21 的顶点为（2，1），则抛物线y=x2向右平移2 个单位，向下平移1 个单位得到抛物线y=（x2）21 的图象故选：D点睛：本题考查二次函数图象平移问题，解答时最简单方法是确定平移前后的抛物线顶点，从而确定平移方向7A【解析】分析：直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案答案第 4 页，总 14 页详解：将抛物线y=-5x2+1 向左平移1 个单位长度，得到y=-5（x+1）2+1，再向下平移2 个单位长度，所得到的抛物线为：y
13、=-5（x+1）2-1故选：A点睛：此题主要考查了二次函数图象与几何变换，正确记忆平移规律是解题关键8C【解析】试题解析：抛物线与x 轴的一个交点在点（3，0）和（4，0）之间，而抛物线的对称轴为直线 x=1，抛物线与x 轴的另一个交点在点（-2，0）和（-1，0）之间当 x=-1 时，y0，即 a-b+c0，所以 正确；抛物线的对称轴为直线x=-=1，即 b=-2a，3a+b=3a-2a=a，所以 错误；抛物线的顶点坐标为（1，n），=n，b2=4ac-4an=4a（c-n），所以 正确；抛物线与直线y=n 有一个公共点，抛物线与直线y=n-1 有 2 个公共点，一元二次方程ax2+bx+c
14、=n-1 有两个不相等的实数根，所以 正确故选 B9C【解析】【分析】观察图象：开口向下得到a0；对称轴在y轴的右侧得到a、b异号，则b0；抛物线与 y轴的交点在x轴的上方得到c0，所以 abc0；由对称轴为x=2ba=1，可得 2a+b=0；当 x=-1 时图象在x 轴下方得到y=a-b+c0，结合 b=-2a 可得3a+c0；观察图象可知抛物线的顶点为（1，3），可得方程230axbxc有两个相等的实数根，据此对各选项进行判断即可.答案第 5 页，总 14 页【详解】观察图象：开口向下得到a0；对称轴在y 轴的右侧得到a、b 异号，则b 0；抛物线与y 轴的交点在x 轴的上方得到c0，所以
15、 abc0，故 A 选项错误；对称轴 x=2ba=1，b=-2a，即 2a+b=0，故 B 选项错误；当 x=-1 时，y=a-b+c0，又 b=-2a，3a+c0，故 C 选项正确；抛物线的顶点为（1，3），230axbxc的解为 x1=x2=1，即方程有两个相等的实数根，故D 选项错误，故选 C.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax2+bx+c（a0）的图象，当a 0，开口向上，函数有最小值，a0，开口向下，函数有最大值；对称轴为直线x=2ba，a 与 b同号，对称轴在y 轴的左侧，a 与 b 异号，对称轴在 y 轴的右侧；当c0，抛物线与 y 轴的交点在x 轴
16、的上方；当=b2-4ac0，抛物线与 x 轴有两个交点10 D【解析】【详解】ab0，a、b 同号当 a0，b0 时，抛物线开口向上，顶点在原点，一次函数过一、二、三象限，没有图象符合要求；当 a0，b0 时，抛物线开口向下，顶点在原点，一次函数过二、三、四象限，B 图象符合要求故选 B11k4【解析】【分析】由题意可知抛物线与x 轴有两个交点，因此运用二次函数的图象与x 轴交点的性质解答即可【详解】二次函数y=x2 4x+k 中 a=10，图象的开口向上，又 二次函数 y=x24x+k 的图象的顶点在x 轴下方，抛物线 y=x24x+k 的图象与x 轴有两个交点，答案第 6 页，总 14 页
17、 0，即（-4）2-4k0，k4，故答案为：k4.【点睛】本题考查了抛物线与x 轴的交点问题，由题意得出抛物线与x 轴有两个交点是解题的关键.12 x-1 或 x2【解析】【分析】直接从图上可以分析：y0 时，图象在x 轴的下方，共有2 部分：一是A 的左边，即x-1；二是 B 的右边，即x2【详解】观察图象可知，抛物线与x 轴两交点为（-1，0），（2，0），y0，图象在 x 轴的下方，所以答案是 x-1 或 x2故答案为：x-1 或 x2【点睛】考查了二次函数的图象与函数值之间的联系，函数图象所表现的位置与y 值对应的关系，典型的数形结合题型13【解析】分析：由函数图象可得抛物线开口向下，
18、得到a0，又对称轴在y 轴右侧，可得b0，根据抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，得到c0，进而得到abc0，结论 错误；由抛物线与 x 轴的交点为（3，0）及对称轴为x=1，利用对称性得到抛物线与x 轴另一个交点为（1，0），进而得到方程ax2+bx+c=0 的两根分别为1 和 3，结论 正确；由抛物线的对称轴为 x=1，利用对称轴公式得到2a+b=0，结论 正确；由抛物线的对称轴为直线x=1，得到对称轴右边y 随 x 的增大而减小，对称轴左边y 随 x 的增大而增大，故x 大于 0 小于 1 时，y随 x 的增大而增大，结论错误详解：抛物线开口向下，a0，对称轴在y 轴右侧，2ba0，b
