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1、第 1 页 共 24 页2020届山东省泰安市高三第五次模拟考试数学试题一、单选题1已知复数z 满足14izi，则z（）A2B 2 C2 2D8【答案】C【解析】利用复数的代数形式的除法运算先求出z，再根据复数的模长公式求出z【详解】解：14izi，41izi4 111iiii22i，2 2z.故选：D【点睛】本题主要考查复数的代数形式的除法运算，考查复数的模，属于基础题2已知集合20Ax xx，|1Bx x或0 x，则（）ABAB ABCABRDAB【答案】D【解析】解不等式对集合进行化简，即可求出两集合的关系.【详解】解：解不等式20 xx得01x，则01Axx.因为|1Bx x或0 x，
2、所以AB，故选:D.【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了两集合间的关系.3已知0.130.2log 0.2,log0.3,10,abc则（）AabcB acbCcabDbca【答案】A【解析】根据对数函数与指数函数的单调性,将abc、与 0、1比较,即可得出答案.【详解】因为3logyx在(0,)上单调递增,第 2 页 共 24 页所以33log 0.2log 10a,因为0.2logyx在(0,)上单调递减,所以0.20.20.20log1log0.3log0.21b,因为10 xy在R上单调递增,所以0.1010101c,所以abc.故选：A【点睛】本题考查指数与指数函数和对数与
3、对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较的数与 0、1 比较大小,熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键.4311xx的展开式中，3x 的系数为（）A2 B2C3 D3【答案】B【解析】由题意转化条件得3331111xxxxx，再由二项式定理写出31x的通项公式，分别令3r、2r，求和即可得解.【详解】由题意3331111xxxxx，31x的通项公式为31331rrrrrrTCxCx，令3r，则3331rCC；令2r，则2333rCC；所以311xx的展开式中，3x 的系数为132.故选：B.【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.5函数fx与32
4、sin12xg xx的图象关于y 轴对称，则函数fx的部分图象大致为（）第 3 页 共 24 页ABCD【答案】D【解析】由诱导公式对g x化简，结合两函数图象的关系可求出2cos1xfxx，通过求2f，2f，f即可排除错误答案.【详解】解：32sin12cos12xxg xxx，因为fx与g x图象关于y 轴对称，则2cos12cos1,0 xxfxxxx，2cos122022f，排除 C，2cos122022f，排除B，2cos110f，排除 A，故选:D.【点睛】本题考查了诱导公式，考查了函数图象的变换，考查了函数图象的选择.本题的关键是求出fx的解析式.6在3世纪中期，我国古代数学家刘
5、徽在九章算术注中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正n边形等分成n个等腰三角形(如图所示)，当n变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3的近似值为（）(取近似值3.14)第 4 页 共 24 页A0.012 B0.052C0.125 D0.235【答案】B【解析】根据题意圆内接正120 边形其等分成120 个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为3,根据等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3 的近似值.【详解】当120n时,
