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1、衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 1 页 共 6 页衡阳市 2020 届高三第一次联考数学（文科）参考答案一.选择题1.【答案】C【解析】依题意，1,1A，,0B，所以1,0BA，故选C.2.【答案】B【解析】iz1，所以复数z的实部是1,虚部是1，其和为0，故选B.3.【答案】A【解析】3212212233log，因此bca，故选A.4.【答案】C【解析】只有正确，故选C.5.【答案】D【解析】a=2，b=2，（ab）a，因此22222）（ba，故选D.6.【答案】B【解析】程序框图所示的算法是更相减损术求最大公约数，通过计算可得2a，故选B.7.【答案】A【解析】根据斜二侧
2、画法可知，几何体的底面积是一个直角三角形，两直角边分别为2、2，由此可计算出该几何体的表面积为624，故选A.8.【答案】C【解析】作直线0yx，当直线上移与圆22(1)1yx的右上方相切时，yxz取最大值，此时，利用圆心(0,1)到直线0zyx的距离等于1，解得 z的最大值为21故选C9.【答案】D【解析】若命题p为真，则22a；若命题q为真，则eaxx1)(maxln；所以若qp为真，则2，a,故选D.10.【答案】D【解析】不妨设过点0,1cF与双曲线的一条渐进线平行的直线方程为cybax，与另一条渐近线xaby的交点为abccM2,2，由021MFMF得02,232,2abccabcc
3、，即有322ab，又因为2122abe，故选D.11.【答案】B【解析】因为xxxxxxxf2020sin232020cos212020cos212020sin2332020cos62020sin62020sin22020cos2020sin3xxxmax2Afx，周期101020202T，又存在实数12,x x，对任意实数x总有12fxfxfx成立，21maxmin2,2f xf xfxf x，关注微信公众号：一个高中僧2020届湖南省衡阳市 2017级高三下学期一模考试数学（文）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 2 页 共 6 页22sin x12A xx的最小值为10
4、102TA，故选 B.12.【答案】A【解析】取1AB的中点K，AD的中点O，连接KM，KN，1OB，ON，显然ANBCM1/平面,故正确；25211222121KBNBNKCM，故正确；1KNB即为异面直线CM与1NB所成角，21tan111NBKBKNB，故错误；当三棱锥ANDB1的体积最大时，易证O为三棱锥ANDB1外接球球心，且1OAR,故正确，综上，正确，选A.二.填空题13.【答案】21.【解析】在区间0,上,则,434,0 x，因此其概率为21.14.【答案】6.【解析】抛物线24yx的焦点(1,0)F，设2211,yxByxA，直线AB过焦点(1,0)F，221xxAB，又12
5、OMOAOB，则tM,2为AB中点，所以624AB.15.【答案】2，3.【解析】22sinsincossinABCC，2cos222222222cbaccbacCab；又,2142cos22222abbaabcbaC3,0CC，当且仅当ba时取等号.16.【答案】2.【解析】由已知条件和数量积的定义可知，或434AOB又22AB，所以ABO的外接圆的半径22224sin2ABR，设其圆心为C，则 C点到直线1xy的距离为2，所以C点应在与直线1xy平行且距离为2的两条平行直线1xy、3xy上，且 C点到原点 O的距离为 2;而原点 O到3xy的距离为2223,所以3xy上不存在这样的点C;而
6、原点 O到1xy的距离为222,所以1xy上存在两个符合条件的点C;每个 C点都确定唯一一个点A,所以这样的点A共有 2 个.三.解答题关注微信公众号：一个高中僧2020届湖南省衡阳市 2017级高三下学期一模考试数学（文）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 3 页 共 6 页17.【解析】（1）3tancos3sinAAA4 分6 分(2)由ABC的面积为得4bc，又2,42abca8 分由余弦定理知：822cb9 分10 分所以2cb12 分18.【解析】（1）由已知条件可知：,401004.0B，60100BA,402060 x.103040y6 分（每个 1.5 分）
