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1、中考数学综合模拟测试卷学校 _ 班级 _ 姓名 _ 成绩 _ 一选择题（共 10 小题，满分30 分）1 223的倒数是（）A223B 312C-38D382如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）ABCD3下列计算正确的是（）A2a+3b5abB 36=6Ca2b 2ab=12a2D（2ab2）38a3b64 如图，已知 ABCD，直线 AB，CD 被 BC 所截，E 点在 BC 上，若 145，235，则 3（）A65B70C75D805赵强同学借了一本书，共280 页，要在两周借期内读完当他读了一半时，发现平均每天要多读21 页才能在借期内读完他读前一半时，平
2、均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是（）A140?+140?-21=14B280?+280?+21=14C140?+140?+21=14D10?+10?+21=16下列命题中，真命题的个数是（）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；图形平移的方向一定是水平的；内错角相等；相等的角是对顶角；垂线段最短A3B2C1D07如图，点A、B、C、D、E、F 是O 的等分点，分别以点B、D、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案已知O 的半径为1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A?+32 3B?-332C?
3、+3 32D?-3 328若二次函数yax2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数yax+b 与反比例函数 y=?在同一平面直角坐标系的图象可能是（）ABCD9如图，在矩形ABCD 中，已知AB8，BC6，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转90至图 位置，再绕右下角的顶点继续旋转90至图 位置，依此类推，这样连续旋转99 次后顶点A 在整个旋转过程中所经过的路程之和是（）A288B294C300D39610在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点 A 的坐标（0，2），顶点 B 恰好落在第一象限的双
4、曲线上，现将直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点 C的坐标为（）A（52，0）B（2，0）C（32，0）D（3，0）二填空题（共 6 小题，满分18 分，每小题3 分）11将 2.05103用小数表示为12因式分解：ab22ab+a13在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出1 个小球，记下数字，前后两次的数字分别记为x，y，并以此确定点P（x，y），那么点P 在函数 y=2?图象上的概率为14已知：如图，AD 是 AB
5、C 的边 BC 上的中线，AB6中线 AD4则 AC 的取值范围是15已知 A、B 两地之间的路程为3000 米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲到B 地停止，乙到A 地停止，出发10 分钟后，甲原路原速返回A 地取重要物品，取到该物品后立即原路原速前往 B 地（取物品的时间忽略不计），结果到达B 地的时向比乙到达A 地的时间晚，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（m）与甲运动的时间x（min）之间的关系如图所示，则乙到达A 地时，甲与B 地相距的路程是米16有一张矩形纸片ABCD，其中 AD8cm，上面有一个以AD 为直径的半圆，正
6、好与对边BC 相切，如图（甲），将它沿DE 折叠，使A 点落在 BC 上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是cm2三解答题（共9 小题，满分72 分）17（6 分）计算：|2tan60|（3.14）0+（-12）2+12 1218（6 分）当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000 名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得数据绘制的频数分布直方图如图：解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽测了名学生；（2）参加抽测的学生的视力的众数在范围内；中位数在范围内；（3）若视力为4.9 及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数