19、0，抛物线与y 轴的交点在y 轴正半轴，c 0，答案第 7 页，总 14 页abc0，故 错误；抛物线与x 轴的一个交点为（3，0），又对称轴为直线x=1，抛物线与x 轴的另一个交点为（1，0），方程 ax2+bx+c=0 的两根是x1=1，x2=3，故 正确；对称轴为直线x=1，2ba=1，即 2a+b=0，故 正确；由函数图象可得：当0 x1 时，y 随 x 的增大而增大；当 x1 时，y 随 x 的增大而减小，故错误；故答案为 点睛：此题考查了二次函数图象与系数的关系，以及抛物线与x 轴的交点，二次函数y=ax2+bx+c（a0），a的符号由抛物线的开口方向决定，c 的符号由抛物线与y
20、轴交点的位置确定，b 的符号由 a及对称轴的位置决定，抛物线的增减性由对称轴与开口方向共同决定，当抛物线开口向上时，对称轴左边y 随 x 的增大而减小，对称轴右边y 随 x 的增大而增大；当抛物线开口向下时，对称轴左边y 随 x 的增大而增大，对称轴右边y 随 x 的增大而减小 此外抛物线解析式中y=0 得到一元二次方程的解即为抛物线与x 轴交点的横坐标14 1 x3【解析】【分析】利用函数图象与不等式的关系可以求得不等式的解集.【详解】数形结合知，二次函数比一次函数高的部分是1 x3.【点睛】利用一次函数图象和二次函数图象性质数形结合解不等式：形如式2axbxckxb不等式，构造函数1y=2
21、axbxc，2ykxb，如果12yy,找出1y比2y,高的部分对应的x 的值,12yy,找出1y比2y,低的部分对应的x 的值.15 4【解析】【分析】与 x 轴的交点的家横坐标就是求y=0 时根，再根据求根公式或根与系数的关系，求出两根之和与两根之积。把要求的式子通分代入即可。答案第 8 页，总 14 页【详解】设 y=0，则2241 0 xx，一元二次方程的解分别是点A 和点 B 的横坐标，即1x，2x，12422xx，1212x x1211xx12122=-412xxx x，故答案为：4【点睛】根据求根公式可得，若1x，2x是方程的两个实数根，则1212,bcxxx xaa16（1）y=
22、x22x 3；（2）M（35，65）；（3）存在以点B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P 的坐标为（1+7，3）或（17，3）或（2，3）【解析】【分析】（1）把 A，B，C 的坐标代入抛物线解析式求出a，b，c 的值即可；（2）由题意得到直线BC 与直线 AM 垂直，求出直线BC 解析式，确定出直线AM 中 k 的值，利用待定系数法求出直线AM解析式，联立求出M坐标即可；（3）存在以点B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况，利用平移规律确定出 P 的坐标即可【详解】（1）把 A（3，0），B（1，0），C（0，3）代入抛物线解析式得：93003abcabcc，解得：
23、123abc，则该抛物线解析式为y=x22x3；（2）设直线BC 解析式为y=kx3，把 B（1，0）代入得：k3=0，即 k=3，直线 BC 解析式为y=3x3，直线 AM 解析式为y=13x+m，答案第 9 页，总 14 页把 A（3，0）代入得：1+m=0，即 m=1，直线 AM 解析式为y=13x1，联立得：33113yxyx，解得：3565xy，则 M（35，65）；（3）存在以点B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，分两种情况考虑：设 Q（x，0），P（m，m22m 3），当四边形BCQP 为平行四边形时，由B（1，0），C（0，3），根据平移规律得：1+x=0+m，0+0=
24、3+m2 2m3，解得：m=1 7，x=27，当 m=1+7时，m22m3=8+272273=3，即 P（1+7，3）；当 m=17时，m22m3=8272+273=3，即 P（17，3）；当四边形BCPQ 为平行四边形时，由B（1，0），C（0，3），根据平移规律得：1+m=0+x，0+m22m 3=3+0，解得：m=0 或 2，当 m=0 时，P（0，3）（舍去）；当 m=2 时，P（2，3），综上，存在以点B，C，Q，P 为顶点的四边形是平行四边形，P的坐标为（1+7，3）或（17，3）或（2，3）【点睛】此题属于二次函数综合题，涉及的知识有：待定系数法求函数解析式，平行四边形的性质以及
25、平移规律，熟练掌握各自的性质是解本题的关键答案第 10 页，总 14 页17（1）y=x2+2x+3（2）（2+1 02，32）（3）当点 P的坐标为（32，154）时，四边形ACPB 的最大面积值为758【解析】【分析】（1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据菱形的对角线互相垂直且平分，可得P 点的纵坐标，根据自变量与函数值的对应关系，可得P 点坐标；（3）根据平行于y 轴的直线上两点间的距离是较大的纵坐标减较小的纵坐标，可得PQ的长，根据面积的和差，可得二次函数，根据二次函数的性质，可得答案【详解】（1）将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得9603,acc解得13,ab二次