6、每个等腰三角形的顶角为360=3120,则其面积为21sin32Sr,又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,所以221120sin3sin30.052260rr,故选：B【点睛】本题考查三角形与圆的面积公式,属于基础题.解本类题型需认真审题，读懂题意找到等式是关键.7已知函数3211fxxgxx，若等差数列na的前n项和为nS，且12020110,110f afa，则2020=S（）A4040B0C2020 D4040【答案】C【解析】结合对数的运算性质，对fx进行整理可得fx为奇函数，从而可知120202aa，代入等差数列的求和公式即可求出2020S的值.【详解】解：因为3211fxx
7、gxx定义域为R，关于原点对称，且3232111lg1fxxgxxxxx第 5 页 共 24 页3211xgxxfx，所以fx为奇函数，由120202020111faf afa得，1202011aa，所以120202aa，因为na为等差数列，所以1202020202020=20202aaS，故选:C.【点睛】本题考查了对数的运算，考查了函数的奇偶性的判断，考查了等差数列的求和公式.本题的关键是求出120202aa.8 在四面体ABCD中2,90BCCDBDABABC，二面角ABCD的平面角为150，则四面体ABCD外接球的表面积为（）AB1243C31D124【答案】B【解析】建立空间直角坐标
8、系，写出,A B C D坐标，利用球心到,A B C D距离等于半径求出球心坐标，从而求出球体半径，即可求出球体的表面积.【详解】解：取BD中点E为坐标系原点，过点E作垂直于平面BCD的直线为 z 轴，EB所在直线为x轴，EC 所在直线为y轴，如下图所示.由已知条件可得：1,0,0B，1,0,0C，0,3,0D，1,3,1A.设四面体ABCD 外接球的球心为,O x y z，由OAOBOCOD得：2222221311xyzxyz2221xyz2223xyz第 6 页 共 24 页解得：0333xyz，则球心30,33O.四面体 ABCD 外接球的半径222331133133ROA，所以四面体
9、ABCD 外接球的表面积2311244433SR.故选：B.【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，关键是建立空间直角坐标系求出各顶点坐标，属于中档题.二、多选题9在疫情防控阻击战之外，另一条战线也日渐清晰恢复经济正常运行.国人万众一心，众志成城，防控疫情、复工复产，某企业对本企业1644 名职工关于复工的态度进行调查，调查结果如图所示，则下列说法正确的是（）A0.384xB从该企业中任取一名职工，该职工是倾向于在家办公的概率为0.178C不到 80 名职工倾向于继续申请休假D倾向于复工后在家办公或在公司办公的职工超过986 名【答案】BD【解析】根据扇形图中的比例关系依次验证各个选项即可得到结果
10、.【详解】对于A，1005.1 17.842.334.8x，A错误；对于B，倾向于在家办公的人员占比为17.8%，故对应概率为0.178，B正确；对于C，倾向于继续申请休假人数为1644 5.1%84人，C错误；对于D，倾向于在家办公或在公司办公的职工人数为164417.8%42.3%988人，D正确.第 7 页 共 24 页故选：BD.【点睛】本题考查根据扇形图进行相关命题的辨析的问题，涉及到比例和频数的计算等知识，属于基础题.10 已知向量2,1,1,1,2,abcmn其中,m n均为正数，且/abc，下列说法正确的是（）Aa与b的夹角为钝角B向量a在b方向上的投影为55C24mnDmn的
11、最大值为2【答案】CD【解析】利用a b的符号即可判断选项A；根据投影的概念即可判断选项B；根据两平行向量的坐标关系即可判断选项C；结合基本不等式即可判断选项D.【详解】由题意知，10a b，所以a与b的夹角为锐角，故选项A错误；向量a在b方向上的投影为1222a bb，故选项B错误；1,2ab，因为/abc，,m n均为正数，所以c为非零向量，且24,24nmmn，故选项 C 正确；由基本不等式知，4222mnmn，2mn，当且仅当22mn时取等号，故mn的最大值为2，故选项D 正确.故选：CD【点睛】本题主要考查两平面向量的夹角及投影的概念，考查两向量平行的坐标关系及利用基本不等式求最值问