7、约为多少？19（7 分）设 A=?-21+2?+?2（a-3?+1）（1）化简 A；（2）当 a3 时，记此时A 的值为 f（3）；当 a4 时，记此时A 的值为 f（4）；解关于 x 的不等式：?-22-7-?4 f（3）+f（4）+f（11），并将解集在数轴上表示出来20（7 分）已知：如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线 MNBC 设MN 交 BCA 的平分线于点E，交外角 DCA 的平分线于点F，连接 AE、AF（1）求证：EOFO；（2）当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论21（7 分）如图，斜坡AF 的坡度为
8、5：12，斜坡 AF 上一棵与水平面垂直的大树BD 在阳光照射下，在斜坡上的影长BC6.5 米，此时光线与水平线恰好成30角，求大树BD 的高（结果精确的0.1 米，参考数据 2 1.414，3 1.732）22（8 分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是100 元时，每天的销售量是50 件，而销售单价每降低1 元，每天就可多售出5 件，但要求销售单价不得低于成本（1）当销售单价为70 元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（3）如果该企业每天的
9、总成本不超过7000 元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）23（8 分）在 ABC 中，ACB45点 D（与点 B、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD，以 AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF（1）如果 ABAC如图 ，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段CF 与 BD 之间的位置关系，并证明你的结论（2）如果 ABAC，如图 ，且点 D 在线段 BC 上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边 DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P，设 AC=4 2，BC3，CDx，求线段 CP
10、的长（用含 x 的式子表示）24（11 分）如图，直线y 2x+7 与 x 轴、y 轴分别相交于点C、B，与直线 y=32x相交于点A（1）求 A 点坐标；（2）如果在 y 轴上存在一点P，使 OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形，则P 点坐标是；（3）在直线 y 2x+7 上是否存在点Q，使 OAQ 的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由25（12 分）如图1，抛物线y x2+mx+n 交 x 轴于点 A（2，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，2）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 在抛物线上，且SAOM2SBOC，求点 M 的坐标；（3）如图 2，设点
11、 N 是线段 AC 上的一动点，作 DNx 轴，交抛物线于点D，求线段 DN 长度的最大值答案与解析一选择题（共10 小题，满分30 分）1（3 分）223的倒数是（）A223B 312C-38D38【解答】解：223的倒数是-38故选：C2（3 分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）ABCD【解答】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D 符合题意，故选：D3（3 分）下列计算正确的是（）A2a+3b5abB36=6Ca2b 2ab=12a2D（2ab2）38a3b6【解答】解：A、2a+3b 无法计算，故此选项错误；B、36=6
12、，故此选项错误；C、a2b 2ab=12a，故此选项错误；D、（2ab2）38a3b6，正确故选：D4（3 分）如图，已知ABCD，直线 AB，CD 被 BC 所截，E 点在 BC 上，若 145，235，则3（）A65B70C75D80【解答】解：AB CD，C 145，3 是 CDE 的一个外角，3 C+245+35 80，故选：D5（3 分）赵强同学借了一本书，共280 页，要在两周借期内读完当他读了一半时，发现平均每天要多读21 页才能在借期内读完他读前一半时，平均每天读多少页？如果设读前一半时，平均每天读x 页，则下面所列方程中，正确的是（）A140?+140?-21=14B280?
13、+280?+21=14C140?+140?+21=14D10?+10?+21=1【解答】解：读前一半用的时间为：140?，读后一半用的时间为：140?+21由题意得，140?+140?+21=14，故选：C6（3 分）下列命题中，真命题的个数是（）过一点有且只有一条直线与已知直线平行；过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；图形平移的方向一定是水平的；内错角相等；相等的角是对顶角；垂线段最短A3B2C1D0【解答】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，是假命题；图形平移的方向不一定是水平的，是假命题；两直线平行，内错角相等，
