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1、第 1 页成都七中 2020 届高中毕业班三诊模拟数 学(理科)参考答案及评分意见第卷(选择题,共 60 分)一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)1.B；2.A；3.C；4.D；5.A；6.A；7.B；8.C；9.D；10.B；11.C；12.A.第卷(非选择题,共 90 分)二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)13.8；14.15；15.3 22；16.3e(1,e).三、解答题(共 70 分)17.解：(1)由正弦定理知sinsinabAB,又2,tansinabAB所以2.sintanaaAA于是1cos,2A因为0,A所以.3A6 分(2)因为7,2,3abA由余弦定理得2
2、227222cos,3cc即2230.cc又0,c所以3.c故ABC的面积为113 3sin23 sin.2232bcA12 分18.解：(1)得分20,40)的频率为0.005200.1；得分40,60)的频率为0.010200.2；得分80,100的频率为0.015200.3；所以得分60,80)的频率为1(0.10.20.3)0.4.设班级得分的中位数为x分,于是600.10.20.40.520 x,解得70.x所以班级卫生量化打分检查得分的中位数为70分.5 分(2)由(1)知题意“优”、“良”、“中”、“差”的频率分别为0.3,0.4,0.2,0.1.又班级总数为40.于是“优”、“
3、良”、“中”、“差”的班级个数分别为12,16,8,4分层抽样的方法抽取的“优”、“良”、“中”、“差”的班级个数分别为3,4,2,1.由题意可得X的所有可能取值为1,2,3,4,5,6.211214410101111111324221120211(1),(2),(3,145945)C CCCC CP XP XPCCCXCCC2432111123101021304224(4),(5),(6)41151515.CCCCP XP XP XCCCCC9 分所以X的分布列为X1 2 3 4 5 6 P24519114541541511511144145945151217119()123456515.4
4、55E X所以X的数学期望19().5E X12 分2020届四川省成都七中 2017级高三高中毕业班三诊考试数学（理）试卷第 2 页19.解：(1)因为2ABAM,22MB,所以222.AMABMB于是.ABAM又,ABAD且,AMADA AM平面,ADMAD平面ADM,所以AB平面.ADM5 分(2)因为2,2 3AMADMD,所以120.MAD如图所示,在平面ADM内过点A作x轴垂直于AM,又由(1)知AB平面ADM,于是分别以,AMAB所在直线为,y z轴建立空间直角坐标系.Axyz于是4(3,1,0),(3,1,),(0,0,2),(0,2,0).3DCBM因为2BEEM,于是4 2
5、(0,).3 3E所以7 2(3,),(0,2,2),(3,1,2).3 3ECBMBD设平面BDM的法向量为,n于是00BMnBD n即220.320yzxyz取1z得(3,1,1).n设直线EC与平面BDM所成角为,则413sincos,.54 553EC nEC nEC n所以直线EC与平面BDM所成角的正弦值为1.512 分20.解：(1)要证明0e()3exfxx即证明3eln,(e,).exxxx令3e()ln,(e,).exg xxxx则22214e(e)()0.(e)(e)xg xxxx x于是()g x在(e,)单调递增,所以()(e)0g xg即3eln,(e,).exxx
6、x所以0e().3exfxx5 分(2)2222101e1e()e()()(),(e,).lnlnlnlnxxxF xfxfxfxxxxxxxx则22222222(21)ln(e)(ln1)(e)ln(e)().(ln)(ln)xxxxxxxxxxFxxxxx令2222()(e)ln(e),(e,).h xxxxxx当(e,)x时,由(1)知3eln.exxx则222223e4e1()(e)(e)2(4e1)2(),e2xh xxxxxxx xx(i)当4e1,)2x时,于是()0h x,从而()0.Fx故()F x在4e1,)2严格单调递增.其中4e15.9365629 分2020届四川省成
7、都七中 2017级高三高中毕业班三诊考试数学（理）试卷第 3 页(ii)当(e,5x时,则2222222222()(e)ln 5(e)2(e)(e)3eh xxxxxxxxx2203e0.(用到了223exx在(e,5单调递增与2e7)于是()0Fx,故()F x在(e,5严格单调递减.11 分综上所述,()F x在(e,5严格单调递减,在4e1,)2严格单调递增.因为4e16,2所以05,6).x所以5.n12 分21.解：设点00(,)P xy,其中2001.2yx因为,yx所以切线l的斜率为0,x于是切线2001:.2lyx xx(1)因为(2,2),P于是切线:22.lyx故圆心O到切
8、线l的距离为2.5d于是2222 5|2 12 1().55ABd5 分(2)联立22200112xyyx xx得22340001(1)10.4xxx xx设1122(,),(,),(,).A xyB xyM x y则301220,1xxxx32240001()4(1)(1)0.4xxx又200,x于是20022 2.x于是32200120022001,.22(1)22(1)xxxxxyx xxxx又C的焦点1(0,),2F于是1(0,).2F故3264222000002222200001111|()().2(1)2(1)24(1)21xxxxxF Mxxxx9分令201,tx则1322.t于
9、是213313|3.22ttF Mttt因为3tt在1,3)单调递减,在(3,322)单调递增.又当1t时,1|2F M；当3t时,2 33|2F M；当32 2t时,2 211|.22F M所以|F M的取值范围为2 33 2 21,).2212 分22.解：(1)消去参数得22(2)3(0)xyy将cos,sinxy代入得2020届四川省成都七中 2017级高三高中毕业班三诊考试数学（理）试卷第 4 页22(cos2)(sin)3,即24cos10.所以曲线C的极坐标方程为24cos10(0).35 分(2)法 1：将6代入24cos10(0)3得22 310,设12(,),(,),66A
10、B则121.于是12|1.OAOB10 分法 2：3与曲线C相切于点,M|2sin1,3OM由切割线定理知2|1.OAOBOM10 分23.解：(1)3,(,),2()2,23,(,).axabxaf xxaxbxabxbxabxb.当(,)2ax时,函数()f x单调递减；当(,)xb时,函数()fx单调递增.所以m只能在,2ab上取到.当,2axb时,函数()f x单调递增.所以2()2.222aaabmfab5 分(2)因为22ambtab恒成立,且0,0ab,所以22ambtab恒成立即minabmbta.由(1)知2m,于是222 2.aambabmbamb当且仅当2abab时等号成立即4(21)0,2(22)0.ab所以2 2t,故实数t的最大值为22.10 分2020届四川省成都七中 2017级高三高中毕业班三诊考试数学（理）试卷