12、题，属于基础题.11已知椭圆2222:10 xyCabab的右焦点为F，点P在椭圆C上，点Q在圆22:344Exy上，且圆E上的所有点均在椭圆C外，若PQPF的最小值为2 56，且椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则下列说法正确的是（）A椭圆C的焦距为2B椭圆C的短轴长为3第 8 页 共 24 页CPQPF的最小值为2 5D 过点F的圆E的切线斜率为473【答案】AD【解析】由题意可求得a的值，再由圆的几何性质结合椭圆的定义以及已知条件可求得c的值，进而可判断出A、B 选项的正误；利用圆的几何性质可判断C 选项的正误；设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径可求得切线的斜率，可判断 D 选
13、项的正误.综合可得出结论.【详解】圆E的圆心为3,4E，半径长为2，由于椭圆C的长轴长恰与圆E的直径长相等，则24a，可得2a，设椭圆的左焦点为点1F，由椭圆的定义可得124PFPFa，14PFPF，所以，1111442462 56PQPFPQPFPFPQPFPEEF，当且仅当P、Q、E、1F四点共线，且当P、Q分别为线段1EF与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，则22213403162 5EFcc，02ca，解得1c，所以，椭圆C的焦距为22c，A 选项正确；椭圆C的短轴长为22222 3bac，B 选项错误；第 9 页 共 24 页2222314024 22PQPFPEPFEF，当且仅当P、
14、Q、E、F四点共线，且当P、Q分别为线段EF与椭圆C、圆E的交点时，等号成立，C 选项错误；若所求切线的斜率不存在，则直线方程为1x，圆心E到该直线的距离为3 142，则直线1x与圆E相离，不合乎题意；若所求切线的斜率存在，可设切线的方程为1yk x，即kxyk0，由题意可得223441211kkkkk，整理得23830kk，解得473k.D 选项正确.故选：AD.【点睛】本题考查利用椭圆的定义解决焦半径与椭圆上的点到圆上的点的距离和与差的最值问题，同时也考查了过圆外一点引圆的切线问题，考查数形结合思想的应用，属于中等题.12已知函数=cossinfxxx，则下列结论中，正确的有（）A是fx的
15、最小正周期Bfx在,4 2上单调递增Cfx的图象的对称轴为直线4xkkZDfx的值域为0,1【答案】BD【解析】由()()fxf x，知函数为偶函数，又()()2f xfx，知2是fx的周期，当0,4x时，化简()f x 并画出其图象，在根据偶函数和周期性，画出函数()f x 的图象，根据图象判断每一个选项是否正确.【详解】由()()fxf x，知函数为偶函数，又()()2f xf x，知2是fx的周期，当0,4x时，()cossin2 sin()4fxxxx，画出()f x 的图象如图所示：第 10 页 共 24 页由图知，fx的最小正周期是2，A错误；fx在,42上单调递增，B正确；fx的
16、图象的对称轴为,4kxkZ，C错误；fx的值域为0,1，D 正确.故选：BD.【点睛】本题是绝对值与三角函数的综合问题，判断函数奇偶性，周期性画出函数图象是解决问题的关键，属于中档题.三、填空题13若曲线lnfxxxx在点11f，处的切线与直线240 xay平行，则a_.【答案】1【解析】求出函数fx在1x处的导数值,即可根据两直线平行(斜率都存在)斜率相等截距不相等列出等式,得出答案.【详解】因为lnfxxxx.所以()ln1 1ln2fxxx,所以(1)2f.因为曲线lnfxxxx在点11f，处的切线与直线240 xay平行,即221aa.故答案为:1.【点睛】本题考查函数的导函数的几何意
17、义,属于基础题.解本提出的关键在于理解函数在某点的导函数值等于函数在这点的切线的斜率.第 11 页 共 24 页14 CES 是世界上最大的消费电子技术展，也是全球最大的消费技术产业盛会.2020CES消费电子展于2020 年 1月 7 日 10 日在美国拉斯维加斯举办.在这次 CES 消费电子展上，我国某企业发布了全球首款彩色水墨屏阅读手机，惊艳了全场.若该公司从7 名员工中选出3 名员工负责接待工作(这3 名员工的工作视为相同的工作)，再选出2 名员工分别在上午、下午讲解该款手机性能，若其中甲和乙至多有1 人负责接待工作，则不同的安排方案共有_种.【答案】360【解析】理解题意，分两步安排