14、是假命题；相等的角不一定是对顶角，是假命题；垂线段最短，是真命题，故选：C7（3 分）如图，点A、B、C、D、E、F 是 O 的等分点，分别以点B、D、F 为圆心，AF 的长为半径画弧，形成美丽的“三叶轮”图案已知O 的半径为 1，那么“三叶轮”图案的面积为（）A?+32 3B?-332C?+332D?-332【解答】解：连接OA、OB、AB，作 OHAB 于 H，点 A、B、C、D、E、F 是O 的等分点，AOB 60，又 OAOB，AOB 是等边三角形，AB OB1，ABO60，OH=12-(12)2=32，“三叶轮”图案的面积（60?12360-12132）6-332，故选：B8（3 分
15、）若二次函数yax2+bx+c 的图象在平面直角坐标系中的位置如图所示，则一次函数yax+b 与反比例函数y=?在同一平面直角坐标系的图象可能是（）ABCD【解答】解：二次函数图象开口方向向下，a0，对称轴为直线x=-?2?0，b0，与 y 轴的正半轴相交，c0，yax+b 的图象经过第一、二、四象限，反比例函数y=?图象在第一三象限，只有 C 选项图象符合故选：C9（3 分）如图，在矩形 ABCD 中，已知 AB8，BC6，矩形在直线l 上绕其右下角的顶点B 向右旋转 90至图 位置，再绕右下角的顶点继续旋转90至图 位置，依此类推，这样连续旋转99 次后顶点A在整个旋转过程中所经过的路程之
16、和是（）A288B294C300D396【解答】解：在矩形ABCD 中，AB 8，BC6，AC BD10，转动一次A 的路线长是：90?8180=4，转动第二次的路线长是：90?10180=5，转动第三次的路线长是：90?6180=3，转动第四次的路线长是：0，以此类推，每四次循环，故顶点 A 转动四次经过的路线长为：4+5+3 12，99424 余 3，顶点 A 转动四次经过的路线长为：12 25300 故选：C10（3 分）在平面直角坐标系xOy 中，将一块含有45角的直角三角板如图放置，直角顶点C 的坐标为（1，0），顶点 A 的坐标（0，2），顶点 B 恰好落在第一象限的双曲线上，现将
17、直角三角板沿x 轴正方向平移，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时停止运动，则此时点C 的对应点C的坐标为（）A（52，0）B（2，0）C（32，0）D（3，0）【解答】解：过点B 作 BDx 轴于点 D，ACO+BCD90，OAC+ACO 90，OAC BCD，在 ACO 与 BCD 中，?=?=?=?ACO BCD（AAS）OCBD，OACD，A（0，2），C（1，0）OD3，BD1，B（3，1），设反比例函数的解析式为y=?，将 B（3，1）代入 y=?，k3，y=3?，把 y2 代入3?，x=32，当顶点 A 恰好落在该双曲线上时，此时点 A 移动了32个单位长度，C 也移动了32个单位长
18、度，此时点 C 的对应点C的坐标为（52，0）故选：A二填空题（共6 小题，满分18 分，每小题3 分）11（3 分）将 2.05103用小数表示为0.00205【解答】解：原式 2.051030.00205，故答案为0.0020512（3 分）因式分解：ab22ab+aa（b 1）2【解答】解：原式 a（b22b+1）a（b1）2；故答案为：a（b1）213（3 分）在一个不透明的盒子里，装有三个分别写有数字1，2，3 的小球，它们的形状、大小、质地等完全相同，先从盒子里随机取出一个小球，记下数字后放回盒子，摇匀后再随机取出1 个小球，记下数字，前后两次的数字分别记为x，y，并以此确定点P（
19、x，y），那么点 P在函数 y=2?图象上的概率为29【解答】解：由题意可得：，可得，一共有9 种可能，符合题意的有：（1，2），（2，1）在函数y=2?图象上，故点 P 在函数 y=2?图象上的概率为：29故答案为：2914（3 分）已知：如图，AD 是 ABC 的边 BC 上的中线，AB6中线 AD4则 AC 的取值范围是2AC 14【解答】解：延长AD 至 E，使 DEAD，连接 CEBDCD，ADB EDC，ADDE，ABD ECD（SAS），CE AB在 ACE 中，AEECACAE+EC，86AC8+6，即 2AC 14，故答案为：2AC1415（3 分）已知A、B 两地之间的路程
20、为3000 米，甲、乙两人分别从A、B 两地同时出发，相向而行，甲到 B 地停止，乙到A 地停止，出发10 分钟后，甲原路原速返回A 地取重要物品，取到该物品后立即原路原速前往B 地（取物品的时间忽略不计），结果到达B 地的时向比乙到达A 地的时间晚，在整个行走过程中，甲、乙两人均保持各自的速度匀速行走，甲、乙两人相距的路程y（m）与甲运动的时间x（min）之间的关系如图所示，则乙到达A 地时，甲与B 地相距的路程是250米【解答】解：设甲的速度为am/min，乙的速度为bm/min，10(?+?)=3000-2100(4009-20)(?+?)=3000-20?，解得，?=50?=40，则乙