26、函数的解析式为y=x2+2x+3；（2）若四边形POP C 为菱形，则点P 在线段 CO 的垂直平分线上，如图 1，连接 PP ，则 PECO，垂足为E，C（0，3），30,2E，答案第 11页，总 14 页点 P 的纵坐标32，当32y时，即23232xx，解得12210210.22xx，（不合题意，舍），点 P 的坐标为2103,22；（3）如图 2，P在抛物线上，设P（m，m2+2m+3），设直线 BC 的解析式为y=kx+b，将点 B 和点 C 的坐标代入函数解析式，得3303,kb解得13.kb直线BC的解析为y=x+3，设点 Q 的坐标为（m，m+3），PQ=m2+2m+3（m+3
27、）=m2+3m当 y=0 时，x2+2x+3=0，解得 x1=1，x2=3，OA=1，314AB，S四边形ABPC=S ABC+SPCQ+SPBQ答案第 12 页，总 14 页111,222AB OCPQ OFPQ FB2114333,22mm23375228m，当 m=32时，四边形ABPC 的面积最大当 m=32时，215234mm，即 P点的坐标为3 15,24当点 P 的坐标为3 15,24时，四边形ACPB 的最大面积值为758【点睛】本题考查了二次函数综合题，解（1）的关键是待定系数法；解（2）的关键是利用菱形的性质得出P 点的纵坐标，又利用了自变量与函数值的对应关系；解（3）的关
28、键是利用面积的和差得出二次函数，又利用了二次函数的性质18（1）y=100+10（60 x）=10 x+700；（2）每件售价定为50 元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000 元；（3）当每件童装售价定为53 元或 47 元时，该店一星期可获得3910 元的利润；每星期至少要销售该款童装170 件【解析】分析：（1）根据售量y（件）与售价x（元/件）之间的函数关系即可得到结论（2）设每星期利润为W 元，构建二次函数利用二次函数性质解决问题（3）根据方程即可解决问题；列出不等式先求出售价的范围，即可解决问题详解：（1）y=100+10（60-x）=-10 x+700（2）设每星期利润为W
29、元，W=（x-30）（-10 x+700）=-10（x-50）2+4000 x=50 时，W 最大值=4000每件售价定为50 元时，每星期的销售利润最大，最大利润4000 元（3）由题意：-10（x-50）2+4000=3910 解得：x=53 或 47，当每件童装售价定为53 元或 47 元时，该店一星期可获得3910 元的利润答案第 13 页，总 14 页由题意：-10（x-50）2+4000 3910，解得：47x53，y=100+10（60-x）=-10 x+700 170 y 230，每星期至少要销售该款童装170 件点睛：本题考查二次函数的应用，一元二次不等式，解题的关键是构建二
30、次函数解决最值问题，学会利用图象法解一元二次不等式，属于中考常考题型19（1）D 的长为 10m；（2）当 a 50 时，S 的最大值为1250；当 0a 50 时，S 的最大值为 50a12a2【解析】【分析】（1）设 AB=xm，则 BC=（1002x）m，利用矩形的面积公式得到x（1002x）=450，解方程求得x1=5，x2=45，然后计算1002x 后与 20 进行大小比较即可得到AD 的长；（2）设AD=xm，利用矩形面积可得S=12x（100 x），配方得到S=12（x50）2+1250，根据 a的取值范围和二次函数的性质分类讨论：当a50时，根据二次函数的性质得S的最大值为12
31、50；当 0a 50 时，则当0 xa 时，根据二次函数的性质得S 的最大值为50a12a【详解】（1）设 AB=xm，则 BC=（1002x）m，根据题意得x（1002x）=450，解得 x1=5，x2=45，当 x=5 时，1002x=9020，不合题意舍去；当 x=45 时，1002x=10，答：AD 的长为 10m；（2）设 AD=xm，S=12x（100 x）=12（x50）2+1250，当 a50 时，则 x=50 时，S的最大值为1250；当 0a50 时，则当 0 xa 时，S 随 x 的增大而增大，当 x=a 时，S 的最大值为50a12a2，综上所述，当a50时，S的最大值为1250；当 0a50 时，S的最大值为50a12a2【点睛】答案第 14 页，总 14 页本题考查了一元二次方程及二次函数的应用.解决第（2）问时，要注意根据二次函数的性质并结合 a 的取值范围进行分类讨论，这也是本题的难点.