18、，先安排接待工作，再安排讲解工作.安排接待工作时，甲和乙至多安排1 人，故分没安排甲乙和甲乙安排1人两类求解，从而计算出不同的安排方案总数.【详解】先安排接待工作，分两类，一类是没安排甲乙有35C种，一类是甲乙安排1 人有1225C C种，再从余下的4 人中选 2 人分别在上午、下午讲解该款手机性能，共24A种，故不同的安排方案共有12322554360C CCA种.故答案为：360.【点睛】本题考查了排列、组合的综合应用，考查了分析理解能力，分类讨论思想，属于中档题.15已知点12FF，分别为双曲线222210,0 xyCabab：的左、右焦点，点A，B在 C 的右支上，且点2F恰好为1F
19、AB的外心，若11()0BFBAAF，则 C 的离心率为 _.【答案】312【解析】取1AF的中点为C，连接 BC、2AF、2BF，由垂直向量的数量积关系推出1BCAF，再利用双曲线的定义求出1122AFBFac即可推出1ABF为等边三角形，求出BC，在1CBF中利用勾股定理列出关于a、c 的齐次式即可求解离心率.【详解】取1AF的中点为C，连接 BC、2AF、2BF，如图所示：第 12 页 共 24 页因为1111()02BFBAAFBC AF，所以1BCAF，又 C 为1AF的中点，所以1ABF为等腰三角形且1BFBA，因为点2F恰好为1F AB的外心，所以点2F在直线 BC 上，且221
20、22AFBFF Fc，由双曲线的定义知12122AFAFBFBFa，则1122AFBFac，所以1ABF为等边三角形，则2332BCBFc，在1CBF中，22211CBCFBF即222922cacac，化简得223660aacc，同时除以2a可得22210ee，解得132e或132(舍去).故答案为：312【点睛】本题考查双曲线的定义及简单几何性质、等边三角形的性质、双曲线离心率的求法，涉及垂直向量的数量积关系、平行四边形法则，属于中档题四、双空题16已知圆锥的顶点为S，顶点 S在底面的射影为O，轴截面SAB 是边长为2 的等边三角形，则该圆锥的侧面积为_，点 D 为母线 SB 的中点，点C
21、为弧 AB 的中点，则异面直线CD 与 OS 所成角的正切值为_.【答案】2153【解析】由轴截面的图形可知圆的半径和母线长，从而可求出侧面积；作DEAB于E，通过第 13 页 共 24 页求出tanECCDEDE，从而可求异面直线所成角.【详解】解：因为轴截面SAB是边长为2 的等边三角形，所以底面圆的半径为1，母线为2，所以圆锥的侧面积为122S；作DEAB于E，则DE底面圆，因为 D 为母线 SB的中点，所以211321222EDSO，又22215122ECOCOE，所以5152tan332ECCDEDE，因为/ED SO，所以异面直线CD 与 OS 所成角的正切值为153.故答案为：2
22、；153【点睛】本题考查了圆锥侧面积的求解，考查了异面直线二面角的求解.本题的关键是将异面直线通过平移，求其夹角.五、解答题17在2sin3 coscos3 cosaCcBCbC；5 cos45cBba；2cosbaCcoscA，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，然后解答补充完整的题目.在ABC中，内角A，B，C 所对的边分别为,a b c.且满足 _.第 14 页 共 24 页（1）求sinC；（2）已知5ab，ABC的外接圆半径为4 33，求ABC的边 AB 上的高h.【答案】答案不唯一，具体见解析【解析】选择条件:(1)利用正弦定理将边化角,再利用ABC化简,及可求出3C,即可得出
23、sinC的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径4 33与sinC的值求出4c,代入角C的余弦定理结合5ab,可得到3ab,再利用等面积法:11sin22SabCch,即可求出答案.选择条件:(1)利用正弦定理将边化角,再利用ABC化简,及可求出4cos5C,即可得出sinC的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径4 33与sinC的值求出8 35c,代入角C的余弦定理结合5ab,可得到3ab,再利用等面积法:11sin22SabCch,即可求出答案.选择条件:(1)利用正弦定理将边化角,再利用ABC化简,及可求出3C,即可得出sinC的值.(2)利用正弦定理结合外接圆半径4 33与sinC的值求