21、到达A 地时用的时间为：30004075min，乙到达A 地时，甲与B 地相距的路程是：300050（7520）250m，故答案为：25016（3 分）有一张矩形纸片ABCD，其中 AD8cm，上面有一个以AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，如图（甲），将它沿DE 折叠，使A 点落在 BC 上，如图（乙），这时，半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是(163?-4 3)cm2【解答】解：设 AD 与半圆交于点K，半圆的圆心为O，连接 OK，以 AD 为直径的半圆，正好与对边BC 相切，AD2CD，C90，由折叠得：ADAD2CD，DAC30，ADC60，DOK 120，扇形 ODK 的
22、面积为120?42360=163 cm2，作 OHDK 于 H，ODK OKD30，OD4cm，OH2cm，DH 2 3cm；ODK 的面积为：12DK?OH=124 3 2=4 3cm2半圆还露在外面的部分（阴影部分）的面积是（163?-43）cm2故答案为：（163?-43）三解答题（共9 小题，满分72 分）17（6 分）计算：|2tan60|（3.14）0+（-12）2+12 12【解答】解：原式|2-3|1+4+3，2-3-1+4+3，518（6 分）当今，青少年视力水平下降已引起全社会的关注，为了了解某市30000 名学生的视力情况，从中抽取了一部分学生进行了一次抽样调查，利用所得
23、数据绘制的频数分布直方图如图：解答下列问题：（1）本次抽样调查共抽测了150名学生；（2）参加抽测的学生的视力的众数在4.264.55范围内；中位数在4.264.55范围内；（3）若视力为4.9 及以上为正常，试估计该市学生的视力正常的人数约为多少？【解答】解：（1）由图表可得出：本次抽样调查共抽测了（30+50+40+20+10）150（名）学生；故答案为：150；（2）4.264.55 范围内的数据最多，参加抽测的学生的视力的众数在4.26 4.55 范围内；150 个数据最中间是：第75 和 76 个数据，中位数是第75 和 76 个数据的平均数，、而第 75 和 76 个数据在4.26
24、4.55 范围内，中位数在4.264.55 范围内；故答案为：4.264.55，4.264.55；（3）视力为4.9 及以上为正常，样本中有20+1030（人），3000030150=6000（人），答：该市学生的视力正常的人数约为6000 人19（7 分）设 A=?-21+2?+?2（a-3?+1）（1）化简 A；（2）当 a3 时，记此时A 的值为 f（3）；当 a4 时，记此时A 的值为 f（4）；解关于 x 的不等式：?-22-7-?4 f（3）+f（4）+f（11），并将解集在数轴上表示出来【解答】解：（1）A=?-2(?+1)2?2-?+1=?-2(?+1)2?+1?(?-2)=1
25、?2+?（2）由 f（a）=1?-1?+1f（3）+f（4）+f（11）=13-14+14-15+?+111-112=13-112=14?-22-7-?414解得x4原不等式的解集是x4在数轴上表示：20（7 分）已知：如图，在 ABC 中，点 O 是 AC 边上（端点除外）的一个动点，过点 O 作直线 MNBC 设MN 交 BCA 的平分线于点E，交外角 DCA 的平分线于点F，连接 AE、AF（1）求证：EOFO；（2）当点 O 运动到何处时，四边形AECF 是矩形？并证明你的结论【解答】（1）证明：FC 平分 ACD，ACF DCF，MNBD，OFC DCF，OFC ACF，OFOC，同
26、理 OEOC，OEOF（2）当 O 为 AC 中点时，四边形AECF 是矩形，证明：O 为 AC 中点，OAOC，OEOF，四边形AECF 是平行四边形，CF 平分 ACD，CE 平分 ACB，ACF DCF=12ACD，ACE BCE=12ACB，FCE ACF+ACE=12 ACD+12ACB=12 180 90，平行四边形AECF 是矩形21（7 分）如图，斜坡AF 的坡度为5：12，斜坡 AF 上一棵与水平面垂直的大树BD 在阳光照射下，在斜坡上的影长BC6.5 米，此时光线与水平线恰好成30角，求大树BD 的高（结果精确的0.1 米，参考数据 2 1.414，3 1.732）【解答】
27、解：作 CMDB 于点 M，斜坡 AF 的坡度是1：2.4，A BCM，?=12.4=512，在直角 MBC 中，设 BM5x，则 CM12x由勾股定理可得：BM2+CM2BC2，（5x）2+（12x）26.52，解得：x=12，BM5x=52，CM12x6，在直角 MDC 中，DCM EDG30，DMCM?tanDCM6tan30 633=2 3，BDDM+BM=52+2 3 2.5+2 1.7326.0（米）答：大树的高约为6.0 米22（8 分）某企业设计了一款工艺品，每件的成本是50 元，为了合理定价，投放市场进行试销据市场调查，销售单价是100 元时，每天的销售量是50 件，而销售单
28、价每降低1 元，每天就可多售出5 件，但要求销售单价不得低于成本（1）当销售单价为70 元时，每天的销售利润是多少？（2）求出每天的销售利润y（元）与销售单价x（元）之间的函数关系式，并求出自变量x 的取值范围；（3）如果该企业每天的总成本不超过7000 元，那么销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？（每天的总成本每件的成本每天的销售量）【解答】解：（1）当销售单价为70 元时，每天的销售利润（7050）50+5（10070）4000元；（2）由题得y（x50）50+5（100 x）5x2+800 x27500（x50）销售单价不得低于成本，50 x100（3）该企业每天的总