7、（2）667.16350610040605050)40301020(10022K9 分显然 16.66710.82811 分所以有 99.9%把握认为注射此种疫苗对预防新型冠状病毒有效12 分19.【解析】（1）证明：取AC的中点O，连接DO和OF，在DAC中DADC，DOAC.1 分由于平面DAC平面ABC，且交线为AC，DO平面ABC.2 分又O，F分别为AC，BC的中点，OFAB/且2ABOF.3 分又 DEAB，2ABDE，DEOF/且OFDE.4 分四边形DEFO为平行四边形.DOEF/，5 分EF平面ABC.6 分(2)方法一：ABCEF平面,所以直线 BE 与平面ABC所成的角为
8、,60EBF由于,221BCBF,32DOEF8 分又DOEF/E、F点到平面DAC的距离相等，平面DAC平面ABC，,ACCFDACCF平面E点到平面DAC的距离等于210 分343243123231ABCEDACEABEDCVVV12 分分2).3sin(sin)3sin(sin)3sin()sin(AAAbBaAbCAa3,0AA3cos2222bccbacbbccbcb02)222（关注微信公众号：一个高中僧2020届湖南省衡阳市 2017级高三下学期一模考试数学（文）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 4 页 共 6 页方法二：ABCEF平面,所以直线 BE 与平面
9、ABC所成的角为,60EBF由于,221BCBF,32DOEF8 分2ABDE，ABECADECABEADEVVSS21,219 分ABECABEDCVV2310 分33832)4221(31ABECV11 分.343382323ABECABEDCVV12 分方法三：（也可以用等体积法求C 点等平面 ABED的距离，再求体积）20.【解析】（1）连接2AF，由题意得21|ABF BF B，所以BO为12F AF的中位线，又因为12BOF F，所以212AFF F，且22222abOBAF，2 分又22ace，222abc，得22a，12b，4 分故所求椭圆方程为1222yx.5 分（2）设11
10、22(,),(,)M xyN xy由22112xmyxy得22(2)210mymy12122221,22myyy ymm7 分直线NK的方程：223()322yyxx，8 分令1yy，则有1221212222221313()2()()3222222myyyyxy myymxyyy22222222mmymmy11 分关注微信公众号：一个高中僧2020届湖南省衡阳市 2017级高三下学期一模考试数学（文）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 5 页 共 6 页NK与2l交点的横坐标为定值2.12 分21.【解析】（1）xfa时，当0不存在不动点。1分证明：由xxf可得：0ln xa
11、axxex，2 分令xaaxxexFxln)(，),0(x，则22)(1()(xaxexxaaxexexFxxx，3 分0,0(,0axexax），当)1,0(x时，0)(xF，)(xF在)1,0(上单调递减，当),1(x时，0)(xF，)(xF在),1(上单调递增，4 分所以0)1()(minaeFxF.所以方程0ln xaaxxex无实数根5 分故xf不存在不动点.6 分（2）当ea时，xeexxexFxln)(，),0(x，则22)(1()(xexexxeexexexFxxx，7 分再令eexgexexgxx)(,)(当)1,0(x时，0)(xg，)(xg在)1,0(上单调递减，当),1
12、(x时，0)(xg，)(xg在),1(上单调递增，0)1()(gxg9 分故当)1,0(x时，0)(xF，)(xF在)1,0(上单调递减，当),1(x时，0)(xF，)(xF在),1(上单调递增，所以01ln)1()(mineeeFxF.11 分关注微信公众号：一个高中僧2020届湖南省衡阳市 2017级高三下学期一模考试数学（文）试卷衡阳市 2020 届高三第一次联考文科数学试题第 6 页 共 6 页所以0ln xeexxex有唯一实数根10 x，故xf有唯一不动点.12 分22.【解析】（1）由tytx3331,(t为参数),消参数t化简得普通方程:03yx,2 分令cosx,siny,即
13、0sincos3化简得3tan,即3即得曲线2C的极坐标方程为R3.5分（2）由已知，不妨设34,3,BABA，于是2313sin1aaA，7 分23134sin1aaB，8 分故aAB2.10分23.【解析】（1）由题意知，mxx6恒成立，2 分又666xxxx，4 分所以实数m的取值范围是6m.5分（2）由（1）可知，6222cba，所以9111222cba 6 分从而111111222cba11111111191222222cbacba16391111111111111391222222222222cbbccaacbaab，9 分当且仅当3111222cba，即2222cba时等号成立，证毕.10分关注微信公众号：一个高中僧2020届湖南省衡阳市 2017级高三下学期一模考试数学（文）试卷