24、出4c,代入角C的余弦定理结合5ab,可得到3ab,再利用等面积法:11sin22SabCch,即可求出答案.【详解】选择条件：（1）因为2sin3 coscos3 cosaCcBCbC,所以由正弦定理得2sinsin3sincoscos3sincosACCBCBC,即sinsin3cossincossincosACCCBBC,故sinsin3cossinACCA.又0,sin0AA,所以sin3costan3CCC，.第 15 页 共 24 页由0,C3C所以3sinsin32C.（2）由正弦定理得4 32sin433c,由余弦定理得22222cos3163cabababab,所以21633
25、ababab.于是得ABC的面积11sin22SabCch,所以33sin3 3248abChc.选择条件：（1）因为5 cos45cBba,由正弦定理得5sincos4sin5sinCBBA,即5sincos4sin5sin5sincos5cossinCBBBCBCBC,于是sin45cos0BC.在sin0ABCB中，,所以4cos5C,23sin1cos5CC.（2）由正弦定理得4 338 32355c,由余弦定理得2222coscababC218192525abab,所以21925433251890abab,于是得ABC的面积11sin22SabCch,所以sin43335433 39
26、057208 3abChc.选择条件：第 16 页 共 24 页（1）因为2coscosbaCcA,所以由正弦定理得2sinsincossincosBACCA,所以2sincossinsinBCACB,因为0,B,所以1sin0cos2BC,又0,A,所以3C,所以3sin2C.（2）由正弦定理得4 32sin433c,由余弦定理得22222cos3163cabababab,所以21633ababab.于是得ABC的面积11sin22SabCch,所以33sin3 3248abChc.【点睛】本题考查解三角形相关知识.属于基础题.熟练掌握正余弦定理、三角形的面积公式是解本题的关键.18已知数列
27、na的前n项和为nS，且21nnSan.（1）求证：数列1na为等比数列；（2）设1nnbn a，求数列nb的n项和nT.【答案】（1）证明见解析；（2）121nnTn.【解析】（1）令2n，由21nnSan得出11211nnSan，两式作差得121nnaa，利用等比数列的定义可证明出1na为等比数列，并可确定该数列的第 17 页 共 24 页首项和公比；（2）求得数列1na的通项公式，可得出nb的表达式，然后利用错位相减法可求得nT.【详解】（1）当2n时，因为21nnSan，所以11211nnSan.由得121nnaa，即1121nnaa，所以1121nnaa.当1n时，112Sa，得10
28、a，则111a.所以数列1na是以1为首项，2为公比的等比数列；（2）由（1）知112nna，所以112nnnbn an.所以012112223 22nnTn，则12321 2223 22nnTn，由，得0121121 212121 22212112nnnnnnTnnn，所以121nnTn.【点睛】本题考查等比数列的证明，同时也考查了错位相减法求和，考查推理能力与计算能力，属于中等题.19如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD 为直角梯形，AB/CD，,2BCCD ABBC2,CDEAB是以AB为斜边的等腰直角三角形，且平面EAB平面 ABCD，点 F 满足，(0,1)EFEA.（1）试探究
29、为何值时，CE/平面 BDF，并给予证明；（2）在（1）的条件下，求直线AB 与平面 BDF 所成角的正弦值.【答案】（1）13；证明见解析；（2）66.第 18 页 共 24 页【解析】（1）连接 AC 交 BD 于点 M，连接 MF，若/CEMF，则有 CE/平面 BDF，根据CBDACB，AMFACB，求出并证明；（2）取 AB的中点 O，连接 EO，OD，则EOAB.又因为平面ABE平面 ABCD，可证得,EO OB OD两两垂直，建系设点，用空间直角坐标法求出直线AB 与平面 BDF所成角的正弦值.【详解】解：（1）当13时，CE/平面 FBD.证明如下：连接AC，交 BD 于点 M