29、成本不超过7000 元5050+5（100 x）7000（8 分）解得 x82由（2）可知y（x50）50+5（100 x）5x2+800 x27500抛物线的对称轴为x80 且 a 5 0抛物线开口向下，在对称轴右侧，y 随 x 增大而减小当 x82 时，y 有最大，最大值4480，即 销售单价为82 元时，每天的销售利润最大，最大利润为4480 元23（8 分）在 ABC 中，ACB45点 D（与点 B、C 不重合）为射线BC 上一动点，连接AD，以 AD为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF（1）如果 ABAC如图 ，且点 D 在线段 BC 上运动试判断线段CF 与 BD 之间的位置关系
30、，并证明你的结论（2）如果 ABAC，如图 ，且点 D 在线段 BC 上运动（1）中结论是否成立，为什么？（3）若正方形ADEF 的边 DE 所在直线与线段CF 所在直线相交于点P，设 AC=4 2，BC3，CDx，求线段 CP 的长（用含 x 的式子表示）【解答】解：（1）CF 与 BD 位置关系是垂直；证明如下：AB AC，ACB 45，ABC45由正方形ADEF 得 ADAF，DAF BAC90，DAB FAC，DAB FAC（SAS），ACF ABD BCF ACB+ACF90即 CFBD（2）ABAC 时，CFBD 的结论成立理由是：过点 A 作 GAAC 交 BC 于点 G，ACB
31、45，AGD 45，AC AG，同理可证：GAD CAF ACF AGD45，BCF ACB+ACF90，即 CFBD（3）过点 A 作 AQBC 交 CB 的延长线于点Q，点 D 在线段 BC 上运动时，BCA45，可求出AQCQ4DQ4 x，AQD DCP，?=?，?4-?=?4，?=-?24+?点 D 在线段 BC 延长线上运动时，BCA45，AQCQ4，DQ4+x过 A 作 AQBC，Q FAD 90，CAF CCD90，ACF CCD，ADQ AFC，则 AQD ACFCF BD，AQD DCP，?=?，?4+?=?4，?=?24+?24（11 分）如图，直线y 2x+7 与 x 轴
32、、y 轴分别相交于点C、B，与直线 y=32x相交于点A（1）求 A 点坐标；（2）如果在 y 轴上存在一点P，使 OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形，则 P 点坐标是（0，136）；（3）在直线 y 2x+7 上是否存在点Q，使 OAQ 的面积等于6？若存在，请求出Q 点的坐标，若不存在，请说明理由【解答】解：（1）解方程组：?=-2?+7?=32?得：?=2?=3A 点坐标是（2，3）；（2）设 P 点坐标是（0，y），OAP 是以 OA 为底边的等腰三角形，OPPA，22+（3 y）2y2，解得 y=136，P 点坐标是（0，136），故答案为（0，136）；（3）存在；由直线 y
33、2x+7 可知 B（0，7），C（72，0），SAOC=1272 3=2146，SAOB=12 7276，Q 点有两个位置：Q 在线段 AB 上和 AC 的延长线上，设点Q 的坐标是（x，y），当 Q 点在线段AB 上：作 QD y 轴于点 D，如图 ，则 QDx，SOBQSOABSOAQ761，12OB?QD 1，即12 7x1，x=27，把 x=27代入 y 2x+7，得 y=457，Q 的坐标是（27，457），当 Q 点在 AC 的延长线上时，作QDx 轴于点 D，如图 则 QD y，SOCQSOAQSOAC 6-214=34，12OC?QD=34，即1272（y）=34，y=-37，
34、把 y=-37代入 y 2x+7，解得 x=267，Q 的坐标是（267，-37），综上所述：点Q 是坐标是（27，457）或（267，-37）25（12 分）如图1，抛物线y x2+mx+n 交 x 轴于点 A（2，0）和点 B，交 y 轴于点 C（0，2）（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点 M 在抛物线上，且SAOM2SBOC，求点 M 的坐标；（3）如图 2，设点 N 是线段 AC 上的一动点，作 DNx 轴，交抛物线于点D，求线段 DN 长度的最大值【解答】解：（1）A（2，0），C（0，2）代入抛物线的解析式y x2+mx+n，得-4-2?+?=0?=2，解得?=-1?=2，抛物
35、线的解析式为y x2x+2（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y x2x+2，则易得 B（1，0），设 M（m，n）然后依据SAOM2SBOC列方程可得：12?AO|n|212OBOC，12 2|m2m+2|2，m2+m0 或 m2+m40，解得 x0 或 1 或-1 172，符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（1，2）或（-1+172，2）或（-1-172，2）（3）设直线 AC 的解析式为ykx+b，将 A（2，0），C（0，2）代入得到-2?+?=0?=2，解得?=1?=2，直线 AC 的解析式为yx+2，设 N（x，x+2）（2x0），则 D（x，x2x+2），ND（x2x+2）（x+2）x22x（x+1）2+1，10，x 1 时，ND 有最大值1ND 的最大值为1