30、，连接 MF.，因为 AB/CD，所以 AM：MC=AB：CD=2：1，又13EFEA，所以 FA：EF=2：1.所以 AM：MC=AF：EF=2：1，所以 MF/CE.又MF平面 BDF，CE平面 BDF，所以 CE/平面 BDF.（2）取 AB的中点 O，连接 EO，OD，则EOAB.又因为平面ABE平面 ABCD，平面ABE平面,ABCDAB EO平面 ABE，所以EO平面ABCD，因为OD平面ABCD，所以EOOD.由BCCD，及 AB=2CD，AB/CD，得ODAB，由 OB，OD，OE 两两垂直，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz.因为EAB为等腰直角三角形，AB=2BC=2CD
31、，所以OA=OB=OD=OE，设OB=1，所以0,0,0,1,0,0,1,0,0,1,1,0OABC，0,1,0,0,0,1DE.所以2,0,01,1,0ABBD，11112,0,0,33333EFEAF，所以42033FB，.第 19 页 共 24 页设平面 BDF 的法向量为,nx y z，则有00n BDn FB，所以042033xyxz，取1x，得1,1,2n.设直线 AB 与平面 BDF 所成的角为，则sincos,AB nAB nAB n2222 10 1 02662 112.即直线 AB 与平面 BDF 所成角的正弦值为66.【点睛】本题考查了线面平行的判定，用空间向量求直线与平
32、面所成的角，建立空间直角坐标系并表示所需点的坐标是解题的关键，还考查了学生的分析能力，运算能力，属于中档题.20已知点0,2M，点 P 在直线21216yx上运动，请点Q 满足12MQMP，记点 Q 的为曲线C（1）求曲线C 的方程；（2）设0,3,0,3DE，过点 D 的直线交曲线C 于 A，B 两个不同的点，求证：2AEBAED.【答案】（1）28xy；（2）证明见解析.【解析】（1）设00,Q x yP xy，由平面向量的知识可得00222xxyy，再由点P在曲线21216yx上代入即可得解；（2）分直线AB 的斜率是否存在讨论；当直线AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3ykx，1
33、122,A x yB x y，联立方程，利用韦达定理可得0AEBEkk，即可得证.【详解】（1）设00,Q x yP xy，由12MQMP可得001,2,22x yxy，第 20 页 共 24 页所以0012222xxyy即00222xxyy，因为点 P 在曲线21216yx上，所以2001216yx即21222216yx，整理得28xy.所以曲线C 的方程为28xy；（2）证明：当直线 AB 的斜率不存在时，直线 AB 与抛物线仅有一个交点，不符合题意；当直线 AB 的斜率存在时，设直线AB 的方程为3ykx，1122,A x yB xy，由238ykxxy，消去x得28240 xkx，26
34、4960k，可知128xxk，1224xx，直线 AE，BE的斜率之和为121212123366AEBEyykxkxkkxxxx121212264848024kx xxxkkx x，故 AE，BE 的倾斜角互补，AEDBED，2AEBAED.【点睛】本题考查了轨迹方程的求解、直线与抛物线的综合应用，考查了转化化归思想与运算求解能力，属于中档题.21已知函数cos,2xfxex x，证明.（1）fx存在唯一的极小值点；（2）fx的极小值点为0,x则010fx.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【解析】(1)求出函数的导数并二次求导，即设sinxg xfxex，第 21 页 共 24 页
35、cosxgxex，结合余弦函数和指数函数的性质可求出当,2x，0gx恒成立，即可判断出g x在,2x上的单调性，由零点存在定理可求出fx在区间2，上存在唯一的零点0 x，进而可证明结论.(2)由04f，00010fe，由零点存在定理可得极小值点0,04x，进而可得00sin0 xex，结合三角恒等变换可得0fx02 sin4x，由正弦三角函数可求出010fx.【详解】解：（1）sinxfxex，设sinxg xfxex，则cosxgxex，当,02x时，cos0,1,0,1xxe，所以0gx.当0,x时，0cos1cos0gxexx，综上所述，当,2x，0gx恒成立，故fxg x在2，上单调递
36、增.又02110,0102feef，由零点存在定理可知，函数fx在区间2，上存在唯一的零点0 x，0,02x，结合单调性可得fx在02x，上单调递减，在0,x上单调递增，所以函数fx存在唯一极小值点0 x.（2）由（1）知，0,02x，021102fee，第 22 页 共 24 页112242211422fee，而122ee，所以11222112e，即04f，00010fe，故极小值点0,04x，且000sin0 xfxex，即00sin.xex，由式，得000cosxfxex000sincos2sin4xxx.由0,04x，得00,44x，所以02 sin1,04x，即010fx.【点睛】本
37、题考查了极值的求解，考查了零点存在定理，考查了三角函数的最值，考查了辅助角公式.本题的难点在于第二问缩小极值点的取值范围.22十九大提出：坚决打赢脱贫攻坚战，做到精准扶贫.某县积极引导农民种植一种名贵中药材，从而大大提升了该县村民的经济收入.2019 年年底，该机构从该县种植的这种名贵药材的农户中随机抽取了100 户，统计了他们2019 年因种植，中药材所获纯利润(单位：万元)的情况(假定农户因种植中药材这一项一年最多获利11万元)，统计结果如下表所示：（1）由表可以认为，该县农户种植中药材所获纯利润Z(单位：万元)近似地服从正态分布2,N，其中近似为样本平均数x(每组数据取区间的中点值)，2
38、近似为样本方差222.1s.若该县有1万户农户种植了该中药材，试估算所获纯利润Z 在区间(1.9，8.2)的户数；（2）为答谢广大农户的积极参与，该调查机构针对参与调查的农户举行了抽奖活动，抽奖规则如下：在一箱子中放置5 个除颜色外完全相同的小球，其中红球1 个，黑球 4个.让农户从箱子中随机取出一个小球，若取到红球，则抽奖结束；若取到黑球，则将黑球放回箱中，让他继续取球，直到取到红球为止(取球次数不超过10 次).若农户取到红球，则视为中奖，获得2000 元的奖励，若一直未取到红球，则视为不中奖.现农户张明参加了抽奖活动，记他中奖时取球的次数为随机变量X，他取球的次数为随机变量Y.第 23
39、页 共 24 页证明：,110P XnnNn为等比数列；求Y的数学期望.(精确到0.001)参考数据：9100.80.1342,0.80.1074.若随机变量2,ZN，则PZ=0.6827220.9545PZ，.【答案】（1）8186；（2）证明见解析；4.463.【解析】(1)根据题意求出样本平均数6.1x即可得出26.1,2.1ZN即2,1.9,8.2,则可根据1122222PPzPZ,求出其所获纯利润Z在区间(1.9，8.2)的户数；(2)因为每次取球都恰有15的概率取到红球,即11455nP Xn，则可证明之.根据所求的11455nP Xn,根据当9n时,P XnP Yn,代入91()
40、nE Yn P Yn,再利用错位相减求出其值即可.【详解】（1）由题意知：所以样本平均数为20.140.1560.4580.2100.16.1x（万元），所以26.1,2.1ZN，所以2,1.9,8.2，而112220.818622PPzPZ.故 1 万户农户中，Z落在区间1.98.2，的户数约为100000.8186=8186.（2）每次取球都恰有15的概率取到红球.第 24 页 共 24 页则有11111415555nnP Xn，114145551455nnP XnP Xn，115P X故,110P XnnNn为以15为首项45为公比的等比数列.由可知，当9n时,P XnP Yn,94105P Y.故 Y的数学期望为8914141412910555555E Y891444129105555设84412955S，则2944441295555S，两式作差得289144441955555S99941 154495 1445515,991441051410555E YS994454540.13424.46355.【点睛】本题考查概率的求法,考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法,属于中档题.解题时需认真审题,结合题中所给数据,拿出答案.